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Sieb von Josephus
wuerg, 27.02.2022 23:10
Das Sieb des Eratosthenes siebt in einer naiven Form aus den natürlichen Zahlen im n‑ten Schritt die echten Vielfachen von n+1 heraus. Das Sieb von Josephus [1] erhält man mit einer leichten Abwandlung: Es wird einfach jede (n+1)‑te Zahl aus den verbliebenen gestrichen. Das basiert auf dem Josephus-Problem: Wer von m im Kreis stehenden Männern bleibt übrig, wenn jeder k‑te erschlagen wird? Hier aber fehlt der Kreis, weshalb bis in die Unendlichkeit zunächst jeder zweite, danach erneut von vorne beginnend jeder dritte usw. erschlagen wird. Bis 79 sieht das wie folgt aus:
Für die so bis in die Unendlichkeit verbleibenden Zahlen gibt es meines Wissens keinen verbreiteten Namen. Wohl aber für andere ebenfalls auf der Josephus-Vorstellung beruhenden wie den lucky und den ludic numbers, die ein mit den Primzahlen vergleichbares Wachstum aufweisen, während die namenlosen Zahlen aus dem hier vorgestellten Sieb von Josephus deutlich dünner gesät sind. [2]
[1] Besser „nach“ Josephus, der selbst allenfalls Sand gesiebt hat. Von Flavius Josephus selbst gibt es nur eine merkwürdige Schilderung, nach der jeder dritte von 41 Männern Selbstmord verübte bis er selbst als vorletzter an der Reihe war und sich gemeinsam mit dem letzten den Römern ergab.
[2] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. Sieb nach Josephus A000960, lucky numbers A000959, ludic numbers A003309.
Sieb des Eratosthenes | Josephus-Problem
1 2 3 4 5 6 7
n1234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789
1|X|X|X|X|X|X|X|X|X|X|X|X|X|X|X|X|X|X|X|X|X|X|X|X|X|X|X|X|X|X|X|X|X|X|X|X|X|X|X|
2| | X | | X | | X | | X | | X | | X | | X | | X | | X | | X | | X | | X | | X |
3| | | X | | | X | | | X | | | X | | | X | | | X | | |
4| | | | X | | | | X | | | | X | | | | X |
5| | | | | X | | | | | X | | | | |
6| | | | | | X | | | | | | X |
7| | | | | | | X | | | | |
8| | | | | | | | X | | |
9| | | | | | | | | X |
1 3 7 13 19 27 39 49 63 79
Zunächst werden die geraden Zahlen gestrichen, dann jede dritte der verbliebenen. Das sind 5, 11, 17, 23, ... im Abstand von 6. Danach jede vierte, wodurch 9, 21, 33, 45, ... getroffen werden. Im vierten Schritt müssen 15, 37, 55 und 75 dran glauben. So geht es weiter bis zum letzten erforderlichen Schritt 9, in dem die 67 fällt.Für die so bis in die Unendlichkeit verbleibenden Zahlen gibt es meines Wissens keinen verbreiteten Namen. Wohl aber für andere ebenfalls auf der Josephus-Vorstellung beruhenden wie den lucky und den ludic numbers, die ein mit den Primzahlen vergleichbares Wachstum aufweisen, während die namenlosen Zahlen aus dem hier vorgestellten Sieb von Josephus deutlich dünner gesät sind. [2]
[1] Besser „nach“ Josephus, der selbst allenfalls Sand gesiebt hat. Von Flavius Josephus selbst gibt es nur eine merkwürdige Schilderung, nach der jeder dritte von 41 Männern Selbstmord verübte bis er selbst als vorletzter an der Reihe war und sich gemeinsam mit dem letzten den Römern ergab.
[2] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. Sieb nach Josephus A000960, lucky numbers A000959, ludic numbers A003309.
Sieb des Eratosthenes | Josephus-Problem
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Sieb des Eratosthenes
wuerg, 26.02.2022 22:00
Man kann mit den Zahlen 2, 3, 4, 5, ... beginnend schrittweise zusammengesetzte aus dieser Liste wie folgt entfernen (aussieben): Ist vor dem n‑ten Schritt pₙ die n‑te noch (im Sieb) verbliebene Zahl (O), so werden die echten Vielfachen von pₙ entfernt (X), fallen durch das Sieb. Letztlich bleiben nur die Primzahlen pₙ übrig. Bis 73 sieht das wie folgt aus:
Diese Methode heißt Sieb des Eratosthenes, obwohl er es allenfalls in seiner Bibliothek neben dem Erdumfang gefunden haben wird. Sicherlich hat er die 1 vorne nicht ausgelassen und in ihr eine Primzahl gesehen. [1] Soweit es eine Urform gab, wurden möglicherweise im n-ten Schritt auch einfach die echten Vielfachen von n+1 herausgesiebt, was langsamer zum gleichen Ergebnis führt.
[1] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. Nichtzusammengesetzte Zahlen A008578. Bis vor hundert Jahren sah man in der 1 noch eine Primzahl, heute ist sie weder prim noch zusammengesetzt, sondern Einheit.
37 | 73 | Sieb von Josephus | Primzahlen
1 2 3 4 5 6 7
n pₙ 234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123
1 2 O|X|X|X|X|X|X|X|X|X|X|X|X|X|X|X|X|X|X|X|X|X|X|X|X|X|X|X|X|X|X|X|X|X|X|X|
2 3 |O | | X | | X | | X | | X | | X | | X | | X | | X | | X | | X | | X | |
3 5 || O | | | | | | X | | X | | | | | | X | | X | | |
4 7 || | O | | | | | | | | | | | X | | | | | |
23 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73
Zu Beginn (n=1) ist pₙ=2 die erste Zahl im Sieb (O), deren echte Vielfachen 4, 6, 8, 10, … entfernt (X) werden. Für den zweiten Schritt (n=2) ist pₙ=3 die zweite ungestrichene Zahl. Entfernt (X) werden nur 9, 15, 21, 27, …, da 6, 12, 18, 24, … bereits fehlen. Es folgt die dritte Siebung mit p₃=5, in der 25, 35, 55, 65 durchfallen. Um alle 21 Primzahlen bis 73 zu finden, reicht ein vierter Durchgang mit p₄=7 samt Verlust der 49, denn jede Siebung n entfernt als kleinste Zahl das Quadrat von pₙ, was für n>4 die 73 übersteigt.Diese Methode heißt Sieb des Eratosthenes, obwohl er es allenfalls in seiner Bibliothek neben dem Erdumfang gefunden haben wird. Sicherlich hat er die 1 vorne nicht ausgelassen und in ihr eine Primzahl gesehen. [1] Soweit es eine Urform gab, wurden möglicherweise im n-ten Schritt auch einfach die echten Vielfachen von n+1 herausgesiebt, was langsamer zum gleichen Ergebnis führt.
[1] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. Nichtzusammengesetzte Zahlen A008578. Bis vor hundert Jahren sah man in der 1 noch eine Primzahl, heute ist sie weder prim noch zusammengesetzt, sondern Einheit.
37 | 73 | Sieb von Josephus | Primzahlen
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Wüstenblume
wuerg, 19.02.2022 18:51
Nach einer ruhigen Nacht wurde ich von lautem Geplärre geweckt. Spontan dachte ich an eine Warnung der Polizei vor Zeynep, konnte aber später einen parkenden Konvoi vom Ausmaß einer kleineren Türkenhochzeit ausmachen. Er wurde von drei Polizeifahrzeugen begleitet, und aus schlechten Lautsprechern tönte: Ich heiße Boris, ich bin für Frieden, Freiheit und Harmonie. Lesen konnte ich aus zehn Metern Entfernung nur GREAT RESET. Nicht: Wer zweimal mit Geimpften pennt, gehört schon zum Establishment.
Später erschütterte mich im Fernsehen das ganze Ausmaß der nächtlichen Katastrophe, die manche als kleinen Wind abtun, weil er nur drei Todesopfer forderte, von denen mindestens eines mit, wegen oder dank Zeynep vom Dach fiel. Nach einer halben Stunde hatte ich genug und schenkte mir weitere 90 Minuten zu den dreimal sovielen Shisha-Toten aus Hanau und die bis zum nächsten Morgen angekündigte Sondersendung zu den "Corona"toten des Vortages.
Später erschütterte mich im Fernsehen das ganze Ausmaß der nächtlichen Katastrophe, die manche als kleinen Wind abtun, weil er nur drei Todesopfer forderte, von denen mindestens eines mit, wegen oder dank Zeynep vom Dach fiel. Nach einer halben Stunde hatte ich genug und schenkte mir weitere 90 Minuten zu den dreimal sovielen Shisha-Toten aus Hanau und die bis zum nächsten Morgen angekündigte Sondersendung zu den "Corona"toten des Vortages.
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6×6-Sudoku
wuerg, 14.02.2022 17:55
Lange Zeit habe ich mich nicht mehr mit Sudoku abgegeben. Andere hielten ihr Interesse mit Varianten am Leben, durch die auch ein 6×6‑Feld durchaus anspruchsvoll sein kann. Die Lösung eines solchen Sudokus von Phistomefel [1] habe ich bei Cracking the Cryptic [2] gesehen.
Die Gebiete haben die Form von Hexominos. Davon gibt es 35, doch nur zwei sind konvex, der 1×6‑Streifen und das 2×3‑Rechteck. Nur diese beiden kommen infrage, denn ist ein Gebiet nicht konvex, belegt es irgendwo genau drei der vier Felder eines 2×2‑Blocks.
Damit bleiben nur vier Aufteilungen: Sechsfach längs bzw. quer gestreift oder sechs 2×3‑Rechtecke in einer der beiden Orientierungen. Erstere entfallen, da sich senkrecht zu den Streifen stets x und 7−x abwechseln müßten. Bleiben die Rechtecke, an deren Ecken es immer wie im rechten Teilbild aussieht. Offensichtlich kann über eine solche Ecke keine diagonale Thermometerlinie laufen. Damit liegt die Gebietsaufteilung fest:
Im folgenden seien x, y und z drei noch unbekannte Ziffern mit {x,y,z}={1,2,3}. Die Komplemente sind X=7−x, Y=7−y und Z=7−z. Die Mengen X={x,X}, Y={y,Y} und Z={z,Z} bezeichnen Stellen, an denen eines der beiden Elemente zutrifft. Die vier Ziffern um den linken Kreuzungspunkt CD23 seien aus X, die um den rechten CD45 aus Y.
Natürlich findet auch Simon Anthony [2] zunächst die Gebietsaufteilung. Dazu diskutiert er lange über Nachbarschaftsverhältnisse, was ihm aber nachgesehen sei, zumal er dieses Rätsel wie immer unvorbereitet angeht. Danach nutzt er die Software und färbt alle Felder. Das ist hier schlecht darstellbar, weshalb ich statt der Farben Buchstaben a bis f verwende. Mit a+b=c+d=e+f=7 sieht es anfänglich oBdA wie folgt aus:
Zwar wollen Sudokus wie diese zwei oder mehr Möglichkeiten möglichst lange offen halten, daß mit Variablen oder Farben zu arbeiten ist, doch geht es auch hier auch ohne. Nachdem man sich wie eingangs beschrieben die Aufteilung in sechs aufrechte 2×3‑Rechtecke überlegt hat, ginge es mit einer Zahlableitung nach der anderen wie folgt:
Wäre an der Spitze des Dreier-Thermometers bei E3 eine 6, müßte sie im oberen mittleren Block in Spalte 4 liegen. Da die Vorratsgefäße der beiden Thermometer ausscheiden, bleibt für die 6 nur A4. Dann aber findet die 1 keinen Platz im oberen mittleren Block: Für die 1 scheiden A3 und B4 als Nachbarn der 6 aus. Ebenso die Spitze B3 des Thermometers. Es verbleiben C3 oder C4 mit einer 6 bei D3 bzw. D4, was nicht geht, weil im unteren mittleren Block bereits eine 6 steht.
Wie stelle ich mir vor, das Rätsel im Wettbewerb unter drei Minuten zu lösen? Zunächst scheinen nicht genügend komplizierte Regeln für eine ausgefallene Gebietsaufteilung vorzuliegen, weshalb es die Standard-2x3-Rechtecke sein werden. Senkrecht liegen die Thermometer schön in nur zweien davon. Das dreistufige muß dann 2–5–6, 3–4–5 oder 3–4–6 sein. Eine 6 am Ende forciert eine weitere bei A4, was keine 1 im oberen mittleren Rechteck erlaubt. Also 3–4–5 für das große Thermometer, und der Rest ist tausendfach geübte Routine: Schnell ergeben sich die unteren vier Zeilen bis auf 1 und 6.
Daß sich alles letztlich als einfach erweist, liegt an der regelmäßigen Grundstruktur. In der unteren Hälfte sind in den geraden Spalten nur gerade, in ungeraden nur ungerade Zahlen und die Rechtecke schieben sich nach unten durch (roping). Zudem spiegel die obere Hälfte einfach die untere. Dadurch sind die Sudoku-Grundregeln und die 7er‑Bedingung einfach erfüllt. Solche einfache Strukturen sind oftmals das Ergebnis ähnlicher Rätsel, doch ist das Wissen darum nicht unbedingt eine große Hilfe.
[1] Phistomefel: Chaos Construction: Seven. Logic Masters Deutschland, 30.12.2021. Einer nennt es nice and easy, ein anderer meint, bis zur entscheidenden Einsicht wirke es fast unlösbar. Ich sehe den Witz darin, die Standardaufteilung in den Vorgaben geschickt versteckt zu haben. Außerdem soll es hier nur eine gewisse Fortentwicklung von Sudoko anreißen, nicht tagelang beschäftigen.
[2] Simon Anthony: Seven: The Sodoku. Cracking The Cryptic, 06.01.2022. Es werden Sudokus aller Art ohne Vorbereitung gelöst, wenn auch gescheiterte Versuche unveröffentlicht bleiben. Naturgemäß sind unter diesen Bedingungen die Lösungswege nicht immer die elegantesten, so auch zu diesem, in dem sehr viel Zeit verbraten wird, um zu erkennen, daß es 2x3‑Gebiete sein müssen. Ich fand es aber sehr interessant, nicht zuletzt wegen einer Analogie zur Mathematik: Will man etwas beweisen, so gelingt das oftmals gar nicht oder nur recht mühselig und umständlich. Es kann Jahrzehnte oder ewig dauern, bis ein eleganter Weg gefunden ist.
Einer | Paare | Raster | Stufen | Hexominos
┏━━━━━━━━━━━┓ ┃⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅┃ ┃ ┃ ┃⋅ ⋅ •─● ⋅ ⋅┃ ┃ ┃ ┃⋅ ⋅ ⋅ ● ⋅ ⋅┃ ┃ │ ┃ ┃⋅ ⋅ ⋅ • ⋅ ⋅┃ ┃ ╱ ┃ ┃⋅ ⋅ • ⋅ ⋅ ⋅┃ ┃ ┃ ┃⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅┃ ┗━━━━━━━━━━━┛Die üblichen 2×3‑Rechtecke sind nicht vorgegeben. Vielmehr müssen sechs zusammenhängende Gebiete gefunden werden, in denen die sechs Ziffern wie in den sechs Zeilen und Spalten je einmal vorkommen. Es gibt keine vorgegebenen Ziffern, sondern nur zwei Thermometer längs der die Werte ansteigen müssen. Hinzu kommt, daß waagerecht oder senkrecht benachbarte Felder sich genau dann zu 7 addieren, wenn sie zwei verschiedenen Gebieten angehören.
Die Gebiete haben die Form von Hexominos. Davon gibt es 35, doch nur zwei sind konvex, der 1×6‑Streifen und das 2×3‑Rechteck. Nur diese beiden kommen infrage, denn ist ein Gebiet nicht konvex, belegt es irgendwo genau drei der vier Felder eines 2×2‑Blocks.
. x 7−x x 7−x│ x ┌─── ───┬─── ───┼─── x │7−x x │7−x x │7−xDas linke Teilbild zeigt, daß dann eine Ziffer (hier x) doppelt im Hexomino vorkommen müßte. Auch kann man an einen 1×6-Streifen nur einen weiteren anlegen. Ansonsten entstünde die Situation des mittleren Teilbildes, es läge sowohl x als auch 7−x im Streifen (hier oben).
Damit bleiben nur vier Aufteilungen: Sechsfach längs bzw. quer gestreift oder sechs 2×3‑Rechtecke in einer der beiden Orientierungen. Erstere entfallen, da sich senkrecht zu den Streifen stets x und 7−x abwechseln müßten. Bleiben die Rechtecke, an deren Ecken es immer wie im rechten Teilbild aussieht. Offensichtlich kann über eine solche Ecke keine diagonale Thermometerlinie laufen. Damit liegt die Gebietsaufteilung fest:
┏━━━┯━━━┯━━━┓ ┃⋅ ⋅│⋅ ⋅│⋅ ⋅┃ ┃ │ │ ┃ ┃⋅ ⋅│•–●│⋅ ⋅┃ ┃ │ │ ┃ ┃⋅ ⋅│⋅ ●│⋅ ⋅┃ ┠───┼──│┼───┨ ┃⋅ ⋅│⋅ •│⋅ ⋅┃ ┃ │ ╱ │ ┃ ┃⋅ ⋅│• ⋅│⋅ ⋅┃ ┃ │ │ ┃ ┃⋅ ⋅│⋅ ⋅│⋅ ⋅┃ ┗━━━┷━━━┷━━━┛
Im folgenden seien x, y und z drei noch unbekannte Ziffern mit {x,y,z}={1,2,3}. Die Komplemente sind X=7−x, Y=7−y und Z=7−z. Die Mengen X={x,X}, Y={y,Y} und Z={z,Z} bezeichnen Stellen, an denen eines der beiden Elemente zutrifft. Die vier Ziffern um den linken Kreuzungspunkt CD23 seien aus X, die um den rechten CD45 aus Y.
┏━━━┯━━━┯━━━┓ ┃⋅ ⋅│⋅ ⋅│⋅ ⋅┃ ┃ │ │ ┃ ┃⋅ ⋅│•–●│⋅ ⋅┃ ┃ │ │ ┃ ┃⋅ X│X y│Y ⋅┃ ┠───┼──│┼───┨ ┃⋅ X│X Y│y ⋅┃ ┃ │ ╱ │ ┃ ┃⋅ ⋅│Z X│⋅ ⋅┃ ┃ │ │ ┃ ┃⋅ ⋅│y z│⋅ ⋅┃ ┗━━━┷━━━┷━━━┛An der Spitze des Dreier- Thermometers kommen x, X, y und Y nicht mehr infrage, und von den beiden verbleibenden nur des größere blaue Z. Wegen verbotener Nachbarschaft muß das kleine z im unteren mittleren Rechteck rechts unten stehen. Damit stehen auch X und y darin fest.
┏━━━┯━━━┯━━━┓ ┃⋅ ⋅│⋅ 6│⋅ ⋅┃ ┃ │ │ ┃ ┃⋅ ⋅│•–●│⋅ ⋅┃ ┃ │ │ ┃ ┃⋅ X│X y│Y ⋅┃ ┠───┼──│┼───┨ ┃⋅ X│X Y│y ⋅┃ ┃ │ ╱ │ ┃ ┃⋅ ⋅│6 X│⋅ ⋅┃ ┃ │ │ ┃ ┃⋅ ⋅│y z│⋅ ⋅┃ ┗━━━┷━━━┷━━━┛Wäre Z=6 (blau), müßte sie im oberen mittleren Rechteck in die rechte obere Ecke (rot), denn in Spalte 3 steht Z=6 bereits, für das Vorratsgefäß (bulb) des Zweier-Thermometers scheidet 6 aus und natürlich ist y≠Z=6. Da in diesem Rechteck die 1 nicht links oder unterhalb der 6, aber auch nicht an der Spitze des Zweier-Thermometers stehen kann, verbleiben nur die beiden unteren mit X und y bezeichneten Positionen. Dann aber stünde eine 6 oben im Block darunter, der bereits Z=6 enthält. Also ist Z≠6, und von den einzig möglichen Dreier-Thermomentern 2–5–6, 3–4–5 und 3–4–6 verbleibt nur eines. Damit ist y=3, Y=4, Z=5, z=2 und X={1,6}.
┏━━━┯━━━┯━━━┓ ┏━━━┯━━━┯━━━┓ ┃⋅ ⋅│2 X│⋅ ⋅┃ ┃⋅ ⋅│4 5│⋅ ⋅┃ ┃ │ │ ┃ ┃ │ │ ┃ ┃⋅ ⋅│4–5│⋅ ⋅┃ ┃⋅ ⋅│2–X│⋅ ⋅┃ ┃ │ │ ┃ ┃ │ │ ┃ ┃⋅ X│X 3│4 ⋅┃ ┃⋅ X│X 3│4 ⋅┃ ┠───┼──│┼───┨ ┠───┼──│┼───┨ ┃⋅ X│X 4│3 ⋅┃ ┃⋅ X│X 4│3 ⋅┃ ┃ │ ╱ │ ┃ ┃ │ ╱ │ ┃ ┃⋅ ⋅│5 X│⋅ ⋅┃ ┃⋅ ⋅│5 X│⋅ ⋅┃ ┃ │ │ ┃ ┃ │ │ ┃ ┃⋅ ⋅│3 2│⋅ ⋅┃ ┃⋅ ⋅│3 2│⋅ ⋅┃ ┗━━━┷━━━┷━━━┛ ┗━━━┷━━━┷━━━┛In Spalte 3 sind nur noch 2 und 4 zu vergeben, in Spalte 4 sind es 5 und eine Ziffer aus X={1,6}. Da 2 und 5 diagonal liegen müssen, verbleiben nur die vorstehend aufgezeigten zwei Möglichkeiten, von denen die linke wegen des Zweier-Thermometers ausscheidet.
┏━━━┯━━━┯━━━┓ ┃6 3│4 5│2 1┃ ┃ │ │ ┃ ┃4 5│2–1│6 3┃ ┃ │ │ ┃ ┃2 1│6 3│4 5┃ ┠───┼──│┼───┨ ┃5 6│1 4│3 2┃ ┃ │ ╱ │ ┃ ┃3 2│5 6│1 4┃ ┃ │ │ ┃ ┃1 4│3 2│5 6┃ ┗━━━┷━━━┷━━━┛Natürlich ist das X des Zweier-Thermometers nicht durch 6, sondern durch 1 zu erstezen, was alle X festlegt (blau). Sodann ergeben sich die Spalten 2 und 5 als 7er‑Komplemente (rot) der Spalten 3 und 4. Es verbleiben in jeder Zeile genau zwei orange Ziffern, die eindeutig zu plazieren sind. Damit ist das Sudoku gelöst,
Natürlich findet auch Simon Anthony [2] zunächst die Gebietsaufteilung. Dazu diskutiert er lange über Nachbarschaftsverhältnisse, was ihm aber nachgesehen sei, zumal er dieses Rätsel wie immer unvorbereitet angeht. Danach nutzt er die Software und färbt alle Felder. Das ist hier schlecht darstellbar, weshalb ich statt der Farben Buchstaben a bis f verwende. Mit a+b=c+d=e+f=7 sieht es anfänglich oBdA wie folgt aus:
┏━━━┯━━━┯━━━┓ ┃⋅ ⋅│⋅ ⋅│⋅ ⋅┃ ┃ │ │ ┃ ┃⋅ ⋅│•–●│⋅ ⋅┃ ┃ │ │ ┃ ┃f a│b c│d e┃ ┠───┼──│┼───┨ ┃e b│a d│c f┃ ┃ │ ╱ │ ┃ ┃⋅ f│e ⋅│⋅ ⋅┃ ┃ │ │ ┃ ┃⋅ ⋅│⋅ ⋅│⋅ ⋅┃ ┗━━━┷━━━┷━━━┛Bei E3 scheiden a bis d aus, weshalb dort oBdA das blaue e steht. Das rote f ist das Komplement dazu, was zu den gelben Buchstaben der Zeilen C und D führt.
┏━━━┯━━━┯━━━┓ ┃⋅ ⋅│⋅ ⋅│⋅ ⋅┃ ┃ │ │ ┃ ┃⋅ ⋅│•–●│⋅ ⋅┃ ┃ │ │ ┃ ┃f a│b c│d e┃ ┠───┼──│┼───┨ ┃e b│a d│c f┃ ┃ │ ╱ │ ┃ ┃c f│e b│a d┃ ┃ │ │ ┃ ┃a d│c f│e b┃ ┗━━━┷━━━┷━━━┛Das blaue f im unteren mittleren Rechteck kann nicht neben dem e liegen. Es verbeiben dort die roten b und c, was die Färbung der unteren Hälfte des Sudoku vervollständigt.
┏━━━┯━━━┯━━━┓ ┃b c│d e│f a┃ ┃ │ │ ┃ ┃d e│f–a│b c┃ ┃ │ │ ┃ ┃f a│b c│d e┃ ┠───┼──│┼───┨ ┃e b│a d│c f┃ ┃ │ ╱ │ ┃ ┃c f│e b│a d┃ ┃ │ │ ┃ ┃a d│c f│e b┃ ┗━━━┷━━━┷━━━┛Nun wie in meiner Lösung: Es müssen d und f in der dritten, a und e in der vierten Spalte stehen. Zudem müssen e und f diagonal liegen. Es verbleiben zwei Möglichkeiten mit f>a bzw. d>e auf dem Zweier-Thermometer. Letztere scheidet aus, weil wir vom Dreier-Thermometer c<d<e wissen. Für die Komplemente gilt f<c<d, aus dem Zweier-Thermometer folgen a<f und e<b. Also a<f<c<d<e<b. Das ergibt die Lösung.
Zwar wollen Sudokus wie diese zwei oder mehr Möglichkeiten möglichst lange offen halten, daß mit Variablen oder Farben zu arbeiten ist, doch geht es auch hier auch ohne. Nachdem man sich wie eingangs beschrieben die Aufteilung in sechs aufrechte 2×3‑Rechtecke überlegt hat, ginge es mit einer Zahlableitung nach der anderen wie folgt:
Wäre an der Spitze des Dreier-Thermometers bei E3 eine 6, müßte sie im oberen mittleren Block in Spalte 4 liegen. Da die Vorratsgefäße der beiden Thermometer ausscheiden, bleibt für die 6 nur A4. Dann aber findet die 1 keinen Platz im oberen mittleren Block: Für die 1 scheiden A3 und B4 als Nachbarn der 6 aus. Ebenso die Spitze B3 des Thermometers. Es verbleiben C3 oder C4 mit einer 6 bei D3 bzw. D4, was nicht geht, weil im unteren mittleren Block bereits eine 6 steht.
┏━━━┯━━━┯━━━┓ ┃⋅ ⋅│⋅ ⋅│⋅ ⋅┃ ┃ │ │ ┃ ┃⋅ ⋅│•–●│⋅ ⋅┃ ┃ │ │ ┃ ┃2 ◐│◐ 3│4 5┃ ┠───┼──│┼───┨ ┃5 ◐│◐ 4│3 2┃ ┃ │ ╱ │ ┃ ┃3 2│5 ◐│◐ 4┃ ┃ │ │ ┃ ┃◐ 4│3 2│5 ◐┃ ┗━━━┷━━━┷━━━┛Also keine 6 an der Spitze des Dreier-Thermometers, das dann nur noch 3–4–5 sein kann (blau). Damit ist das Sudoku bis auf 1 und 6 und die oberen beiden Zeilen gelöst.
┏━━━┯━━━┯━━━┓ ┃6 ⋅│⋅ 5│2 1┃ ┃ │ │ ┃ ┃⋅ ⋅│•–1│6 ⋅┃ ┃ │ │ ┃ ┃2 1│6 3│4 5┃ ┠───┼──│┼───┨ ┃5 6│1 4│3 2┃ ┃ │ ╱ │ ┃ ┃3 2│5 6│1 4┃ ┃ │ │ ┃ ┃1 4│3 2│5 6┃ ┗━━━┷━━━┷━━━┛In Spalte 4 fehlen 1, 5 und 6. Am Vorratsgefäß ist 6 nicht möglich. Stünde dort die 5, müßt die Spitze des Thermometers 6 sein, was aber nicht geht, da 1/6 (Halbmond) bereits zweimal in der Spalte 3 vergeben ist. Also 1 bei B4, wodurch sich alle 1/6-Paare auflösen und der Rest auf der Hand liegt.
Wie stelle ich mir vor, das Rätsel im Wettbewerb unter drei Minuten zu lösen? Zunächst scheinen nicht genügend komplizierte Regeln für eine ausgefallene Gebietsaufteilung vorzuliegen, weshalb es die Standard-2x3-Rechtecke sein werden. Senkrecht liegen die Thermometer schön in nur zweien davon. Das dreistufige muß dann 2–5–6, 3–4–5 oder 3–4–6 sein. Eine 6 am Ende forciert eine weitere bei A4, was keine 1 im oberen mittleren Rechteck erlaubt. Also 3–4–5 für das große Thermometer, und der Rest ist tausendfach geübte Routine: Schnell ergeben sich die unteren vier Zeilen bis auf 1 und 6.
┏━━━┯━━━┯━━━┓ ┃◐ 3│4 2│5 ◐┃ ┃ │ │ ┃ ┃4 5│2–◐│◐ 3┃ ┃ │ │ ┃ ┃2 ◐│◐ 3│4 5┃ ┠───┼──│┼───┨ ┃5 ◐│◐ 4│3 2┃ ┃ │ ╱ │ ┃ ┃3 2│5 ◐│◐ 4┃ ┃ │ │ ┃ ┃◐ 4│3 2│5 ◐┃ ┗━━━┷━━━┷━━━┛Klappt man nun die unteren drei Zeilen unter Komplementierung nach oben, sind automatisch alle Bedingungen abseits des kleine Thermometers erfüllt, durch das alle 1/6‑Paare aufgelöst werden.
Daß sich alles letztlich als einfach erweist, liegt an der regelmäßigen Grundstruktur. In der unteren Hälfte sind in den geraden Spalten nur gerade, in ungeraden nur ungerade Zahlen und die Rechtecke schieben sich nach unten durch (roping). Zudem spiegel die obere Hälfte einfach die untere. Dadurch sind die Sudoku-Grundregeln und die 7er‑Bedingung einfach erfüllt. Solche einfache Strukturen sind oftmals das Ergebnis ähnlicher Rätsel, doch ist das Wissen darum nicht unbedingt eine große Hilfe.
[1] Phistomefel: Chaos Construction: Seven. Logic Masters Deutschland, 30.12.2021. Einer nennt es nice and easy, ein anderer meint, bis zur entscheidenden Einsicht wirke es fast unlösbar. Ich sehe den Witz darin, die Standardaufteilung in den Vorgaben geschickt versteckt zu haben. Außerdem soll es hier nur eine gewisse Fortentwicklung von Sudoko anreißen, nicht tagelang beschäftigen.
[2] Simon Anthony: Seven: The Sodoku. Cracking The Cryptic, 06.01.2022. Es werden Sudokus aller Art ohne Vorbereitung gelöst, wenn auch gescheiterte Versuche unveröffentlicht bleiben. Naturgemäß sind unter diesen Bedingungen die Lösungswege nicht immer die elegantesten, so auch zu diesem, in dem sehr viel Zeit verbraten wird, um zu erkennen, daß es 2x3‑Gebiete sein müssen. Ich fand es aber sehr interessant, nicht zuletzt wegen einer Analogie zur Mathematik: Will man etwas beweisen, so gelingt das oftmals gar nicht oder nur recht mühselig und umständlich. Es kann Jahrzehnte oder ewig dauern, bis ein eleganter Weg gefunden ist.
Einer | Paare | Raster | Stufen | Hexominos
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Omega
wuerg, 22.01.2022 00:16
Alpha und Omega, Anfang und Ende. Das gilt auch für Corona, wenn deren Viren wie wir Menschen trotz Vielfalt alle gleich sind. Bei einer Million Fällen pro Woche, erledigen die Genesungen, was die Impfungen nicht leisteten. Die Menschen haben versagt, auch die umtriebigen Impflinge.
Zur Strafe behalten Idioten nicht gerade recht, werden es aber behaupten. Schmidt-Chanasit kann sagen, wir hätten uns gleich bis zur Herdenimmunität durchseuchen sollen. Der Ziwo hat die Ansteckung der Hörner gefordert und bekommen. Und der Chronist wird weiterhin tröten: Die Impfungen waren nicht nur überflüssig, sondern schädlich.
Schon vor Omega scheint Omikron uns den disziplinlosen Arsch retten zu können, weil wir uns munter durchseuchen können, ohne die Krankenhäuser und Krematorien zu überlasten. Gerecht wäre es allerdings, wenn das griechische Alphabet doch noch erschöpft würde und eine Variante auf den Plan träte, die eine tödliche Zweitinfektion erlaubte.
Zur Strafe behalten Idioten nicht gerade recht, werden es aber behaupten. Schmidt-Chanasit kann sagen, wir hätten uns gleich bis zur Herdenimmunität durchseuchen sollen. Der Ziwo hat die Ansteckung der Hörner gefordert und bekommen. Und der Chronist wird weiterhin tröten: Die Impfungen waren nicht nur überflüssig, sondern schädlich.
Schon vor Omega scheint Omikron uns den disziplinlosen Arsch retten zu können, weil wir uns munter durchseuchen können, ohne die Krankenhäuser und Krematorien zu überlasten. Gerecht wäre es allerdings, wenn das griechische Alphabet doch noch erschöpft würde und eine Variante auf den Plan träte, die eine tödliche Zweitinfektion erlaubte.
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pcm
wuerg, 19.01.2022 23:05
Durch Corona wurde so mancher zum Hobbyvirologen. Ich habe nur allgemeine Zahlen verfolgt und ein paar Abkürzungen gelernt. Neben mRNA, MSM, RKI und PCR auch pcm, den percent mille für einen von Hunderttausend. Das will ich nicht verschweigen an einem Tag, da erstmals über centmille, also 100.000 deutsche Fälle gemeldet wurden.
Archimedes gründete seinen Sandrechner auf Dezimalzahlen mit 2 hoch n Stellen, also 1.00 (Hundert), 1.00.00 (Myriade), 1.00.00.00.00 und so weiter. Wir haben uns für Dreierblöcke 1.000 (Tausend), 1.000.000 (Million), 1.000.000.000 (Milliarde, billion), ... entschieden. Die 100.000 fällt aus beiden Systemen. Wie kommt es also zu diesen unsäglichen Hundertausenden?
Abseits von mir unbekannten kulturellen und sprachlichen Entwicklungen, stelle ich es mir wie folgt vor: Die zehn Finger führten zum Dezimalsystem. Für die Zehner bestehen eigene, mehr oder minder an die Einer angelehnte Zahlwörter. So ergibt sich eine zweistellige Ausgangsbasis. Bis 9999 kommt man durch Paarung wie Neunzehnhundertachtundsechzig für 1968. Als man noch Telefonnummern memorierte, geschah dies ebenfalls zumeist in Zweierblöcken.
So ist es ganz natürlich, insbesondere bei Geldbeträgen, zwei Nachkommastellen zu nutzen. Nicht die Millieuro der Tankstellen, auch nicht Dezieuro wie in Yuppie-Restaurants. Eher schon Millicent zur Verrechnung von massenhaften Kleinstbeträgen, womit wir bereits bei einen hunderttausendstel Euro gelandet sind. Und ganz analog kommen wir von den beliebten Prozenten auf die tausendstel Prozent, den percent mille.
Möglicherweise gelangten die Inder auf ähnliche Art und Weise zu ihrem System von 1.00.000 (Lakh), 1.00.00.000 (Crore), 1.00.00.00.000 (Arab) usw. das durch die Corona-Berichte aus diesem heiligen Land der Null, Ramanujans und Boses aufgeflogen ist.
Desungeachtet hätte ich es bevorzugt, in modernen Systemen auf Tausenderbasis zu bleiben und ‰ (Promille), ppm (parts per million), ppb (parts per billion) usw. zu verwenden. Aber die Tradition hat einen langen Atem. Und erschwerend kommt hinzu, daß sich 100.000 eingenistet hat: In Liedtiteln, als die Welt in 100.000 Jahren und durch Gilbert Becaud als Monsieur 100.000 Volt.
Myriade | Billion
Archimedes gründete seinen Sandrechner auf Dezimalzahlen mit 2 hoch n Stellen, also 1.00 (Hundert), 1.00.00 (Myriade), 1.00.00.00.00 und so weiter. Wir haben uns für Dreierblöcke 1.000 (Tausend), 1.000.000 (Million), 1.000.000.000 (Milliarde, billion), ... entschieden. Die 100.000 fällt aus beiden Systemen. Wie kommt es also zu diesen unsäglichen Hundertausenden?
Abseits von mir unbekannten kulturellen und sprachlichen Entwicklungen, stelle ich es mir wie folgt vor: Die zehn Finger führten zum Dezimalsystem. Für die Zehner bestehen eigene, mehr oder minder an die Einer angelehnte Zahlwörter. So ergibt sich eine zweistellige Ausgangsbasis. Bis 9999 kommt man durch Paarung wie Neunzehnhundertachtundsechzig für 1968. Als man noch Telefonnummern memorierte, geschah dies ebenfalls zumeist in Zweierblöcken.
So ist es ganz natürlich, insbesondere bei Geldbeträgen, zwei Nachkommastellen zu nutzen. Nicht die Millieuro der Tankstellen, auch nicht Dezieuro wie in Yuppie-Restaurants. Eher schon Millicent zur Verrechnung von massenhaften Kleinstbeträgen, womit wir bereits bei einen hunderttausendstel Euro gelandet sind. Und ganz analog kommen wir von den beliebten Prozenten auf die tausendstel Prozent, den percent mille.
Möglicherweise gelangten die Inder auf ähnliche Art und Weise zu ihrem System von 1.00.000 (Lakh), 1.00.00.000 (Crore), 1.00.00.00.000 (Arab) usw. das durch die Corona-Berichte aus diesem heiligen Land der Null, Ramanujans und Boses aufgeflogen ist.
Desungeachtet hätte ich es bevorzugt, in modernen Systemen auf Tausenderbasis zu bleiben und ‰ (Promille), ppm (parts per million), ppb (parts per billion) usw. zu verwenden. Aber die Tradition hat einen langen Atem. Und erschwerend kommt hinzu, daß sich 100.000 eingenistet hat: In Liedtiteln, als die Welt in 100.000 Jahren und durch Gilbert Becaud als Monsieur 100.000 Volt.
Myriade | Billion
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Prozentbetrug
wuerg, 15.12.2021 23:48
Es geht mir nicht darum, beim Kauf eines Toasters zehn Prozent zuviel bezahlt zu haben, sondern um die Darstellung von Zahlen in Prozenten in betrügerischer Absicht, manchmal aus Versehen. Eigentlich steht Prozent (%) nur für 1/100 und gestattet eine unschuldige Darstellung von Zahlen in Hundertsteln. Das ist besonders für Zahlen im Bereich von etwa 0,001 bis 1,9 oftmals recht angenehm, sind wir doch durch Mark und Pfennig an das Verhältnis von 1 zu 100 gewöhnt.
Grundsätzlich kann jede Zahl r als 100r% geschrieben werden. Besonders beliebt ist eine Prozentschreibweise aber bei Verhältnissen, Anteilen, Quoten, Zinssätzen, in denen r=p/q durch Division gebildet wurde. Darin ist der Nenner q die Grund- oder Bezugsgröße und der Zähler p eine Größe, die in einem sinnhaften Verhältnis zum Nenner q stehen sollte. Normalerweise ist wie bei 3% Zinsen klar, was gemeint ist. Aber nicht immer, schon gar nicht bei Angebern, Kleinrednern, Betrügern oder einfach Idioten.
Ein Beispiel: Bis zum 8. Dezember 2021 wurden in Deutschland p=104.512 Coronatote gezählt. Geteilt durch q=83.520.00 Einwohner ergibt sich eine Quote von 104.512/83.520.000=0,1251%, das ist erstmals einer von unter 800. Aber ich berichte es erst heute, und ich spreche von Quote, nicht von Gesamtmortalität. Auch sage ich nicht, einer von 800 sei bereits vor Tagen an Corona gestorben. Warum? Nicht, weil man darüber streiten kann, ob die 83,52 Millionen korrekt geschätzt sind, ob Ausländer abzuziehen und Illegale zuzuschlagen sind. Es geht auch nicht um Zweifel an den Angaben des RKI, sondern um einen grundsätzlichen Fehler, auch wenn er augenblicklich marginal sein mag. Welchen?
Grundsätzlich kann jede Zahl r als 100r% geschrieben werden. Besonders beliebt ist eine Prozentschreibweise aber bei Verhältnissen, Anteilen, Quoten, Zinssätzen, in denen r=p/q durch Division gebildet wurde. Darin ist der Nenner q die Grund- oder Bezugsgröße und der Zähler p eine Größe, die in einem sinnhaften Verhältnis zum Nenner q stehen sollte. Normalerweise ist wie bei 3% Zinsen klar, was gemeint ist. Aber nicht immer, schon gar nicht bei Angebern, Kleinrednern, Betrügern oder einfach Idioten.
Ein Beispiel: Bis zum 8. Dezember 2021 wurden in Deutschland p=104.512 Coronatote gezählt. Geteilt durch q=83.520.00 Einwohner ergibt sich eine Quote von 104.512/83.520.000=0,1251%, das ist erstmals einer von unter 800. Aber ich berichte es erst heute, und ich spreche von Quote, nicht von Gesamtmortalität. Auch sage ich nicht, einer von 800 sei bereits vor Tagen an Corona gestorben. Warum? Nicht, weil man darüber streiten kann, ob die 83,52 Millionen korrekt geschätzt sind, ob Ausländer abzuziehen und Illegale zuzuschlagen sind. Es geht auch nicht um Zweifel an den Angaben des RKI, sondern um einen grundsätzlichen Fehler, auch wenn er augenblicklich marginal sein mag. Welchen?
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