Zahlwort

„1 125 899 906 842 624 Bytes mal zwei“ lautet die Über­schrift der gestrigen Frank­furter Rundschau. Gegen diesen Spaß wäre nichts einzu­wenden, würde der Schreiber Joachim Wille im Artikel selbst durch­blicken lassen, was gemeint ist. Über den Internet-​Knoten AMS‑IX weiß er zu berichten: „Anfang 2006 wurde dort erstmals die Daten­menge von einem Petabyte (1 125 899 906 842 624) erreicht. Für Okto­ber 2007 werden bereits zwei Petabyte erwartet.“

Nun gut, ich gehöre auch zu den altmo­dischen Menschen, die PB oder Peta­byte schreiben, wenn sie PiB oder Pebi­byte meinen. Soviel Kontext­sensiti­vität erwarte ich vom Leser. Doch was ist in der heutigen Zeit schon ein Peta­byte? Das sind doch nur die versam­melten Fest­platten von zehn­tausend PC! Und warum sind es im Oktober erst zwei Peta­byte, wenn es im Januar bereits eines war?

Gut, man kann sich informieren. Die Wikipedia nennt knapp über 200 Giga­bit pro Sekunde Spitzen­leistung. Das ergibt maximal zwei Peta­byte am Tag. Nichts anderes als die pro Tag über­tragene Daten­menge scheint also in der Über­schrift gemeint zu sein. Warum kann man das nicht einfach hin­schreiben?

Und wozu mache ich mir die Mühe, dies hier zu bemängeln? Zur aberma­ligen Bestä­tigung meiner Auf­fassung: Wenn alle Berichte in Tages­zei­tungen und Zeit­schriften so falsch, ungenau und hinge­rotzt sind wie die­jenigen, deren Inhalt ich über­prüfen kann, dann sollte man eigent­lich davon ausgehen, daß es auch sonst im wesent­lichen nur ausge­stoßenes Halb­wissen vermengt mit persön­licher Über­zeugung ist, also auch nicht viel besser als in Blogs.

Es wohl zu spät, um mich im Fall Kurnaz als Prophet zu erweisen, indem ich einfach vorhersage, was jeder so und so vermutet. Die Front derer, die für den Stein­werfer, Stein­meiers Vor­gänger im Amt, wesent­lich mehr Ver­ständnis gezeigt hat, bröckelt bereits. Und sollten sich meine Genossen nicht ein­deutig auf die plau­sible Seite schlagen, sondern auf die der Feiglinge, so werde ich wohl nach­holen, was ich nach dem Putsch durch Nahles und Plat­zeck bereits erwog, und aus­treten.

Brandt-Nahles

Das Reizthema Schule schlägt sich auch in Über­empfind­lich­keit der Betei­ligten nieder. Wer sich solcher­maßen in einer hier erwähnten Aufgabe erkennt, sollte davon zu abstra­hieren ver­suchen oder lieber einen schön­geisti­gen Roman lesen.

Zinseszinsen  – Theorie und Praxis der Verzinsung
Damm-Schnitt  – Manche sagen auch Trapez
Fallunterscheidungen  – Eine Ameisenaufgabe
Kongruenzsätze  – Statt Dreieckskonstruktionen
Was ist P(8|9)?  – Der heilige senkrechte Strich

Warum lassen alle ungeraden Quadrat­zahlen bei Division durch 8 den Rest 1?
Warum ist die Summe zweier ungerader Quadrat­zahlen keine Quadrat­zahl?
Warum ist die Summe 5 auf­einander­folgender Quadrat­zahlen keine Quadrat­zahl?

Da die Schüler der achten Klasse ange­sichts des Vier­eckes natür­lich vom Dreieck nichts mehr wußten, wurden ihnen zur häus­lichen Auf­frischung die vier Kon­gruenz­sätze für Dreiecke diktiert. Ich wüßte gerne, was das soll. Einmal abge­sehen davon, daß meine Tochter nach Gehör Konkruents geschrie­ben hatte, ist es genau der falsche Weg, diese Sätze in einer ver­queren Schul­sprache aufzu­schreiben, wenn man sie lernen, verstehen oder anwen­den will [1]. Wer es nicht glaubt, der sehe sie sich in der Wiki­pedia [2] an, wo sie noch recht schlicht for­mu­liert sind. Der Königs­weg zeigt genau in die ent­gegen­gesetzte Rich­tung: Man verin­ner­licht den simplen Sach­verhalt und kann ohne Nomen­klatur­kurs sofort alles anwenden. Doch in der Schule gilt es, die Sätze korrekt nume­riert und erwar­tungs­konform nieder­zuschreiben.

Wegen der bis auf Kon­gruenz (Verschiebung, Drehung und Spiegelung) drei Freiheits­grade, reichen drei unab­hängige Angaben aus, um unter allen Dreicken eine endliche Anzahl auszu­sondern. Sie sind auch erfor­derlich. Sind nur Seiten­längen und bis zu zwei Winkel gegeben, sind im allge­meinen alle zugehörigen Dreiecke kongruent. Dann darf man die Lösung eindeutig nennen. Daraus Kon­gruenz­sätze zu machen, ist recht albern. Es reicht zu beachten, daß nur in seltenen Fällen inkon­gruente Lösungen existie­ren. Und wer mehr an allgemeinen Erkennt­nissen interes­siert ist, sollte sich eher merken: Gibt es kein Dreieck zu den Vorgaben, so sind natür­lich alle Lösungen kongruent.

Die Kongruenz­sätze sind auch deshalb von geringer Bedeutung, weil man mehr sagen kann: Alle die drei Seiten- und Winkel­angaben erfül­lenden Dreiecke sind nicht nur kongruent, sie sind sogar ohne Geo­dreieck, Maßband und Computer aus zeich­nerisch vorge­gebenen Strecken und Winkeln allein mit Zirkel und Lineal bis auf Ver­schie­bung, Drehung und Spiege­lung ein­deutig kon­stru­ierbar. Auch von zwei spiegel­bild­lichen Lösungen scheidet eine aus, sofern genauer spezi­fiziert ist, in welcher Dreh­rich­tung die Seiten und Winkel zu sehen sind.

Weil die Dreiecke zu den Vorgaben also nicht nur an sich existieren, sondern mit Zirkel und Lineal konstru­ierbar sind, sollte meines Erach­tens die Kon­struk­tion im Vorder­grund stehen, nicht ein sich daraus trivaler­weise ableit­barer Satz. Deshalb war ich schon versucht, die Über­schrift in „Dreiecks­kon­struk­tionen“ zu ändern, habe aber „Kon­gruenz­sätze“ belassen, weil in Schule und Wiki­pedia [2] alles unter diesem mathe­matische Weisheit vortäu­schen­den Begriff läuft.

Weil man aus zwei Winkeln den dritten bilden kann, fehlt unter den drei Vor­gaben immer einer. Für die rest­lichen Ele­mente (drei Seiten und zwei Winkel) gibt es 10 Mög­lich­keiten, drei aus diesen fünfen auszu­wählen:

S W S W S   Typ   #
S W S . .   SWS   2
S W . W .   SWW   -
S W . . S   SSW   4
S . S W .   SSW   4
S . S . S   SSS   1
S . . W S   SSW   4
. W S W .   WSW   3
. W S . S   SSW   4
. W . W S   SWW   -
. . S W S   SWS   2

Da man Dreiecke drehen und spiegeln [3] kann, redu­zieren sich diese zehn Fälle auf fünf Typen. Vier haben eine Nummer, SWW nicht, weil man aus den gegebenen zwei Winkel, den dritten bilden kann und SWW so in WSW übergeführt wird. Es bleiben also nur vier Fälle, aus denen die vier Kongruenzsätze gezimmert sind:

1. SSS  alle drei Seiten gegeben
2. SWS  zwei Seiten mit gemeinsamen Winkel
3. WSW  zwei Winkel mit gemeinsamer Seite
4. SSW  zwei Seiten mit nicht gemeinsamen Winkel

Manche versuchen, ein moder­nes Aussehen zu errei­chen, indem alle W und S klein geschrieben werden. Und der vierte Fall SSW wird oftmals auch mit SsW, Ssw oder noch abartiger bezeichnt, um anzu­deuten, daß die dem Win­kel W gegen­über­lie­gende Seite S größer sein soll als die dem Winkel anlie­gende s, um Mehr­deutig­keit auszu­schlie­ßen und so Kongruenz für den vierten Satz zu erzwingen. Das ist das einzig Inter­essante an den Sätzen und Kon­struk­tionen. Natürlich ist es in allen Fällen auch möglich, daß es keine Lösung gibt oder das Dreieck entartet ist und nicht als solches akzep­tiert wird. Das macht den zuge­hörigen Kon­gruenz­satz aber nicht ungül­tig.

[1] Auch ich erläutere die Kongruenz­sätze nicht in Bildern oder durch leicht ver­ständ­liche Worte, denn es geht hier nicht darum, sie zu erler­nen und mög­lichst effektiv im Klein­hirn zu verankern, sondern um eine Kritik an ihrer Dar­stellung in der Schule, die mäßige Schüler abschreckt und den mathe­matisch begabten nichts bringt.

[2] Wikipedia. Unter Kongruenz­satz werden der SSS-, der SWS-, der WSW- und der SSW‑Satz als erster bis vierter Kon­gruenz­satz nume­riert. Ein SWW‑Satz ist erwähnt, aber keiner Nummer für wert erachtet. Bewie­sen werden sie durch die ‚eindeu­tige‘ Kon­struier­bar­keit, doch gibt es keinen Artikel zur Dreiecks­kon­struk­tion.

[3] Bei Dreiecks­konstruk­tionen in der Schule ist von zwei gespie­gelten Lösungen zumeist nur eine richtig. Um diese Ein­deutig­keit zu erlangen, sind den Drehsinn fest­legende Angaben erfor­derlich. Am einfach­sten durch Benen­nung der gege­benen Sei­ten (a,b,c) und Winkel (α,β,γ) im posi­tien Dreh­sinn (links herum, gegen den Uhr­zeiger­sinn).

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Es gibt Aufgaben, die für die einen zu mühsam und für die anderen zu blöd sind, ohne eine erheb­liche Gruppe zwischen diesen beiden. Zum Beispiel:

 Löse die Gleichung gb=fb+fg für alle drei
 Variablen und unterscheide die Fälle.

Wenn ein Schüler der achten Klasse die Aufgabe versteht, nach den Variablen auflösen kann, nötige Fall­unter­schei­dungen bewäl­tigt und stumpf­sinnige Wieder­holungen liebt, kann er stur nach Schul­routine ver­fahren und zunächst nach f auf­lösen:

 gb=f(b+g)
Fall 1: b+g=0
 gb=0
Fall 1a: gb=0
 𝕃=ℝ
Fall 1b: gb≠0
 𝕃=∅
Fall 2: g+b≠0
 f=gb/(b+g)
 𝕃={gb/(b+g)}

Zusammengefaßt:

b=g=0 : alle f lösen die Geichung
b=−g≠0 : keine Lösung für f
b+g≠0 : eine Lösung f=gb/(b+g)

Danach macht der normale Schüler das gleiche für b und g und erhält statt des Plus- ein Minus­zeichen. Dann ist das Heft voll, wenn er nicht vorher merkt, daß zur Auflösung nach b einfach b mit f vertauscht und g durch −g ersetzt werden kann. Analog zur Auflösung nach g einfach g und f vertauschen und b negieren.

Wer im Physikunterricht aufgepaßt hat und deshalb f, g und b ver­dächtig findet, wird in der Auf­gaben­stellung eine Tar­nung des Bre­chungs­gesetzes

 1     1     1      f: Brennweite
――― = ――― + ―――     g: Gegenstandsweite
 f     g     b      b: Bildweite

erkennen und mög­licher­weise voll auf die Schnauze fallen, weil es zur Aus­gangs­gleichung nur äqui­valent ist, wenn alle drei Nenner f, g und b ungleich 0 sind. Wann die Lösungs­menge leer oder ganz ℝ ist, kann nicht aus dem Bre­chungs­gesetz abge­lesen werden. Wahr­schein­lich kamen sich die Schul­buch­autoren wieder einmal beson­ders schlau vor, weil sie mit ihrer Aufgabe gb=fb+fg neben 95 Pro­zent der Schüler auch 50 Pro­zent der Lehrer verar­schen konnten.

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Gestern waren Damm-​Quer­schnitte zu konstru­ieren. Mit beiden Wörtern, Damm und Quer­schnitt, wußte meine Tochter nichts anzu­fangen. Wer genau wissen möchte, was damit gemeint war: Gleich­schenklige Trapeze. [1] In Teilauf­gaben a bis c war der Damm stets aus drei der fünf Größen Damm­sohle, Damm­krone, Damm­höhe, Böschungs­länge und Böschungs­winkel zu konstru­ieren. Wer meint, diese Begriffe würden sich Acht­kläßlern aus der Schuh­sohle und der Königs­krone, notfalls aus der Abbil­dung im Buch erklären, hat allen­falls jüngere Kinder. Und was konstru­ieren bedeutet, ist wahr­scheinlich auch dem Lehrer nicht klar. Darüber lasse ich mich später einmal aus. Hier soll es nur um den affen­geilen Teil d der Aufgabe gehen:

 Argumentiere, warum stets drei Bestimmungsstücke
 für die Konstruktion eines Dammes ausreichen.

Offensichtlich wollen die Schulbuch­autoren damit ihre fachliche Kompe­tenz beweisen oder Hoch­begabten auch noch einen Anreiz bieten. Ich habe gar nicht mehr versucht, meiner Tochter eine allge­meine Über­legung nahezu­legen, die auch in anderen Fällen gut funk­tio­niert, sondern nur „argumen­tiert“, wie die Anzahl 3 aus schon bekann­ten Behaup­tungen ableitbar ist, zumal zuvor ja schon mit den Kongruenz­sätzen für Dreiecke genervt wurde:

Für ein allgemeines Dreieck sind drei Bestim­mungs­größen erfor­derlich, für ein gleich­schenk­liges nur zwei. Ein Damm-​Quer­schnitt entseht durch waage­rechtes Abschneiden der Spitze in einer gewissen Höhe. Es kommt also wieder eine Bestim­mungs­größe hinzu. Damit sind es drei für den Damm-​Quer­schnitt.

Da moderne Schüler auch Lösungs­hefte (in Kopie) besitzen, hat mich die Antwort darin doch inter­essiert. Ich zitiere aus der Erin­nerung:

 Ein Damm-Querschnitt ist ein achsensymmetrisches
 Viereck und benötigt deshalb drei Bestimmungsstücke.

Eine solche Antwort erwarte ich von einer Gouver­nante, nicht von einem Mathe­matiker. Zum einen werden drei Frei­heits­grade für ein achsen­symme­tri­sches Viereck als bekannt voraus­gesetzt. Zum anderen wird nicht erklärt, noch nicht einmal behauptet, daß alle achsen­symme­trischen Vierecke (ohne Punkte auf der Achse!) Damm-​Quer­schnitte sind.

Und wie kommt man darauf, daß ein achsen­symmetri­sches Viereck drei Bestim­mungs­stücke benö­tigt? Weil es ein Damm Querschnitt ist? Ha ha! Das würde ich Schul­buch­autoren zutrauen. Und wieviele Frei­heits­grade sind es für allge­meine Vierecke? Es sind fünf. Und warum ver­nichtet die Symme­trie zwei davon? Bei Dreicken geht durch Symmetrie doch auch nur einer verloren. Wenn das Unter­richts­fach Mathe­matik und nicht Anschau­ungs­lehre heißt, dann halte ich eine allge­meine Ableitung für ange­bracht.

Ein ebenes n‑Eck ist durch die Lage seiner n Ecken bestimmt. In der Ebene hat jede Ecke zwei Koordi­naten, womit 2n Freiheits­grade ent­stehen. Da jedes n Eck noch in zwei Richtungen ver­schoben und dazu gedreht werden darf, sind im allge­meinen 2n−3 Bestim­mungs­größen erfor­der­lich und aus­rei­chend. Beim Dreieck sind es 2·3−3=3 und beim Viereck 2·4−3=5.

Bei n-Ecken mit Symmetrie­achsen kann man sich bezüg­lich Ver­schie­bungen und Dre­hungen leicht irren. Deshalb zunächst auch für allgemeine n‑Ecke eine meines Erach­tens ein­fachere Über­legung: Der erste Punkt kann auf den Ursprung eines carte­sischen Koor­dinaten­sytems gelegt werden. Er hat keinen Freiheitsgrad. Der zweite mit einem Freiheitgrad auf die x‑Achse und die übrigen n−2 mit jeweils zwei Frei­heits­graden völlig beliebig. Das ergibt wieder 0+1+(n−2)⋅2​=2n−3.

Ähnlich kommt man auch auf die Frei­heits­grade bei einer Symme­trie­achse. Die sei einfach die y‑Achse. Ein allge­meines n‑Eck kann keinen, einen oder zwei Punkte auf der y‑Achse haben, denn mit dreien oder mehr ist es schon ein über die einfache Symmetrie hinaus spe­zielles. Drei Fälle:

Keine Ecke auf der Symme­trie­achse: Die Ecken 2i−1 und 2i für i=1,…,n/2 (n muß gerade sein!) liegen symme­trisch zuein­ander. Die ersten beiden Ecken auf der x‑Achse mit einem Frei­heits­grad, die übrigen n/2−1 Paare frei in der Ebene mit zusam­men jeweils zwei Frei­heits­graden. Insgesamt sind es 1+(n/2−1)⋅2=n−1.

Eine Ecke auf der Symme­trie­achse: Diese kommt ohne Frei­heits­grad in den Ursprung. Die übrigen Ecken 2i und 2i+1 für i=1,…,(n−1)/2 (n muß unge­rade sein!) haben paarweise zusam­men je zwei Frei­heits­grade. Insge­samt sind es wieder 0+((n−1)/2)⋅2=n−1.

Zwei Ecken auf der Symme­trie­achse: Die erste im Ursprung ohne Frei­heits­grad, die zweite auf der y‑Achse mit einem, und wieder die Ecken 2i+1 und 2i+2 für i=1,…,(n−2)/2 (n muß gerade sein!) als Paare mit gemeinsam zwei Frei­heits­graden Zusam­men erneut 0+1+((n−2)/2)⋅2=n−1.

In jedem Falle sind es für ein n‑Eck mit einer Symme­trie­achse n−1 Frei­heits­grade. Das kann man sicher­lich auch ohne Fall­unter­schei­dung exakt bewei­sen. Die Über­legung ist einfach: Ein Punkt auf der Symme­trie­achse hat einen Frei­heits­grad, ein Punkte­paar außerhalb zwei. Das ist ein Frei­heits­grad pro Punkt. Und einer geht ab für die Ver­schie­bung längs der Achse.

Für n=3 sind es also zwei Bestim­mungs­stücke, zum Beispiel Höhe und Basis eines gleich­schenk­ligen Drei­eckes. Für n=4 sind es die bereits behaup­teten drei. Im Falle zweier gespie­gelter Punkt­paare (gleich­schenke­liges Trapez) kann es neben den beiden Abstän­den von der Achse die Entfer­nung der beiden Ver­bin­dungs­linien sein, also der Abstand von Sohle und Krone. Bei zwei Ecken auf der Achse (Drachen [2]) bestimmen die vier Abstände der Ecken vom Schnittpunkt der Diagonalen das Viereck. Zwei sind gleich, also drei Bestimmungsgrößen.

Mit einer Symme­trie­achse büßt ein n‑Eck also (2n−3)−(n−1)​=n−2 Frei­heits­grade ein. Das Dreieck einen von 3 auf 2, das Viereck zwei von 5 auf 3.

[1] Warum Damm-​Schnitte oder gar ganze Dämme auf beiden Seiten den gleichen Böschungs­winkel aufwei­sen, erschließt sich einem normal denkenden Menschen nicht. Und wenn See­deiche auch Dämme sind, dann ist die Wasser­seite nicht nur wesent­lich flacher, sondern auch nicht gerade.

[2] Es spielt hier keine Rolle, ob der Drachen konvex sein muß, der Diagonal­schnitt­punkt also immer­halb des Vier­eckes liegt. Auch könnte man ohne Einfluß auf die Frei­heits­grade sowohl beim Trapez als auch dem Drachen sich kreu­zende Kanten zulassen, denn die end­liche Anzahl von Eck­permu­tationen vermag keinen Frei­heits­grad zu erzeugen.

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Im Biologie-Unterricht wurde gerne verbreitet, Tiere fielen in Gegensatz zum bösen Menschen nicht über Artge­nossen her. Im Bedarfs­falle redu­zierte sich diese Behaup­tung auf Mord, zu dessen Heim­tücke es den Tieren an Geistes­kraft fehlt, was neben schlechter Kindheit und Migra­tions­hinter­grund auch gerne Menschen straf­mildernd beschei­nigt wird. [1] Über Homos­exua­lität im Tier­reich wurden solche Lügen nicht verbreitet, weil kein Voka­bular zur Verfü­gung stand, das ohne Ent­setzen der Eltern von den Lehrern hätte ver­wendet werden können.

Heute lese ich in der Frankfurter Rundschau, was Wissen­schaftler sicher schon lange wissen: Auch Tiere können schwul sein. [2] Das inter­essiert die Öffent­lichkeit natürlich nur wegen der unver­meidli­chen Reak­tionen gleicher­maßen veran­lagter Menschen, die in diesem Zusammen­hang gerne tief in die Dis­kriminie­rungs- und Normali­täts­kiste greifen. [3] Voran Martina Navrati­lova, gleich­wohl ich mir vor­stellen kann, daß es im Tierreich im Gegensatz zum Menschen vorwie­gend um die männ­liche Variante geht.

Wer kennt nicht Hunde, die einem ans Bein gehen, und Kanin­chen, die sich über Meer­schwein­chen her­machen? Warum sollte dann ein Schafs­bock sich nicht von hinten an einen Geschlechts­genossen anschleichen? Ver­wunder­licher ist, daß der Vorder­mann stehen bleibt, was ich aber Schafen eher als anderen Tieren zutraue. Nicht umsonst spricht man vom Schäfer­stünd­chen und stellt sich Gemeinde­glieder nicht als Schweine oder Rinder, sondern als friedliche Schafe vor, die alles über sich ergehen lassen.

Aber Forscher werden nicht so blöd sein, mangelndes Unter­schei­dungs­vermö­gen bei der Partner­wahl schon für homo­sexuelle Veran­lagung zu halten. Deshalb gehe ich davon aus, daß es reich­lich Schafs­böcke gibt, die sich vorwie­gend oder aus­schließ­lich ans eigene Geschlecht ranmachen, und auch eine nicht minder große Anzahl, die ruhig stehen bleibt, wenn einer von hinten aufspringt. Und dafür würde ich der Natur einen vernünf­tigen Grund zutrauen, den an Erkennt­nis und nicht nur an reflex­hafter Abwehr inter­essierte Homo­sexuelle sicher gerne kennen würden.

Für ausge­schlossen halte ich einen geneti­schen Rest aus einer Zeit, da unsere Vorfahren nur ein Geschlecht kannten oder sich auch durch Knospung ver­mehrten. Es würde mir aber ein­leuchten, wenn die Natur die Aus­bildung der Prägung auf die eine oder andere Gruppe von Partnern nicht sehr restrik­tiv vor­schreibt, um im evolu­tio­nären Prozeß flexibel zu bleiben, also eine die Vermeh­rung dämpfende Fehler­rate in Kauf nimmt. Möglicher­weise spielen die solcher­maßen von Nach­kommen ver­schonten Exem­plare eine wert­volle Rolle in der Gesell­schaft. Das könnte auch bei den Menschen der Fall sein, wenn die gleich­geschlecht­lichen Doppel­ver­diener Geld und Arbeits­kraft vornehm­lich auf Bereiche verwen­deten, denen sich die um die Vermeh­rung bemühten Hetero­sexuellen nicht widmen können oder wollen.

[1] 20.09.2024: Dieser Satz hat mich bei der Über­arbei­tung hoch erfreut, denn die Haltungs­menschen haben mich inso­weit duselig geredet, daß ich stets denke, die Probleme mit der Über­frem­dung hätten erst vor neun Jahren im Sep­tember 2015 begonnen als Angela Merkel alle zu uns einlud, um sich mit Teddy­bären bewerfen zu lassen. Zurück gab es Messer. Offen­sicht­lich wurde schon über 20 Jahre lang nichts unter­nommen. Doch wie Abnehmen kein Problem ist, wenn man sich dafür die Zeit der Zunahme nimmt, so könnten wir mit mäßigem Druck bis 2050 zur Norma­lität zurück sein.

[2] FR. Link veraltet. Leider keine Anhaltspunkte notiert, um ihn anderswo zu finden.

[3] Showdown mit schwulen Schafböcken. Spiegel-​Online, 27.01.2007.