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Spieltheorie
wuerg, 23.10.2023 21:27
„Die Spieltheorie ist eine mathematische Methode, die das rationale Entscheidungsverhalten in sozialen Konfliktsituationen ableitet, in denen der Erfolg des Einzelnen nicht nur vom eigenen Handeln, sondern auch von den Aktionen anderer abhängt.“ [1]
Wegen des Wörtchens „ist“ muß ich das gelten lassen. Als es noch den „einzelnen“ gab, war die Spieltheorie zumindest für mich ein Gebiet der Mathematik, in dem man nicht zu ergründen versuchte, wie „Schach, Mühle, Dame, etc.“ [1] zu spielen ist, sondern sich überlegte, unter welchen Bedingungen gute, wenn nicht optimale Strategien existieren und wie man sie zumindest theoretisch findet. Das scheint als „mathematische Spieltheorie“ herabgewürdigt Teil einer allgemeinen Spieltheorie geworden zu sein, die den Finanztöpfen nachhängt und einen Pseudo-Nobelpreis ermöglicht. [2]
So bleiben mir nur sentimentale Erinnerungen an ein Seminar: Auf die Eingangsfrage des Professors, ob das Maximum der Minima kleiner oder größer sei als das Minimum der Maxima, war ich natürlich vorbereitet, hätte es mir aber auch schnell neu überlegen können. Damit machte es Sinn fortzufahren und den Beweis des Brouwerschen Fixpunktsatzes aus dem Buch von Burger [3] vorzutragen.
Wenn ich mir heute Youtube-Filmchen [4] des Spieltheoretikers Christian Rieck ansehe, dann scheint mir alles sehr weit davon entfernt. Seine Vorlesungen gehen gewiß tiefer als seine regelmäßigen Einlassungen zu aktuellen Themen, in denen immer wieder alte chinesische Kriegslisten angeführt werden. Nicht als historische Referenz, sondern als immer noch gültige Strategeme.
Trotzdem sehe ich mir seine Erläuterungen gerne an, weil sie zumeist die aktuelle Situation rationaler zu beleuchten vermögen als es im allgemeinen ‚Diskurs‘ üblich geworden ist. Und so war ich zuvor gar nicht auf eine Binsenweisheit im spieltheoretischen Konflikt zwischen der Hamas und dem Staate Israel gekommen:
Es geht der Hamas gar nicht um einen unmöglichen Sieg über Israel, sondern um die Festigung der eigenen Herrschaft. Ihr Angriff soll verhindern, in der Bedeutungslosigkeit zu versinken. Das hat Herr Rieck der NZZ entnommen, darauf sind also andere auch ohne Spieltheorie gekommen. Mich aber erinnert das an die folgende Überlegung:
Selbst theoretisch allereinfachste Spiele wie Schach können ihre optimalen, wenn auch unbekannten Strategien einbüßen, wenn die Auszahlungsfunktion der Beteiligten sich ändert, etwa durch Nebenabsprachen. [5] Im allgemeinen ist unbekannt, was ein rationaler Spieler zu optimieren sucht. Das führte mich schon früh zur Umkehrung: Wenn seine Vorgehensweise einigermaßen gewinnversprechend ist, um was spielt er dann eigentlich, was ist seine Auszahlungsfunktion?
Was verspricht sich die Hamas von einem Angriff, obwohl sie Israel nicht das Wasser reichen kann? Was macht die Ampelparteien glücklich, daß sie Wahlschlappen inkauf nehmen? Um was geht es Sahra Wagenknecht, zumal sie in der Linken jede Position hätte erlangen können? Warum wollten viele den jetzt aufgeflogenen Elefanten im Raum nicht sehen, obschon sie ihn selbst einließen? Was sind ihre Auszahlungsfunktionen?
[1] Wikipedia. Spieltheorie.
[2] Natürlich ist es eine große Leistung, Modelle durchzurechnen, die dem Kern einer realen Situation nahe kommen sollen. Selbst wenn es nur eine Simulation mit dem Computer ist. Ich kenne außer dem Film nichts von John Forbes Nash, doch wird er sowohl den Abelpreis für Mathematik als auch den Gedächtnis-Nobelpreis für Wirtschaft verdient haben. Im Gegensatz zu Arafat für den Frieden.
[3] Ewald Burger: Theorie der Spiele. De Gruyter, 1966. Mein Exemplar habe ich meinem Sohn überlassen, der den Wert hoffentlich zu schätzen weiß: Gebunden oder als PDF für 65 Cent pro Seite.
[4] Christian Rieck: Hamas greift Israel an: spieltheoretische Überlegungen. Youtube, 14.10.2023.
[5] Die Spieltheorie wird gerne dahingehend kritisiert, daß Menschen sich eben nicht rational verhielten. Diesen Makel weist die mathematische Spieltheorie nicht auf. In ihr geht es nicht um menschliche Spieler, sondern um die Spiele selbst. Und wenn einer sich schlau fühlt und zum Beispiel einwendet, im Turnier ginge es gar nicht um den Einzelsieg im Spiel, dann lautet die Antwort: Ein Turnier ist eben ein anderes Spiel!
Wegen des Wörtchens „ist“ muß ich das gelten lassen. Als es noch den „einzelnen“ gab, war die Spieltheorie zumindest für mich ein Gebiet der Mathematik, in dem man nicht zu ergründen versuchte, wie „Schach, Mühle, Dame, etc.“ [1] zu spielen ist, sondern sich überlegte, unter welchen Bedingungen gute, wenn nicht optimale Strategien existieren und wie man sie zumindest theoretisch findet. Das scheint als „mathematische Spieltheorie“ herabgewürdigt Teil einer allgemeinen Spieltheorie geworden zu sein, die den Finanztöpfen nachhängt und einen Pseudo-Nobelpreis ermöglicht. [2]
So bleiben mir nur sentimentale Erinnerungen an ein Seminar: Auf die Eingangsfrage des Professors, ob das Maximum der Minima kleiner oder größer sei als das Minimum der Maxima, war ich natürlich vorbereitet, hätte es mir aber auch schnell neu überlegen können. Damit machte es Sinn fortzufahren und den Beweis des Brouwerschen Fixpunktsatzes aus dem Buch von Burger [3] vorzutragen.
Wenn ich mir heute Youtube-Filmchen [4] des Spieltheoretikers Christian Rieck ansehe, dann scheint mir alles sehr weit davon entfernt. Seine Vorlesungen gehen gewiß tiefer als seine regelmäßigen Einlassungen zu aktuellen Themen, in denen immer wieder alte chinesische Kriegslisten angeführt werden. Nicht als historische Referenz, sondern als immer noch gültige Strategeme.
Trotzdem sehe ich mir seine Erläuterungen gerne an, weil sie zumeist die aktuelle Situation rationaler zu beleuchten vermögen als es im allgemeinen ‚Diskurs‘ üblich geworden ist. Und so war ich zuvor gar nicht auf eine Binsenweisheit im spieltheoretischen Konflikt zwischen der Hamas und dem Staate Israel gekommen:
Es geht der Hamas gar nicht um einen unmöglichen Sieg über Israel, sondern um die Festigung der eigenen Herrschaft. Ihr Angriff soll verhindern, in der Bedeutungslosigkeit zu versinken. Das hat Herr Rieck der NZZ entnommen, darauf sind also andere auch ohne Spieltheorie gekommen. Mich aber erinnert das an die folgende Überlegung:
Selbst theoretisch allereinfachste Spiele wie Schach können ihre optimalen, wenn auch unbekannten Strategien einbüßen, wenn die Auszahlungsfunktion der Beteiligten sich ändert, etwa durch Nebenabsprachen. [5] Im allgemeinen ist unbekannt, was ein rationaler Spieler zu optimieren sucht. Das führte mich schon früh zur Umkehrung: Wenn seine Vorgehensweise einigermaßen gewinnversprechend ist, um was spielt er dann eigentlich, was ist seine Auszahlungsfunktion?
Was verspricht sich die Hamas von einem Angriff, obwohl sie Israel nicht das Wasser reichen kann? Was macht die Ampelparteien glücklich, daß sie Wahlschlappen inkauf nehmen? Um was geht es Sahra Wagenknecht, zumal sie in der Linken jede Position hätte erlangen können? Warum wollten viele den jetzt aufgeflogenen Elefanten im Raum nicht sehen, obschon sie ihn selbst einließen? Was sind ihre Auszahlungsfunktionen?
[1] Wikipedia. Spieltheorie.
[2] Natürlich ist es eine große Leistung, Modelle durchzurechnen, die dem Kern einer realen Situation nahe kommen sollen. Selbst wenn es nur eine Simulation mit dem Computer ist. Ich kenne außer dem Film nichts von John Forbes Nash, doch wird er sowohl den Abelpreis für Mathematik als auch den Gedächtnis-Nobelpreis für Wirtschaft verdient haben. Im Gegensatz zu Arafat für den Frieden.
[3] Ewald Burger: Theorie der Spiele. De Gruyter, 1966. Mein Exemplar habe ich meinem Sohn überlassen, der den Wert hoffentlich zu schätzen weiß: Gebunden oder als PDF für 65 Cent pro Seite.
[4] Christian Rieck: Hamas greift Israel an: spieltheoretische Überlegungen. Youtube, 14.10.2023.
[5] Die Spieltheorie wird gerne dahingehend kritisiert, daß Menschen sich eben nicht rational verhielten. Diesen Makel weist die mathematische Spieltheorie nicht auf. In ihr geht es nicht um menschliche Spieler, sondern um die Spiele selbst. Und wenn einer sich schlau fühlt und zum Beispiel einwendet, im Turnier ginge es gar nicht um den Einzelsieg im Spiel, dann lautet die Antwort: Ein Turnier ist eben ein anderes Spiel!
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Brandmauer
wuerg, 08.10.2023 21:26
Schon lange frage ich mich, wie die Brandmauer wohl fallen wird. Und mit der heutigen Wahl will ich eine Prognose wagen, die so falsch sein kann wie meine zu Corona und deren Eintreffen oder Scheitern ich wohl nicht mehr erleben werde.
Die Ampelparteien werden sich angesicht wegschwimmender Felle sowohl ordentlich streiten als auch in einer Wagenburg ums Überleben kämpfen. Doch schon bald können sie allein keine Regierungen mehr stellen und müssen bei der CDU um Posten betteln. Die ist gezwungen, mindestens einen der Wadenbeißer mit ins Boot holen, im Bund wahrscheinlich sofort zwei. Intern wird man diskutieren, ob die aufstrebende AfD nicht doch der angenehmere Koalitionspartner sein könnte. Mit ihr hätte man mehr gemein, und sie stellte aus Dankbarkeit nicht soviele Ansprüche auf Posten.
Das alles kann schneller gehen, als man denkt. Zunächst im Osten, irgendwann auch im Bund. Verliert die CDU dort nochmals über 8 Prozentpunkte, halbiert sich die SPD erfolgreich und orientieren sich auch Grüne und FDP weiterhin nach unten, so kommt die Viererbande der Demokraten nur knapp auf die Hälfte aller Stimmen, müßte also hoffen, daß erhebliche Anteile unter die Fünfprozenthürde fallen. Eine Wagenknecht-Partei könnte also den Prozeß beschleunigen.
Die Ampelparteien werden sich angesicht wegschwimmender Felle sowohl ordentlich streiten als auch in einer Wagenburg ums Überleben kämpfen. Doch schon bald können sie allein keine Regierungen mehr stellen und müssen bei der CDU um Posten betteln. Die ist gezwungen, mindestens einen der Wadenbeißer mit ins Boot holen, im Bund wahrscheinlich sofort zwei. Intern wird man diskutieren, ob die aufstrebende AfD nicht doch der angenehmere Koalitionspartner sein könnte. Mit ihr hätte man mehr gemein, und sie stellte aus Dankbarkeit nicht soviele Ansprüche auf Posten.
Das alles kann schneller gehen, als man denkt. Zunächst im Osten, irgendwann auch im Bund. Verliert die CDU dort nochmals über 8 Prozentpunkte, halbiert sich die SPD erfolgreich und orientieren sich auch Grüne und FDP weiterhin nach unten, so kommt die Viererbande der Demokraten nur knapp auf die Hälfte aller Stimmen, müßte also hoffen, daß erhebliche Anteile unter die Fünfprozenthürde fallen. Eine Wagenknecht-Partei könnte also den Prozeß beschleunigen.
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AfD-Mann
wuerg, 25.09.2023 21:59
In Überschriften wird gejubelt, daß die Zivilgesellschaft den AfD-Mann nicht gewählt hat. Oftmals erst im Text hat er wie hier bei mir auch einen Namen, Jörg Prophet. Eigentlich ist das alles wirklich unwichtig, zumindest ich kannte Nordhausen nicht, auch keine Gedenkstätte. Auch hätte ich ihn nicht gewählt. Zu sehr verfängt selbst bei mir die Warnung unserer Gemeinsamkeit der Demokraten samt den Haltung zeigenden abgehalfterten Politikern und Künstlern, ich könne an einem vierten Reich schuldig werden. Und statt mich zu enthalten, hätte ich nicht als gesichert rechtsextremer AfD-, aber weißer heterosexueller cis-Mann zusammen mit intersektionalen Feministinnen über die Vorwürfe gegen den parteilosen Gewinner Kai Buchmann hinwegsehen können.
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39,2 Megatonnen
wuerg, 08.09.2023 18:50
Das Heizungsgesetz soll bis zu 39,2 Megatonnen Kohlendioxyd bis 2030, also in maximal 7,2 Jahren einsparen. Kritiker wenden schnell ein, daß die Chinesen jeden Tag 32 Megatonnen ausstoßen. Das ist unfair, denn sie bringen es zwar auf 7,7 Tonnen pro Kopf und Jahr, wir aber auf stolze 9. Trotzdem handelt es sich bei den 39,2 Megatonnen um eine Winzmenge, zumal Deutschland in dieser Zeit wohl 5000 Megatonnen in die Luft blasen wird.
Es bedarf nur einer kleinen kostengünstigen Einsparung, um dieses Ziel zu erreichen, ohne Eigenheimbesitzern Milliarden in den Arsch zu blasen: Fährt jeder täglich zwei Kilometer weniger mit dem Auto, so spart er 170 Gramm am Tag, 62 Kilogramm pro Jahr und 450 bis Ende 2030. Alle zusammen bringen es so auf 38 Megatonnen, weit mehr als aus dem Heizungsgesetz wirklich zu erwarten ist. Und um das durchzusetzen bedarf es keiner komplizierten, sondern nur einer anderen unpopulären Entscheidung: Anhebung der Mineralölsteuer. Aber das haben die Grünen ja weit hinter sich gelassen.
Oder: Pflanzt man für jeden Deutschen sechs Bäume, binden sie jährlich 5 Megatonnen Kohlendioxyd. Auch so kommt man auf 36 Megatonnen bis Ende 2030. Diese sechs mögen viel erscheinen, doch gibt es auf der Erde immer noch 370 Bäume pro Mensch, da sind sechs mehr eigentlich nicht viel. Und noch eine Rechnung: 39,2 Megatonnen sind etwa 500 Kilogramm pro Kopf. Die technisch aus der Luft zu ziehen, kostet derzeit etwa 250 Euro, vorwiegend für Strom, weit weniger als eine Wärmepumpe in sieben Jahren verpulvert. Trotzdem: Es ist besser, weniger Kohlenstoff zu verbrennen als dessen Oxyd wieder aus der Luft zu ziehen.
Es bedarf nur einer kleinen kostengünstigen Einsparung, um dieses Ziel zu erreichen, ohne Eigenheimbesitzern Milliarden in den Arsch zu blasen: Fährt jeder täglich zwei Kilometer weniger mit dem Auto, so spart er 170 Gramm am Tag, 62 Kilogramm pro Jahr und 450 bis Ende 2030. Alle zusammen bringen es so auf 38 Megatonnen, weit mehr als aus dem Heizungsgesetz wirklich zu erwarten ist. Und um das durchzusetzen bedarf es keiner komplizierten, sondern nur einer anderen unpopulären Entscheidung: Anhebung der Mineralölsteuer. Aber das haben die Grünen ja weit hinter sich gelassen.
Oder: Pflanzt man für jeden Deutschen sechs Bäume, binden sie jährlich 5 Megatonnen Kohlendioxyd. Auch so kommt man auf 36 Megatonnen bis Ende 2030. Diese sechs mögen viel erscheinen, doch gibt es auf der Erde immer noch 370 Bäume pro Mensch, da sind sechs mehr eigentlich nicht viel. Und noch eine Rechnung: 39,2 Megatonnen sind etwa 500 Kilogramm pro Kopf. Die technisch aus der Luft zu ziehen, kostet derzeit etwa 250 Euro, vorwiegend für Strom, weit weniger als eine Wärmepumpe in sieben Jahren verpulvert. Trotzdem: Es ist besser, weniger Kohlenstoff zu verbrennen als dessen Oxyd wieder aus der Luft zu ziehen.
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Waren Preise
wuerg, 04.08.2023 14:38
Vor Jahren beantwortete ich artig ein paar Fragen, um meinen CO2‑Fußabruck bestimmen zu lassen. Statt eines Lobes wurde mir frech ausgedruckt, ich könne weniger Fleisch essen. Eine Unverschämtheit, zumal ich weder Auto fahre noch fliege. Und deshalb können mir Vegetarier im Verein mit Ernährungs- und Nachhaltigkeitswissenschaftlerinnen ihre tendenziösen Rechnungen vorbeten wie sie wollen. Sie gehen mir am Arsch vorbei.
Ich esse zunehmend teures Gemüse, weil es wohl wirklich gesund ist. Dazu fahre ich aber nicht mit dem Rad zu Penny, sondern bevorzuge frische Ware. Die gibt es bei Edeka und auf dem Wochenmarkt, solange es sich noch für den Händler lohnt. Daß ich bei ihm für mehr Geld eine höhere Qualität erhalte, will ich lieber nicht beschwören. Es bleibt jedoch in der Region und bei arbeitenden Menschen, es fließt nicht in grünwaschende Werbekampagnen.
Was Penny unter wahren Preisen versteht, sind eher vermutete Kosten der Nahrungsproduktion samt Vertrieb und Profit. Warum sollte ich diese Kosten als Preis zahlen, wenn wie breit erklärt die Belastungen der Umwelt und der Gesundheit weiterhin von anderen ausgeglichen werden, letztlich vom Steuerzahler? Wo ist die Gerechtigkeit, wenn alternativ der Endverbraucher, egal ob arm oder reich, die Gesamtbelastung löhnen muß? So bleiben die wahren Preise in Wahrheit eine Werbekampagne, die vielleicht einen positiven Effekt hat, wenn eine Diskussion darüber beginnt, ob Lebensmittel unterschiedlich besteuert werden sollten.
Wer viel Geld für Werbung ausgibt, mir ständig Prospekte einwirft, mich mit 16‑fachen Payback-Punkten, Gutscheinen, Rabatten, Sonderangeboten und einer sog. App lockt, kann nicht nur den kleinen Verlust einstecken, der dadurch entsteht, daß viele ihre Würstchen woanders kaufen, sondern auch den Erlös für ein grünes Projekt direkt neben den Krombacher-Bäumen spenden. Ich belasse es dabei, meinen Pfandbon in den Spendenkasten zu werfen und an der Kasse bar ohne Abzüge zu zahlen. Auch beeindruckt es mich nicht, daß Penny seinen Mitarbeitern eine Woche lang mindestens 20 Euro als wahres Gehalt zahlt und dafür nur das Weihnachtsgeld streicht. [1]
[1] "Wahres Gehalt": Penny zahlt Angestellten eine Woche lang das, was sie eigentlich verdienen sollten. Der Postillon. 31.07.2023.
Ich esse zunehmend teures Gemüse, weil es wohl wirklich gesund ist. Dazu fahre ich aber nicht mit dem Rad zu Penny, sondern bevorzuge frische Ware. Die gibt es bei Edeka und auf dem Wochenmarkt, solange es sich noch für den Händler lohnt. Daß ich bei ihm für mehr Geld eine höhere Qualität erhalte, will ich lieber nicht beschwören. Es bleibt jedoch in der Region und bei arbeitenden Menschen, es fließt nicht in grünwaschende Werbekampagnen.
Was Penny unter wahren Preisen versteht, sind eher vermutete Kosten der Nahrungsproduktion samt Vertrieb und Profit. Warum sollte ich diese Kosten als Preis zahlen, wenn wie breit erklärt die Belastungen der Umwelt und der Gesundheit weiterhin von anderen ausgeglichen werden, letztlich vom Steuerzahler? Wo ist die Gerechtigkeit, wenn alternativ der Endverbraucher, egal ob arm oder reich, die Gesamtbelastung löhnen muß? So bleiben die wahren Preise in Wahrheit eine Werbekampagne, die vielleicht einen positiven Effekt hat, wenn eine Diskussion darüber beginnt, ob Lebensmittel unterschiedlich besteuert werden sollten.
Wer viel Geld für Werbung ausgibt, mir ständig Prospekte einwirft, mich mit 16‑fachen Payback-Punkten, Gutscheinen, Rabatten, Sonderangeboten und einer sog. App lockt, kann nicht nur den kleinen Verlust einstecken, der dadurch entsteht, daß viele ihre Würstchen woanders kaufen, sondern auch den Erlös für ein grünes Projekt direkt neben den Krombacher-Bäumen spenden. Ich belasse es dabei, meinen Pfandbon in den Spendenkasten zu werfen und an der Kasse bar ohne Abzüge zu zahlen. Auch beeindruckt es mich nicht, daß Penny seinen Mitarbeitern eine Woche lang mindestens 20 Euro als wahres Gehalt zahlt und dafür nur das Weihnachtsgeld streicht. [1]
[1] "Wahres Gehalt": Penny zahlt Angestellten eine Woche lang das, was sie eigentlich verdienen sollten. Der Postillon. 31.07.2023.
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Heute schon gekotzt?
wuerg, 01.08.2023 17:42
Man kann nicht vollständig unterbinden, daß Gehirnzellen und ihre Verbindungen für Schwachsinn verbraten werden. Wegen Ramstein und der lautlichen Brutalität blieb mir Rammstein hängen. Nun drängen Lindemann, suck box und facefuck nach. Auch ein Ausschnitt aus einer Diskussion, in der eine Dame bei Maybrit Illner in dubio pro reo neugrün, woke, feministisch umdichtete. Doch nachdem ich dank Herrn Solmecke weitere Gehirnzellen verbriet, komme ich zu dem Schluß: Ja, für den Angeklagten, dem keine Rechtsverstöße nachgewiesen werden konnten. Nein, wenn man die Verkommenheiten bedenkt, die er freimütig einräumt.
Recht und Ordnung sind die eine Sache, Sitte und Anstand eine andere. Vielleicht gelingt es den zivilisierten Menschen eines Tages, sich von durchsexualisierten, gewaltbereiten, verkommenen und einfach dummen Menschen abzusetzen, sie nicht mehr zur Kenntnis nehmen zu müssen, seien es dekadente Musiker oder Mädchen aus der row zero. Bis dahin rate ich letzteren, keine Gratisgetränke anzunehmen.
Recht und Ordnung sind die eine Sache, Sitte und Anstand eine andere. Vielleicht gelingt es den zivilisierten Menschen eines Tages, sich von durchsexualisierten, gewaltbereiten, verkommenen und einfach dummen Menschen abzusetzen, sie nicht mehr zur Kenntnis nehmen zu müssen, seien es dekadente Musiker oder Mädchen aus der row zero. Bis dahin rate ich letzteren, keine Gratisgetränke anzunehmen.
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Glückliche Zahlen
wuerg, 20.07.2023 21:17
Das Sieb des Eratosthenes streicht in seiner naiven Form mit den natürlichen Zahlen beginnend im n-ten Schritt die echten Vielfachen von n+1. Entfernt man dagegen jede (n+1)-te verbliebene Zahl so entsteht das Sieb von Josephus. Man kann sich im Sieb des Eratosthenes auf die Streichung der echten Vielfachen der (n+1)-ten im Sieb verbliebenen Zahl p(n) beschränken. Macht man das auch in Josephus-Manier und streicht jede p(n)-te Zahl aus dem Sieb, so entstehen die pseudo-lucky numbers. [1] Bis 71 sieht das wie folgt aus:
Streicht man p(n)=n+1 nicht, was zunächst die 2 im ersten und sodann die 3 im dritten Schritt betrifft, so entsteht eine ganz andere Folge
Gibt es pseudo-lucky numbers, so auch wirklich glückliche [2]. Sie entstehen in Josephus-Analogie aus dem Sieb des Eratosthenes, wenn man die Siebschritte etwas vermenschlicht und für p(n) statt der (n+1)-ten verbliebenen Zahl einfach die kleinste nach p(n-1) aus dem vorangehenden Schritt wählt. Dazu wird p(0)=1 gesetzt. Also für die lucky numbers: Man beginnt mit allen natürlichen Zahlen und p(0)=1. Im n-ten Siebschritt ist p(n) die minimale im Sieb verbliebene Zahl größer p(n-1), woraufhin jede p(n)-te daraus entfernt wird. Bis 71 sieht das wir folgt aus:
Wieder kann man sich der 2 erbarmen und p(n)=n nicht streichen, muß dieses Privileg allerdings auch der 3 zugestehen:
Die Prominenz der glücklichen Zahlen beruht vermutlich auf einem ihrer Urheber, Stanislaw Marcin Ulam. [3] Es bestand wohl die Hoffnung, durch sie etwas über Primzahlen herauszufinden, zumal sie ähnlich entstehen und eine nur leicht geringere Dichte aufweisen. So gibt es bis zur einer Million 78.498 Primzahlen und immerhin 71.919 glückliche Zahlen, gut in der Nähe von 10^6/ln(10^6)≈72.382.
Wie man das Sieb des Eratosthenes ohne die 1 starten kann, um nur die Primzahlen ohne die 1 zu erhalten, so beginnt man das Sieb der glücklichen Zahlen normalerweise mit den ungeraden, um das Problem mit der 2 zu umgehen und wieder einfach die (n+1)-te Zahl im Sieb als p(n) nehmen zu können. Da liegt es nahe, die gleiche Methode auch auf den geraden Zahlen zu probieren:
[1] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. Pseudo-lucky numbers A249876. Lucky numbers heißen im deutschen Sprachraum glückliche Zahlen. Für pseudo-lucky numbers ist mir keine verbindliche Bezeichnung bekannt. Gut wäre scheinglücklich.
[2] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. Glückliche Zahlen A00959, glückliche Primzahlen A031157 (darunter auch das Paar 37-73), ungerade zusammengesetzte unglückliche Zahlen A032584, glückliche Quadratzahlen A031162, glückliche Zwillinge A031160.
[3] Neben Ulam werden stets Gardiner, Lazarus und Metropolis genannt, weil die vier gemeinsam im Jahre 1956 die heute glücklich genannten Zahlen vorstellten. Wer die drei anderen sind, scheint vergessen. Ich dachte zunächst an eine Internet-Kopie-Kopie-Kopie eines Schreibfehlers, weil Gardner einiges über glückliche Zahlen schrieb. Doch der heißt Martin, der andere Verna Gardiner. Und Tony Gardiner war noch etwas zu jung.
[4] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. Even-lucky numbers (ELN) A045954 und ihre Hälften A045989
[5] Natürlich gibt es auch die mir fremde Siebtheorie als mathematische Disziplin, wozu die hier vorgestellten Siebe wohl so gut wie nichts beitragen. Mir reichen die Erinnerungen an die analytische Zahlentheorie mit ihren nervigen Umsummierungen.
Sieb des Eratosthenes | Josephus-Problem | Sieb von Josephus | ludic numbers
1 2 3 4 5 6 7
n p(n) 12345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901
1 2 |X|X|X|X|X|X|X|X|X|X|X|X|X|X|X|X|X|X|X|X|X|X|X|X|X|X|X|X|X|X|X|X|X|X|X|
2 5 | | O | X | | | | X | | | | X | | | | X | | | | X | | | | X | | | | X |
3 7 | | | O | | X | | | | | | X | | | | | | X | | | | | | X |
4 11 | | | | O | | | | | X | | | | | | | | | | X | | |
5 13 | | | | | O | | | | | | X | | | | | | | | | |
6 17 | | | | | | O | | | | | | | | | X | | | | |
7 21 | | | | | | | O | | | | | | | | | | | | X
1 3 5 7 11 13 17 21 23 25 31 35 41 43 45 47 55 57 63 65
Im ersten Schritt (n=1) ist p(n)=2 die zweite (n+1=2) Zahl unter allen natürlichen. Deshalb wird jede zweite Zahl gestrichen, auch p(n)=2 selbst. Es bleiben die ungeraden Zahlen. Im folgenden Schritt (n=2) ist p(n)=5 die dritte im Sieb verbliebene Zahl. So fällt mit 9, 19, 29, 39, ... jede fünfte durch das Sieb. Das sind die auf 9 endenden Zahlen. Für n=3 ist p(n)=7, womit 15, 33, 51 und 67 im Abstand von 18 durchfallen. Nun p(4)=11, wodurch 27 und 61 entfallen, p(5)=13 entfernt 37, p(6)=17 die 53 und p(7)=21 schließlich 71.Streicht man p(n)=n+1 nicht, was zunächst die 2 im ersten und sodann die 3 im dritten Schritt betrifft, so entsteht eine ganz andere Folge
1 2 3 4 5 6 7
n p(n) 12345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901
1 2 |O|X|X|X|X|X|X|X|X|X|X|X|X|X|X|X|X|X|X|X|X|X|X|X|X|X|X|X|X|X|X|X|X|X|X|
2 3 ||O | | X | | X | | X | | X | | X | | X | | X | | X | | X | | X | | X |
3 5 ||| O X | | | | X | | | | X | | | | X | | | | X |
4 11 ||| | O | | | | | X | | | | | | | | | |
5 13 ||| | | O | | | | | | X | | | | | | |
6 17 ||| | | | O | | | | | | | | | X | |
123 5 11 13 17 19 25 29 35 41 47 49 55 59 65 71
die der On-Line Encyclopedia of Integer Sequences unbekannt ist. Um die Flut der Siebe zu mehren, könnte ich sie dort einreichen.Gibt es pseudo-lucky numbers, so auch wirklich glückliche [2]. Sie entstehen in Josephus-Analogie aus dem Sieb des Eratosthenes, wenn man die Siebschritte etwas vermenschlicht und für p(n) statt der (n+1)-ten verbliebenen Zahl einfach die kleinste nach p(n-1) aus dem vorangehenden Schritt wählt. Dazu wird p(0)=1 gesetzt. Also für die lucky numbers: Man beginnt mit allen natürlichen Zahlen und p(0)=1. Im n-ten Siebschritt ist p(n) die minimale im Sieb verbliebene Zahl größer p(n-1), woraufhin jede p(n)-te daraus entfernt wird. Bis 71 sieht das wir folgt aus:
1 2 3 4 5 6 7
n p(n) 12345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901
1 2 |X|X|X|X|X|X|X|X|X|X|X|X|X|X|X|X|X|X|X|X|X|X|X|X|X|X|X|X|X|X|X|X|X|X|X|
2 3 | O X | | X | | X | | X | | X | | X | | X | | X | | X | | X | | X | | X
3 7 | | O | | | X | | | | | | X | | | | | | X | | |
4 9 | | | O | | | | X | | | | | | | | X | | |
5 13 | | | | O | | | | | | | X | | | | | |
6 15 | | | | | O | | | | | | | | X | | |
1 3 7 9 13 15 21 25 31 33 37 43 49 51 63 67 69
Im ersten Schritt ist p(1)=2 die kleinste Zahl nach p(0)=1. Damit entfallen wiederum die geraden Zahlen. Die 2 ist weg, doch die 3 noch da, also p(2)=3, womit 5, 11, 17, 23, ... durchfallen. Nun ist 7 die kleinste Zahl nach der 3 im Sieb. Es werden 19, 39 und 61 gestrichen. Durch p(4)=9 verschwinden 27 und 57, p(5)=13 entfernt die 45 und p(6)=15 schließlich die 55. Die folgenden Schritte sind überflüssig, da schon p(7)=21 bei nur noch 17 Zahlen im Sieb.Wieder kann man sich der 2 erbarmen und p(n)=n nicht streichen, muß dieses Privileg allerdings auch der 3 zugestehen:
1 2 3 4 5 6 7
n p(n) 12345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901
1 2 |O|X|X|X|X|X|X|X|X|X|X|X|X|X|X|X|X|X|X|X|X|X|X|X|X|X|X|X|X|X|X|X|X|X|X|
2 3 ||O | | X | | X | | X | | X | | X | | X | | X | | X | | X | | X | | X |
3 5 ||| O X | | | | X | | | | X | | | | X | | | | X |
4 11 ||| | O | | | | | X | | | | | | | | | |
5 13 ||| | | O | | | | | | X | | | | | | |
6 17 ||| | | | O | | | | | | | | | X | |
123 5 11 13 17 19 25 29 35 41 47 49 55 59 65 71
Erneut entsteht eine ganz andere Folge, die nicht in der On-Line Encyclopedia of Integer Sequences zu finden ist.Die Prominenz der glücklichen Zahlen beruht vermutlich auf einem ihrer Urheber, Stanislaw Marcin Ulam. [3] Es bestand wohl die Hoffnung, durch sie etwas über Primzahlen herauszufinden, zumal sie ähnlich entstehen und eine nur leicht geringere Dichte aufweisen. So gibt es bis zur einer Million 78.498 Primzahlen und immerhin 71.919 glückliche Zahlen, gut in der Nähe von 10^6/ln(10^6)≈72.382.
Wie man das Sieb des Eratosthenes ohne die 1 starten kann, um nur die Primzahlen ohne die 1 zu erhalten, so beginnt man das Sieb der glücklichen Zahlen normalerweise mit den ungeraden, um das Problem mit der 2 zu umgehen und wieder einfach die (n+1)-te Zahl im Sieb als p(n) nehmen zu können. Da liegt es nahe, die gleiche Methode auch auf den geraden Zahlen zu probieren:
1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6
n p(n) 13579135791357913579135791357913 p(n) 2468024680246802468024680246802468
1 3 |OX||X||X||X||X||X||X||X||X||X|| 4 |O|X|||X|||X|||X|||X|||X|||X|||X||
2 7 ||-O|-||-X|-||-||-|X-||-||-||-X| 6 ||O-||X-|||-||X-|||-||X-|||-||X-||
3 9 ||-|O-||--|-|X-||-|--||-||-|X--| 10 |||-O|--|||-|X--|||-||--|||-|X--||
4 13 ||-||-O|--|-|--||-|--|X-||-|---| 12 |||-|O--|||-|---||X-||--|||-|---||
5 15 ||-||-|O--|-|--||-|--|--||-X---| 18 |||-||--O||-|---||--||--|||-|---X|
Links im Bild entstehen aus den ungeraden Zahlen wieder die lucky numbers, rechts aus den geraden die even-lucky numbers (ELN). [4] Ja, des Siebens ist kein Ende. [5][1] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. Pseudo-lucky numbers A249876. Lucky numbers heißen im deutschen Sprachraum glückliche Zahlen. Für pseudo-lucky numbers ist mir keine verbindliche Bezeichnung bekannt. Gut wäre scheinglücklich.
[2] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. Glückliche Zahlen A00959, glückliche Primzahlen A031157 (darunter auch das Paar 37-73), ungerade zusammengesetzte unglückliche Zahlen A032584, glückliche Quadratzahlen A031162, glückliche Zwillinge A031160.
[3] Neben Ulam werden stets Gardiner, Lazarus und Metropolis genannt, weil die vier gemeinsam im Jahre 1956 die heute glücklich genannten Zahlen vorstellten. Wer die drei anderen sind, scheint vergessen. Ich dachte zunächst an eine Internet-Kopie-Kopie-Kopie eines Schreibfehlers, weil Gardner einiges über glückliche Zahlen schrieb. Doch der heißt Martin, der andere Verna Gardiner. Und Tony Gardiner war noch etwas zu jung.
[4] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. Even-lucky numbers (ELN) A045954 und ihre Hälften A045989
[5] Natürlich gibt es auch die mir fremde Siebtheorie als mathematische Disziplin, wozu die hier vorgestellten Siebe wohl so gut wie nichts beitragen. Mir reichen die Erinnerungen an die analytische Zahlentheorie mit ihren nervigen Umsummierungen.
Sieb des Eratosthenes | Josephus-Problem | Sieb von Josephus | ludic numbers
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