Drei
wuerg, 20.01.2005 00:54
Mit Dreien wird alles kompliziert. Einer steht fast immer in der Mitte oder am Rand. Ab drei kann eine Reihenfolge zu sehen sein, deren Fortsetzung ins Unendliche weist. Drei Punkte deuten dies an. Drei überfordert uns noch nicht, auch wenn nicht jeder über eine dreidimensionale Vorstellung verfügt und ihm Vater, Sohn und Heiliger Geist zuviele sind. Doch nicht zuletzt deshalb ist die Drei eine heilige Zahl.
Die Drei läßt sich als Erhöhung, Ergänzung oder Fortführung der Zwei sehen. Normalerweise sind auch Paare durch die Reihenfolge ihrer Nennung (Mann und Frau), ihre Numerierung (zum einen und zum anderen) oder Reihenfolge (Vergangenheit und Zukunft) angeordnet, doch eine Dreiergruppe macht deutlicher, in welche Richtung gedacht wird, an Fortpflanzung (Mann, Frau, Kind), Gruppenbildung (Mann, Frau, Familie), Überhöhung (Mann, Frau, Jesus), Abgrenzung (Vergangenheit, Gegenwart, Zukunft), an eine endlose Folge (1,2,3,…) oder einen Restbestand (männlich, weiblich, divers).
Die Dreizahl scheint dem Menschen zu liegen, in Esoterik [1], Märchen, Witzen, Religion, bei freien Wünschen und Schnapszahlen. Aller guten Dinge sind drei, Gold, Silber, Bronze, schnick, schnack, schnuck, bei Issos Keilerei, auf die Plätze, fertig, los. Drei Dinge braucht der Mann [2], Frauen sollten bei drei auf dem Baum sein, manche können nicht bis drei zählen.
Die Suche nach Bedeutungen kennt keine Hemmungen. Ein Beispiel: Die Winkelsumme im Dreieck beträgt 180 Grad und die 18 ist eine Versechsfachung der 3. Das ist natürlich in mehrfacher Hinsicht albern: Es wird so getan, als seien Weglassung der Null, Versechsfachung und Teilung des Kreises in 360 Grad gottgegebene oder gar natürliche Operationen. Dabei hat es die Drei als kleine und schöne Zahl gar nicht nötig, in eine Überlegung reingesteckt zu werden, um am Ende herauszukommen.
Willkürliche Zuordnungen können Jahrtausende überdauern, in Stein gemeißelt sind sie dennoch nicht. Im Monotheismus angekommen ging es wieder herauf zur Dreifaltigkeit, von der Naßrasur zum Dreitagebart, vom Tetrachord herunter zum Dreiklang. Doch hat die Drei auch Verluste zu beklagen. Der Neumond erhöhte auf vier Mondphasen, die Dreigangschaltung verlor an die Sechs und droht im Unendlichen zu verschwinden.
Wer regelmäßig „Bares für Rares“ sieht, kennt den Trick, die Gebote gegen Ende noch etwas mit der Bemerkung in die Höhe zu treiben, man müsse den Erlös mit zwei anderen teilen. Da ist es vorteilhaft, in der Schule gelernt zu haben, daß eine Zahl genau dann durch 3 teilbar ist, wenn ihre Quersumme es ist. Dazu gehören alle dreistelligen Schnapszahlen 111 bis 999. Sie weisen auch den Faktor 37 auf, denn 111=3·37. Ich hatte dereinst die Schlüsselnummer 111. Der Pförtner sagte: Dreimal die eins. Und ich antworte: Nein, dreimal siebenunddreißig.
Ein anderes Kaliber hat die Tatsache, daß jede Zahl Summe dreier Dreieckszahlen ist. [3] Bewiesen hat dies Adrien-Marie Legendre. [4] Für kleine Zahlen findet man schnell eine Zerlegung, zumeist reicht es, die größtmögliche Dreieckszahl abzuknapsen und den Rest durch zwei Summanden darzustellen. Deutlich nerviger ist es, alle Zerlegungen zu finden. [5]
Schön ist auch die von Vera Sos (und anderen) bewiesene Vermutung von Hugo Steinhaus, die nunmehr Drei-Abstands-Satz heißt: Schneidet man eine Kreislinie an den Stellen 0, φ, 2φ, 3φ, ..., (n−1)φ durch, so entstehen Teilstücke in höchstens drei verschiedenen Längen. Paradebeispiel ist die Teilung der Oktave (2π) in Quinten (φ=ld(3/2)·2π≈211°). Bei n=4 sind es erstmalig drei verschiede Längen. Zwei Teilstücke entsprechen dem großen Ganzton (9/8), die beiden anderen der Quarte (4/3) und der pythagoreischen kleinen Terz (32/27). Bei n=5,7,12,17,29,41,53,… verbleiben nur zwei Intervalle. [6] Fünf-, Sieben- und Zwölftonmusik sind also keine Willkür.
[1] Wie hätten sich Spinner früherer Jahrhunderte gefreut, wären ihnen bereits die Quarks bekannt gewesen, ohne deren Dreierverbünde die uns bekannte Welt nicht existierte.
[2] Feuer, Pfeife, Stanwell. Manche vereinfachen auf girls, girls, girls.
[3] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. Dreieckszahlen A000217.
[4] Fermat kritzelte auch das an den Rand, blieb den angekündigten Beweis aber ebenfalls schuldig. Gauß schrieb zwar ΕΥΡΗΚΑ! num = Δ + Δ + Δ ins Tagebuch, doch die Ehre des ersten Beweises gebührt Legendre.
[5] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. Ed Pegg erinnert in seiner Liste A061262 der kleinsten Dreieckszahlen, die auf genau n‑fache Weise als Summe dreier Dreieckszahlen dargestellt werden können, an Carl Friedrich Gauß mit den Worten: If at first you do not succeed, tri + tri + tri again.
[6] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. Beste pythagoreische Teilungen der Oktave A005664.
2 | 4 | 6 | 37 | 53 | 666 | Dreieckszahlen | Teilbarkeitsregeln | heilige Zahlen
Die Drei läßt sich als Erhöhung, Ergänzung oder Fortführung der Zwei sehen. Normalerweise sind auch Paare durch die Reihenfolge ihrer Nennung (Mann und Frau), ihre Numerierung (zum einen und zum anderen) oder Reihenfolge (Vergangenheit und Zukunft) angeordnet, doch eine Dreiergruppe macht deutlicher, in welche Richtung gedacht wird, an Fortpflanzung (Mann, Frau, Kind), Gruppenbildung (Mann, Frau, Familie), Überhöhung (Mann, Frau, Jesus), Abgrenzung (Vergangenheit, Gegenwart, Zukunft), an eine endlose Folge (1,2,3,…) oder einen Restbestand (männlich, weiblich, divers).
Die Dreizahl scheint dem Menschen zu liegen, in Esoterik [1], Märchen, Witzen, Religion, bei freien Wünschen und Schnapszahlen. Aller guten Dinge sind drei, Gold, Silber, Bronze, schnick, schnack, schnuck, bei Issos Keilerei, auf die Plätze, fertig, los. Drei Dinge braucht der Mann [2], Frauen sollten bei drei auf dem Baum sein, manche können nicht bis drei zählen.
Die Suche nach Bedeutungen kennt keine Hemmungen. Ein Beispiel: Die Winkelsumme im Dreieck beträgt 180 Grad und die 18 ist eine Versechsfachung der 3. Das ist natürlich in mehrfacher Hinsicht albern: Es wird so getan, als seien Weglassung der Null, Versechsfachung und Teilung des Kreises in 360 Grad gottgegebene oder gar natürliche Operationen. Dabei hat es die Drei als kleine und schöne Zahl gar nicht nötig, in eine Überlegung reingesteckt zu werden, um am Ende herauszukommen.
Willkürliche Zuordnungen können Jahrtausende überdauern, in Stein gemeißelt sind sie dennoch nicht. Im Monotheismus angekommen ging es wieder herauf zur Dreifaltigkeit, von der Naßrasur zum Dreitagebart, vom Tetrachord herunter zum Dreiklang. Doch hat die Drei auch Verluste zu beklagen. Der Neumond erhöhte auf vier Mondphasen, die Dreigangschaltung verlor an die Sechs und droht im Unendlichen zu verschwinden.
Wer regelmäßig „Bares für Rares“ sieht, kennt den Trick, die Gebote gegen Ende noch etwas mit der Bemerkung in die Höhe zu treiben, man müsse den Erlös mit zwei anderen teilen. Da ist es vorteilhaft, in der Schule gelernt zu haben, daß eine Zahl genau dann durch 3 teilbar ist, wenn ihre Quersumme es ist. Dazu gehören alle dreistelligen Schnapszahlen 111 bis 999. Sie weisen auch den Faktor 37 auf, denn 111=3·37. Ich hatte dereinst die Schlüsselnummer 111. Der Pförtner sagte: Dreimal die eins. Und ich antworte: Nein, dreimal siebenunddreißig.
Ein anderes Kaliber hat die Tatsache, daß jede Zahl Summe dreier Dreieckszahlen ist. [3] Bewiesen hat dies Adrien-Marie Legendre. [4] Für kleine Zahlen findet man schnell eine Zerlegung, zumeist reicht es, die größtmögliche Dreieckszahl abzuknapsen und den Rest durch zwei Summanden darzustellen. Deutlich nerviger ist es, alle Zerlegungen zu finden. [5]
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Die ersten sieben Dreieckszahlen 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28 (png)Schön ist auch die von Vera Sos (und anderen) bewiesene Vermutung von Hugo Steinhaus, die nunmehr Drei-Abstands-Satz heißt: Schneidet man eine Kreislinie an den Stellen 0, φ, 2φ, 3φ, ..., (n−1)φ durch, so entstehen Teilstücke in höchstens drei verschiedenen Längen. Paradebeispiel ist die Teilung der Oktave (2π) in Quinten (φ=ld(3/2)·2π≈211°). Bei n=4 sind es erstmalig drei verschiede Längen. Zwei Teilstücke entsprechen dem großen Ganzton (9/8), die beiden anderen der Quarte (4/3) und der pythagoreischen kleinen Terz (32/27). Bei n=5,7,12,17,29,41,53,… verbleiben nur zwei Intervalle. [6] Fünf-, Sieben- und Zwölftonmusik sind also keine Willkür.
[1] Wie hätten sich Spinner früherer Jahrhunderte gefreut, wären ihnen bereits die Quarks bekannt gewesen, ohne deren Dreierverbünde die uns bekannte Welt nicht existierte.
[2] Feuer, Pfeife, Stanwell. Manche vereinfachen auf girls, girls, girls.
[3] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. Dreieckszahlen A000217.
[4] Fermat kritzelte auch das an den Rand, blieb den angekündigten Beweis aber ebenfalls schuldig. Gauß schrieb zwar ΕΥΡΗΚΑ! num = Δ + Δ + Δ ins Tagebuch, doch die Ehre des ersten Beweises gebührt Legendre.
[5] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. Ed Pegg erinnert in seiner Liste A061262 der kleinsten Dreieckszahlen, die auf genau n‑fache Weise als Summe dreier Dreieckszahlen dargestellt werden können, an Carl Friedrich Gauß mit den Worten: If at first you do not succeed, tri + tri + tri again.
[6] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. Beste pythagoreische Teilungen der Oktave A005664.
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