Zahlwort

Ein Blogger sollte immer seinen Notizblock zur Hand haben, um nach dem Konzert, dem Lesen der Zeitung, dem Kino, dem Fernseh­abend oder dem ersten Stich einen kleinen Bericht schreiben zu können. Glück­licher­weise hatte ich vorge­stern bei „Ein Fall für zwei“ mein Sudoku-​Heft und einen Blei­stift neben mir liegen, um eine bemer­kens­werte Kurz­fassung der geäußerten Auffas­sung (2), des wahren Wesens (1) und der gerechten Behand­lung (0) von Nihi­listen zu hören und zu sehen:

2: „Für einen Freigeist zählt nur die eigene Moral.“
1: „Wir können doch über alles reden.“
0: Der Hammer trifft präzise die Schläfe.

Wie oft in Kriminal­filmen wurde auch hier der Hand­werker, der seinen Hammer profes­sionell gegen einen bla­sierten Inter­nats­schüler einzu­setzen vermochte, dann doch über­führt und ver­haftet.

Nachdem ich von der mickrigen Sprengkraft von 0,5 Kilo­tonnen TNT der nord­korea­nischen Atom­bombe hörte, kam mir sofort die kosten­günstige Möglich­keit in den Sinn, der Welt für 10 Millionen Dollar einen Güterzug voll Atommüll abzu­nehmen, ihn zusammen mit einem zweiten, mit Spreng­stoff bela­denen in ein Bergwerg zu fahren, um so zum Null­tarif einen Atom­bomben­test vorzu­täuschen. Um aber als Prophet zu gelten, hätte ich das sagen müssen, bevor sich diese Möglich­keit herumge­sprochen hat. Natür­lich glaube ich das nicht wirklich, denn die Welt läßt sich nicht lang­fristig täuschen und die von ihr abge­schottete eigene Bevöl­kerung ist vom Geliebten Führer mit ein­facheren Mitteln zu belügen.

Natürlich gibt es auch außerhalb Nordkoreas ein Bedürfnis, die Bedeutung dieser Atombombe hochzu­spielen, die ohne Ankün­digung möglicher­weise an den Seismo­graphen der Welt vorbei­gezogen wäre. Wer weiß, wieviele Millionen eine Milliarde hat, wieviel Kilo­gramm eine Tonne und wieviel Byte ein Mega­byte, der behauptet natür­lich gerne, es seinen doch 15 Kilo­tonnen Spreng­kraft gewesen, um wenig­stens in die psycho­logisch wichtige Größen­ordnung von Hiro­shima zu kommen. Doch was will man damit in einer Zeit, in der nicht mehr unter leichter Täuschung in optimaler Höhe über einer Großstadt eine Atom­bombe zu zünden ist, die in keinen Rücksack paßt? Etwa mit einer in den Träumen vorhan­denen Rakete ein Loch ins Eis von Alaska sprengen, um dem ameri­kanischen Präsi­denten Gelegen­heit zu geben, ohne Rück­sprache Pjöng­jang platt zu machen?

[1] Mao Tsetung: Worte des Vorsitzenden Mao Tse-Tung. Verlag für fremd­sprach­liche Lite­ratur, Peking, 1. Auf­lage, 1967. Seite 166: „Die Atombombe ist ein Papier­tiger“.

Wenn Wirtschaftswissenschaftler den Eindruck haben, zwei Kennzahlen x und y korre­lierten negativ, dann haben sie keine Hem­mungen, von einem „trade off“ zu reden und nach dem Vorbild von Boyle-​Mariotte daraus ein Gesetz x⋅y=const zu machen. Wenn dann die Jahre ins Land gehen, stellen sie mögli­cher­weise fest, daß auch eine große Anhebung des Wertes y auf x kaum noch einen Einfluß zu haben scheint. Dann korri­gieren sie kurzer­hand die Konstante oder das Gesetz zu (x−a)⋅y=const oder ähnlichem.

Wenn y die Inflations­rate und x die Arbeits­losen­quote ist, so glaubten sie allen Ernstes an die Konstanz des Produktes x⋅y oder ähn­liches und nannten es Phillips-​Kurve. Und nun soll ein Nobel­preis an Edmund Phelps für die Variante (x−a)­y=const ver­liehen werden, mit der ‚natürlichen‘ Arbeits­losig­keit a, die man auch durch Hinnahme hoher Infla­tions­raten nicht unter­bieten kann. Natürlich mußte a beständig angehoben werden und wird zur Zeit so um 7 Pro­zent liegen.

Ein schönes Argument, gegen Arbeits­losig­keit nichts unter­nehmen zu müssen, gleich­wohl man mit der Frank­furter Rund­schau zum Lobe von Edmund Phelps auch umgekehrt folgern könne, daß ein Grund­stock an Arbeits­losen auch mit Lohn­drücke­rei nicht zu besei­tigen sei, weshalb diese Menschen ein Anrecht auf bessere Versor­gung als durch Hartz IV hätten. Überhaupt möchte ich hier nicht über einen einzelnen Nobel­preis­träger lästern, den ich gar nicht kenne und der sicher­lich für umfas­sendere Leistun­gen geehrt wird, sondern nur über die Wirt­schafts­wissen­schaft und deren ‚Nobelpreis‘.

Und wenn ich das so lese und schreibe, kommt in mir der alte Ärger hoch, daß sich die auf dem Geld sitzenden Säcke einen Nobel­preis unter den Nagel gerissen haben, auch wenn sie ihn nicht aus dem Vermögen Alfred Nobels finan­zieren und eigent­lich sich damit nur selbst adeln. In der Namens­aneig­nung besteht die Drei­stig­keit. Zur Gewissens­beruhi­gung würde man auch den Mathe­matikern einen gönnen, doch wollten sie ihn nicht, wie angeb­lich auch die Mathe­mati­kerin Sonfja Kova­levs­kaja (Sonja Kowa­lewski) ihren Verehrer Alfred Nobel abwies. Für mich ist das alles eine Facette des mehr oder minder bewußt ausge­lebten Bestre­bens der Reichen und ihrer Diener, Geld in Ruhm zu wandeln.

Entgegen meiner Gewohn­heit muß ich aus einem englichsprachigen Text raub­kopieren: „Much of their work has an 'apples and oranges' quality, ranging from the economics of slavery to the economics of bumble­bees. […] As the old joke goes, 'Economics is the only field in which two people can win a Nobel Prize for saying exactly the opposite thing.' […] This suggests that economics hasn't really advanced to the stage yet where we can call any one of them undeni­ably true. So what is the purpose of awar­ding a Nobel? In his ori­ginal will, Alfred Nobel stipu­lated that the awards should be given to those scien­tists who have 'confer­red the grea­test benefit on mankind.' In other words, those who bring prac­tical results to the real world. Econo­mics fails this crite­rion. Of course, it is unli­kely that any false theory could bring benefit to the world, and if various economic theories pass in and out of academic fashion, it is impos­sible that they could all be true and there­fore bene­fi­cial.“ [1]

[1] ALL THOSE NOBELS… Chicago School of Economics zitiert von Steve Kangas.

Wenn ich einen Bruchteil meiner Spam-Mail oder nur den der Nigeria-​Connec­tion und ihrer Nachahmer lesen oder gar hier veröf­fentli­chen wollte, hätte ich viel zu tun. Das nach­stehende Schrift­stück ist die seltene Ausnahme, nicht gerade als Spitzen­reiter unter den lustigen oder schwach­sinnigen, sondern weil es wegen formaler Arglosig­keit durch den Filter gerutscht ist, in dem 98 Pro­ent hängen bleiben, und wegen des lehr­reichen Gebrauches des Wortes brauchen.

Sehr Geehrte Damen und Herren

... und jetzt betrachtet man es als einen 
von den F?hrern unter IT - Dienstversorger im Internet.  
Die gro?e Auswahl am Dienst, hohe Qualit?t unserer Arbeit, 
Professionalismus unserer 
Angestellten und erschwinglicher Preise zieht neue Kunden jeden Tag an. 
           
Die Tatsache ist, dass trotz der deutsche Markt f?r uns neu ist, 
haben wir bereits  
regelm??ige Kunden und das spricht auch f?r sich selbst.
      
  WAS BRAUCHEN SIE F?R UNS ZU MACHEN?

Die internationale Steuer f?r Geld?berweisung ist f?r gesetzliche Entit?ten  
(Gesellschaften) in der Ukraine 
25 %, wogegen es f?r die Person nur 7 % ist.
Es gibt keinen Sinn f?r uns, um dieser Weg zu arbeiten  , w?hrend 
Steuer f?r internationale 
Geld?berweisung,die von einem Privatmann gemacht wird, ist 7 %. 
Deswegen brauchen  
wir Sie! Wir brauchen Agenten, um Zahlung f?r Produkte in 
Geldanweisungen zu erhalten, 
Scheck oder Banks?berweisungen) und um
Geld zu uns durch Wire Transfer oder Western Union wiederzusenden. Auf diese 
Weise werden wir Geld  wegen des Steuerverringerns sparen.
      
         ARBEITSBESCHREIBUNG?
1.	Zahlung von den Kunden bekommen
2. Bargeldszahlungen in Ihrer Bank 
3. Der 10%Abzug, der Ihre Zinsen/Gehalt  f?r Ihre Zahlungsbearbeitung
wird sein. 
4. Die vorzeitige Bilanz  
Nach dem Abzug von Ihren Zinsen/ Gehalt  wird man mit Ihnen in 
Verbindung treten, wohin 
die Zahlungen zu senden (die Zahlung muss entweder Wire Transfer oder 
Western Union Money Transfer gemacht sein). ...

VORTEILE
Sie m?ssen nicht ausgehen, weil Sie wie ein unabh?ngiger Vollzieher 
gerade aus dem Haus arbeiten. Ihre Arbeit ist absolut legal.
Sie k?nnen bis $3000-4000 monatlich verdienen und das hangt von der 
Zeit, die Sie f?r diese Arbeit verbringen werden, ab.
Kein Startkapital ist notwendig. Sie k?nnen ihre Arbeit ohne das 
Verlassen oder Hindernis f?r heutige Job machen.  
Die Arbeiter, die mit allen Kr?ften arbeiten, haben eine starke 
M?glichkeit die Manager zu bekommen. In jedem Fall lassen unsere 
Arbeiter uns nicht. ...

Soeben demonstrierten zwei Damen bei VIVA ihre Rechenkünste:

A: … schon 17 Jahre, seit 1991.
B: Nö, 2001 sind 10 Jahre, plus 5 sind 16.

Ich habe den Anlaß für diese Rechnung nicht mitbekommen. Wenn es aber um den 16. Tag der deut­schen Einheit neueren Datums ging, so mag dieser Dialog als Bei­spiel dienen, wie das rich­tige Ergebnis keine Rück­sicht auf seine Herlei­tung nimmt.

Neun-Live Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ | 0,875

Die Suche nach nackten und versteckten Einern, Paaren, Tripeln oder gar Quadru­peln und nach Zweiern mit Konse­quenzen für betrof­fene Blöcke, Zeilen und Spalten ist recht mühsam und führt in schweren Sudoku allein nicht zum Ziel. In den ein­fachen Sudoku für Busse und Bahnen aber kann man sich nicht nur auf elemen­tare Metho­den beschrän­ken, sondern auch zwischen ihnen wählen. Als Mensch sollte man aus­nutzen, was ein Leben lang trai­niert wurde und nicht viel Mühe macht. Also wird man nicht wie ein Computer alle Felder abgrasen, sondern die bewährte Muster­erken­nung ein­setzen, die nach viel Übung so reflex­haft arbeitet wie man Fahrrad fährt.

+-------+-------+-------+
| 2 . . | . 7 8 | . . . |
| 6 . 1 | . 9 . | . 4 5 |
| . 9 . | . 4 . | 1 8 . |
+-------+-------+-------+
| . . 7 | . 2 6 | 3 5 . |
| . . 9 | 7 . . | . 1 6 | [1]
| 8 . 5 | . . 9 | . . . |
+-------+-------+-------+
| . 7 . | 4 3 . | 2 . . |
| . 1 2 | 5 8 . | 6 . 4 |
| . 3 8 | 9 . . | . . 1 |
+-------+-------+-------+

In diesem Sudoku würden Computer oder Buch­halter viel­leicht zu jedem freien Feld notieren, welche Ziffern noch möglich sind, um sofort 12 Felder aus­füllen zu können:

+-------+-------+-------+
| 2 . . | . 7 8 | 9 . . |
| 6 8 1 | . 9 . | 7 4 5 |
| . 9 3 | . 4 . | 1 8 . |
+-------+-------+-------+
| . 4 7 | . 2 6 | 3 5 . |
| . . 9 | 7 . . | . 1 6 |
| 8 . 5 | . . 9 | . . . |
+-------+-------+-------+
| . 7 6 | 4 3 1 | 2 9 . |
| 9 1 2 | 5 8 7 | 6 . 4 |
| . 3 8 | 9 6 . | . 7 1 |
+-------+-------+-------+

In den verbleibenden 31 Feldern ent­fallen dadurch zahl­reiche Kandi­daten. Schnell können weitere Felder ausge­füllt werden, und bald ist man am Ziel.

Dieses Vorgehen ist nicht die Domäne des Menschen und macht den Rätsel­spaß nicht aus. Zum einen gehen für die Anfangs­über­prüfung schon fünf Minuten drauf. Zum anderen sollte die Lösung auch ohne Notizen gefunden werden. Und wer sieht mit dieser Methode ohne Mühe zum Beispiel die rote vier, weil in ihrem Block samt ihrer Zeile und Spalte alle anderen acht Ziffern vor­kommen? Erst nach dem Schei­tern einfa­cherer Über­legun­gen hätte ich die vierte Zeile unter­sucht, in deren vier freien Fel­dern nur die Ziffern 1, 4, 8 und 9 vor­kommen können, um dann mög­licher­weise zu sehen, daß für die zweite Posi­tion alle außer 4 aus­scheiden, wahr­schein­licher nach­dem mir aufge­fallen wäre, daß in der letzten Position eine 9 stehen muß, woraus sich der Rest der vierten Zeile ergibt.

Woran liegt das? Der Mensch kann auch mit viel Training kaum erkennen, an welchen Stellen acht oder auch nur sieben verschie­dene Ziffern aus­scheiden. Er muß alle Felder abgrasen oder sich auf solche beschrän­ken, in denen sich nicht nur viele, sondern auch verschie­dene Ziffern kreuzen, vor allem die seltenen. Doch glück­licher­weise kann ein Mensch sehr schnell einen holo­grafi­schen Blick ent­wickeln, um die Posti­onen gleicher Ziffern zu erkennen. In Gedanken kann er dann ihre Zeilen und Spalten kreuzen und sehen, in welchen Blöcken nur noch ein Feld übrig bleibt. Auf diese Weise erledigt man zumin­dest einfache Sudoku immer schneller.

Ich will wenigstens einmal im Detail auf­schreiben, wie diese Methode grund­legend funk­tio­niert: Streicht man im Ausgangs­su­doku [1] alle Zeilen und Spalten mit Ziffer 1, so schrumpft es auf

  | 1 | 4 5 6 |
--+---+-------+
A | X | . X X |
--+---+-------+
D | . | . X X |
F | X | . . X |
--+---+-------+
G | X | X X . |
--+---+-------+

worin Spalten mit Nummern 1 bis 9 und Zeilen mit Buchstaben A bis I bezeich­net sind. Ein X bedeu­tet, daß in diesem Feld bereits eine Ziffer steht oder im zuge­höri­gen Block eine 1 vorkommt. Der Augen­schein sagt sofort, daß an den Posi­tionen A4, D1 und G6 Einsen stehen müssen, womit für die letzte 1 nur noch F5 bleibt. Die Einsen sind damit alle­samt auf einen Schlag erle­digt:

+-------+-------+-------+
| 2 . . | 1 7 8 | . . . |
| 6 . 1 | . 9 . | . 4 5 |
| . 9 . | . 4 . | 1 8 . |
+-------+-------+-------+
| 1 . 7 | . 2 6 | 3 5 . |
| . . 9 | 7 . . | . 1 6 |
| 8 . 5 | . 1 9 | . . . |
+-------+-------+-------+
| . 7 . | 4 3 1 | 2 . . |
| . 1 2 | 5 8 . | 6 . 4 |
| . 3 8 | 9 . . | . . 1 |
+-------+-------+-------+

Praktisch macht man es natür­lich ein­facher und schneller: Zunächst ergeben sich die Einsen im mitt­leren senk­rechten 3×9‑Strei­fen bei A4 und G6. Die anderen beiden folgen dann ohne weiteres. Diesen Stiefel kann man weiter durch­ziehen. Für die 2 ergibt sich folgendes Teil­diagramm:

  | 2 | 4 6 | 8 9 |
--+---+-----+-----+
B | X | . . | X X |
C | X | . . | X . |
--+---+-----+-----+
E | . | X X | X X |
F | . | X X | . . |
--+---+-----+-----+ 
I | X | X . | X X |
--+---+-----+-----+

Es fallen alle fünf fehlenen Zweien, denn C9 ist die einzige Möglich­keit im oberen rechten Block, ebenso I6 im mitt­leren unteren, womit F8, E2 und B4 sofort folgen.

+-------+-------+-------+
| 2 . . | 1 7 8 | . . . |
| 6 . 1 | 2 9 . | . 4 5 |
| . 9 . | . 4 . | 1 8 2 |
+-------+-------+-------+
| 1 . 7 | . 2 6 | 3 5 . |
| . 2 9 | 7 . . | . 1 6 |
| 8 . 5 | . 1 9 | . 2 . |
+-------+-------+-------+
| . 7 . | 4 3 1 | 2 . . |
| . 1 2 | 5 8 . | 6 . 4 |
| . 3 8 | 9 . 2 | . . 1 |
+-------+-------+-------+

Weiter geht es mit der 3, die nur dreimal vorkommt. Trotzdem sind die übrigen sechs Dreien sofort fällig:

+-------+-------+-------+
| 2 . . | 1 7 8 | . . 3 |
| 6 . 1 | 2 9 3 | . 4 5 |
| . 9 3 | . 4 . | 1 8 2 |
+-------+-------+-------+
| 1 . 7 | . 2 6 | 3 5 . |
| 3 2 9 | 7 . . | . 1 6 |
| 8 . 5 | 3 1 9 | . 2 . |
+-------+-------+-------+
| . 7 . | 4 3 1 | 2 . . |
| . 1 2 | 5 8 . | 6 3 4 |
| . 3 8 | 9 . 2 | . . 1 |
+-------+-------+-------+

Der Rest ist ein Kinder­spiel, gleich ob man nun mit der 4 fortfährt oder einen Block nach dem anderen ausfüllt.

Wenn es auch nur selten so leicht wie im vorange­henden Beispiel ist, kann doch fast jedes Sudoku, daß nicht die Stufe 3 über­steigt oder als sehr schwer gekenn­zeich­net ist, auf diese Weise gelöst werden: Zunächst geht man die Ziffern 1 bis 9 nach der beschrie­benen Methode durch, um die Zahl der ausge­füllten Felder zumin­dest leicht zu erhöhen, wodurch eine Reihe von Blöcken, Zeilen und Spalten mit vier oder weniger freien Feldern ent­standen sein sollte. In diesen sucht man weitere nackte oder ver­steckte Einer, Paare, Tripel oder einfache Zweier. Und sobald etwas ent­deckt ist, schaut man nach direk­ten Konse­quenzen. Das sollte samt gelegent­lichen kleinen Zusatz­kombina­tionen zur Lösung aus­reichen.

Es ist Zeitverschwendung, systema­tisch alles zu über­prüfen. Viel­mehr ist es wichtig zu ahnen, welche Objekte Fort­schritt mit wenig Aufwand verspre­chen. Dazu gehören nicht nur die mit wenig freien Feldern, sondern auch solche, in denen gerade eine neue Ziffer pla­ziert oder etwas anderes gefunden werden konnte. Und wenn zum Beispiel Zeilen sich als uner­giebig erweisen, sollte man recht­zeitig auf Spalten oder Blöcke wech­seln.

Allmählig ist es mir schon langweilig geworden, mit diesem Stiefel alle Sudoku der Stufe 3 in sieben bis fünf­zehn Minuten zu lösen, sofern mir kein Flüch­tig­keits­fehler unter­läuft. Und in den Bahn­hofs­buch­hand­lungen sind die Hefte mit schwie­rigeren Rätseln schon recht selten. Trotz­dem ist es wohl gut, ein paar hundert davon abzu­haken, um Geläu­figkeit für spätere Auf­gaben zu errei­chen, die nicht dadurch unlösbar werden sollen, daß die Routine für die ein­fachen Kombi­nationen fehlt und ich sie munter über­sehe.

[1] 2...78...6.1.9..45.9..4.18...7.2635...97...168.5..9....7.43.2...1258.6.4.389....1

Übersicht | Anfang | Einer | Paare | Stufen

Wenn man 18 Prozent mehr Umsatz als Hysterie bezeichnen mag, dann hat es eine solche um die 26 Milli­onen in Lotto-​Jackpot gegeben. Und sollte am Montag keiner gewonnen haben, dann wird er nächste Woche noch größer sein. Ab wann lohnt es sich für mich mitzu­spielen?

Um das einschätzen zu können, habe ich mich nach dem Einsatz für ein Spiel erkundigt. Es sind wohl 75 Cent. Der Normal­gewinn ist 37,5 Cent, daß selbst ohne Berück­sich­tigung der Gebühren der Jackpot etwa 37,5⋅140.000.000 Cent also mindestens 50 Mil­lionen Euro betragen müßte, was wohl kaum erreicht werden wird, weil er vorher ‚geknackt‘ oder der Gewinn­klasse 2 zuge­schlagen wird.

Um aber ehrlich zu sein, habe ich nicht darüber nachge­dacht, wann ich zum Lotto­spieler würde, sondern mir nur erneut die Frage gestellt, ab welcher Gewinn­quote q(x,y) der normale Mensch bereit ist, einen Betrag x für einen mögli­chen Gewinn von y zu setzen.

So blöd die Sendung „Deal or no deal“ auch ist, bietet sie neben dem Lotto­spiel und dem Roulette dafür doch gewisse Anhalts­punkte. Anders als in den meisten Gewinn­spiel­sen­dungen schwankt der zu erwar­tende Gewinn auf den einen Koffer nur wenig. Nur die von der ‚Bank‘ ange­botene Quote wird immer besser, bis der Kandidat weich wird und um die 75 Pro­zent der zu erwar­tenden Summe aufgibt.

Während im Bereich eines Einsatzes von 10.000 bis 50.000 Euro offen­sichtlich eine diesen Betrag deut­lich über­steigende gefühlte Aus­zahlung erwartet wird, bereits erzielte Gewinne in dieser Größen­ordnung nur ungern riskiert werden und nur wenige für den Einsatz ihr Konto über­ziehen würden, reichen sehr vielen Menschen beim Lotto­spiel dennoch 50% Gewinn­ausschüt­tung.

Wenn jeder Euro jedem gleich viel wert ist, man von einem Gewinn nicht viel hat und ein Verlust auch nicht juckt, dann sollte man wetten, sobald q(x,y)>x/y ist. Viele verzocken zumeist kleine Beträge unterhalb dieser Grenze. Bei großen Ein­sätzen ist es umge­kehrt. Wer nicht reich ist, kann einen Verlust evtl. nicht weg­stecken. Wer sich über eine Nieder­lage über­mäßig ärgert, wird eben­falls zögern. Wer wie bei „Wer wird Milli­onär“ vor der Wahl steht, einen sicheren Betrag nach Hause mitzu­nehmen oder ihn zu ris­kieren, der wird sich über­legen, ob er mit mehr zufrie­dener wäre oder im Falle des Scheiterns zum finan­ziellen Verlust auch noch Spott und Hohn ein­fährt.

Mißt man einem Gewinn von z Euro einen Wert g(z) und einem Verlust v(z) zu, sollte man eine Wette eingehen sofern die Gewinn­wahrschein­lichkeit q(x,y)=v(x)/(g(y−x)+v(x)) übersteigt. Welchen Funk­tionen g und v ein normaler Mensch guten Aus­kommens, aber ohne großes Ver­mögen folgt, kann man nur anhand seines Verhal­tens erahnen. Ich schätze grob:

        z        g(z)        v(z)   
        0,10        0,06        0,05
        1           0,70        0,65
       10           8,50        9
      100         100         120
    1.000       1.200       1.600
   10.000      14.000      22.000 
  100.000     170.000     300.000
1.000.000   2.000.000   4.000.000

Zum Beispiel Lotto: Setze ich x=1 Euro ein und kann y=1.000.000 Euro gewinnen, so sollte die Gewinn­wahr­schein­lichkeit eins zu eine Million sein, sofern ich jeden Euro gleich bewerte. Wenn mir aber ein verlo­rener Euro nur 65 Cent wert ist (v(x)=0,65) und eine Million das Dop­pelte (g(y)=2.000.000), so sollte ich bereits spielen, wenn die Gewinn­wahr­schein­lichkeit nur eins zu 3 Mil­lionen über­steigt. Obwohl nur die Hälfte der Lotto­ein­nahmen wieder ausge­schüttet werden, kann damit schon der Bereich erreicht sein, da Lotto für ein faires Spiel gehalten wird, auch wenn die vielen klei­neren Gewinne nicht so lukrativ erscheinen. Und bei einem Jackpot von 26 Mil­lionen sind die Verhält­nisse klar: Wer scharf auf viele Milli­onen ist, für den lohnt es sich. Er sollte sogar mehrfach spielen, solange ihn der wahr­schein­lich verlorene Einsatz nicht schmerzt.

Und noch ein Beispiel: Wer bei „Wer wird Millionär“ vor der Millionen­frage steht, der kann seine x=500.000−32.000​=468.000 Euro riskieren und evtl. y=1.000.000 Euro gewinnen. Objektiv sollte er bei einer erwar­teten Erfolgs­quote oberhalb von 468.000/1.000.000​=47% zocken. Doch ist der Einsatz kein Klecker­betrag, ihn zu ver­lieren schmerzt, weshalb die meisten erst dann das Risko eingehen, wenn zu mehr als v(468.000)/​(g(532.000)+v(468.000))​=65% richtig geant­wortet werden kann. Und das ist nur selten der Fall.