317
wuerg, 17.03.2008 22:52
Schneide ich von der Primzahl 317 links Ziffern ab, so entstehen die Primzahlen 17 und 7. Mache ich es von rechts, komme ich auf 31 und 3. Damit ist 317 eine beidseitig stutzbare Primzahl. Das erwähnte ich bereits zur Zahl 739397, der größten unter ihnen.
Natürlich lassen sich ein paar mathematische Besonderheiten zu 317 finden. So kann die bekannte Tatsache genutzt werden, daß π² nur knapp unter 10 liegt. Doch nicht nur 314² ist fünfstellig, auch 315² und 316² sind es. Erst 317²=100489 hat sechs Stellen. Damit haben wir eine Kleinigkeit gefunden: Die 317. Quadratzahl ist die kleinste oberhalb von 100.000. [1]
Ein Kreis um den Punkt (0,0) mit Radius 10 hat eine Fläche von 100π, weshalb in ihm etwa n=100π≈314 Punkte des Einheitsgitters liegen. Da n=1 mod 4 sein muß, kommem vor allem 313 und 317 in Betracht. Ersteres wäre schön für Donald Duck, doch letzteres trifft zu. Hier ein Bild der 317 Punkte:
Bemerkenswerter ist, daß die Zahl aus 317 Einsen eine Primzahl ist. Sie ist die kleinste nach den weitgehend bekannten mit 2, 19 und 23 Einsen. Auch zur Basis 12 gelesen stehen 317 Einsen für eine Primzahl. [2]
Weitgehend bekannt ist, wie Euklid nachwies, daß es unendlich viele Primzahlen gibt: Gäbe es nur endlich viele 2, 3, 5, …, pₙ, so wäre ihr um eins vermehrtes Produkt selbst prim oder hätte einen Primteiler oberhalb von pₙ, da durch 2, 3,; 5, ,…, pₙ ja nicht geteilt werden kann. Diese Überlegung ist auch mit eins weniger statt mehr möglich. Die Produkte 2⋅3⋅5⋅…⋅pₙ heißen Primfakultäten (primorials) und werden mit n# abgekürzt. Mit einem Zuschlag von eins heißen sie Euklid-Zahlen, mit einem Abschlag von eins Kummer-Zahlen. Für n≤6 sind die n#±1 gerne prim, danach nur noch selten:
( 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ … ⋅ 313 ⋅ 317 ) − 1.
ist prim. Für andere Zahlen ist das nur selten der Fall, doch nicht außergewöhnlich. [3]
Das alles ist nicht so bedeutend. Doch nicht nur deshalb tummeln sich bei Google vorne ganz andere Treffer, belanglose Listen, irgendwelche Spinnereien oder Literatur. So ist die Rede von einem französischen Schriftsteller Jacques Roubaud, der gerne 317 schrieb und einen Hund mit 317 Meter pro Sekunde in einen Fluß fallen läßt, offensichtlich ohne zu erklären, was er sich wohl dabei gedacht hat oder wie das ginge. An anderer Stelle wird der Russe Welimir Chlebnikow erwählt, der zwischen wichtigen Seeschlachten einen Abstand von 317 Jahren bzw. Vielfachen davon festgestellt haben will und darin einen höheren Plan sieht.
Man sollte also aufgeben und akzeptieren, daß hinter 317 kein Gedanke von Bedeutung steckt, allenfalls ein privater Bezug. Doch mit etwas Glück habe ich noch weitere Kleinigkeiten gefunden: Zehn hoch zehn Sekunden dauern fast genau 317 Jahre. Und schlägt ein Hund mit 317 Metern pro Sekunde auf, dann fliegt er mit 10 Millionen Kilometern im Jahr. Das entspricht einer Fallhöhe leicht über 5 Kilometern.
[1] Dank Taschenrechner geht es natürlich auch einfacher: Wegen √10=3,162277… ist 32² die kleinste vierstellige, 317² die kleinste sechsstellige, 3163² die kleinste achstellige Quadratzahl und so fort. Merken sollte man sich nur 32²=1024=2¹⁰ für Kilo binary (Kibi).
[2] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. Stellenzahl primer Repunits zur Basis 10 (A004023) und zur Basis 12 (A004064).
[3] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. Euklid-Zahlen A006862, darunter A018239 prim zu den Produkten mit A014545 Faktoren. Kummer-Zahlen A057588, darunter A057705 prim zu den Produkten mit A057704 Faktoren.
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Natürlich lassen sich ein paar mathematische Besonderheiten zu 317 finden. So kann die bekannte Tatsache genutzt werden, daß π² nur knapp unter 10 liegt. Doch nicht nur 314² ist fünfstellig, auch 315² und 316² sind es. Erst 317²=100489 hat sechs Stellen. Damit haben wir eine Kleinigkeit gefunden: Die 317. Quadratzahl ist die kleinste oberhalb von 100.000. [1]
Ein Kreis um den Punkt (0,0) mit Radius 10 hat eine Fläche von 100π, weshalb in ihm etwa n=100π≈314 Punkte des Einheitsgitters liegen. Da n=1 mod 4 sein muß, kommem vor allem 313 und 317 in Betracht. Ersteres wäre schön für Donald Duck, doch letzteres trifft zu. Hier ein Bild der 317 Punkte:
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Bemerkenswerter ist, daß die Zahl aus 317 Einsen eine Primzahl ist. Sie ist die kleinste nach den weitgehend bekannten mit 2, 19 und 23 Einsen. Auch zur Basis 12 gelesen stehen 317 Einsen für eine Primzahl. [2]
Weitgehend bekannt ist, wie Euklid nachwies, daß es unendlich viele Primzahlen gibt: Gäbe es nur endlich viele 2, 3, 5, …, pₙ, so wäre ihr um eins vermehrtes Produkt selbst prim oder hätte einen Primteiler oberhalb von pₙ, da durch 2, 3,; 5, ,…, pₙ ja nicht geteilt werden kann. Diese Überlegung ist auch mit eins weniger statt mehr möglich. Die Produkte 2⋅3⋅5⋅…⋅pₙ heißen Primfakultäten (primorials) und werden mit n# abgekürzt. Mit einem Zuschlag von eins heißen sie Euklid-Zahlen, mit einem Abschlag von eins Kummer-Zahlen. Für n≤6 sind die n#±1 gerne prim, danach nur noch selten:
n pn 2⋅3⋅5⋅7⋅...⋅pn = n# n#+1 n#-1 0 - - 1 prim 0 1 2 2 2 prim 1 2 3 2⋅3 6 prim prim 3 5 2⋅3⋅5 30 prim prim 4 7 2⋅3⋅5⋅7 210 prim 11⋅19 5 11 2⋅3⋅5⋅7⋅11 2310 prim prim 6 13 2⋅3⋅5⋅7⋅11⋅13 30030 59⋅509 prim 7 17 2⋅3⋅5⋅7...17 510510 19⋅97⋅277 61⋅8369 8 19 2⋅3⋅5⋅7...19 9699690 347⋅27953 53⋅197⋅929 9 23 2⋅3⋅5⋅7...23 233092870 317⋅703763 37⋅131⋅46027 10 29 2⋅3⋅5⋅7...29 6469693230 331⋅571⋅34231 3⋅11⋅47⋅61⋅69439 11 31 2⋅3⋅5⋅7...31 200560490130 prim 228737⋅876817 12 37 2⋅3⋅5⋅7...37 7420738134810 181⋅60611⋅676421 229⋅541⋅1549⋅38669 13 41 2⋅3⋅5⋅7...41 304250263527210 61⋅450451⋅11072701 prim 24 89 2⋅3⋅5⋅7...89 ............... zusammengesetzt prim 66 317 2⋅3⋅5⋅7...317 ............... zusammengesetzt prim 75 379 2⋅3⋅5⋅7...379 ............... prim zusammengesetztDas um eins verminderte Produkt aller Primzahlen bis 317, also
( 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ … ⋅ 313 ⋅ 317 ) − 1.
ist prim. Für andere Zahlen ist das nur selten der Fall, doch nicht außergewöhnlich. [3]
Das alles ist nicht so bedeutend. Doch nicht nur deshalb tummeln sich bei Google vorne ganz andere Treffer, belanglose Listen, irgendwelche Spinnereien oder Literatur. So ist die Rede von einem französischen Schriftsteller Jacques Roubaud, der gerne 317 schrieb und einen Hund mit 317 Meter pro Sekunde in einen Fluß fallen läßt, offensichtlich ohne zu erklären, was er sich wohl dabei gedacht hat oder wie das ginge. An anderer Stelle wird der Russe Welimir Chlebnikow erwählt, der zwischen wichtigen Seeschlachten einen Abstand von 317 Jahren bzw. Vielfachen davon festgestellt haben will und darin einen höheren Plan sieht.
Man sollte also aufgeben und akzeptieren, daß hinter 317 kein Gedanke von Bedeutung steckt, allenfalls ein privater Bezug. Doch mit etwas Glück habe ich noch weitere Kleinigkeiten gefunden: Zehn hoch zehn Sekunden dauern fast genau 317 Jahre. Und schlägt ein Hund mit 317 Metern pro Sekunde auf, dann fliegt er mit 10 Millionen Kilometern im Jahr. Das entspricht einer Fallhöhe leicht über 5 Kilometern.
[1] Dank Taschenrechner geht es natürlich auch einfacher: Wegen √10=3,162277… ist 32² die kleinste vierstellige, 317² die kleinste sechsstellige, 3163² die kleinste achstellige Quadratzahl und so fort. Merken sollte man sich nur 32²=1024=2¹⁰ für Kilo binary (Kibi).
[2] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. Stellenzahl primer Repunits zur Basis 10 (A004023) und zur Basis 12 (A004064).
[3] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. Euklid-Zahlen A006862, darunter A018239 prim zu den Produkten mit A014545 Faktoren. Kummer-Zahlen A057588, darunter A057705 prim zu den Produkten mit A057704 Faktoren.
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