Zahlwort

Lange Zeit habe ich mich nicht mehr mit Sudoku abge­geben. Andere hielten ihr Inter­esse mit Varian­ten am Leben, durch die auch ein 6x6-Feld durch­aus an­spruchs­voll sein kann. Die Lösung eines solchen Sudo­kus von Phisto­mefel [1] habe ich bei Cracking the Cryptic [2] gesehen.

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| . . . . . . |
| . . q p . . |
| . . . R . . |
| . . . S . . |
| . . T . . . |
| . . . . . . |
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Die üblichen 2x3‑Recht­ecke sind nicht vor­gege­ben. Viel­mehr müssen sechs zusam­men­hän­gende Gebiete gefun­den werden, in denen die sechs Zif­fern wie in den sechs Zei­len und Spal­ten je ein­mal vor­kom­men. Es gibt keine vor­gege­be­nen Zif­fern, son­dern nur zwei Ther­mome­ter in Form einer Sie­ben, die ich wegen man­geln­der graphi­scher Fähig­kei­ten mit RST und pq dar­ge­stellt habe. Sie bedeuten R<S<T und p<q. Hinzu kommt die Regel, daß waage­recht oder senk­recht benach­barte Fel­der sich genau dann zu 7 addie­ren, wenn sie zwei ver­schie­denen Gebie­ten ange­hören.

.   x        x   y      x |7-x
  +---      ---+---    ---+---
y | z        a | b     7-x| x

Liegen in einen 2x2-Kasten zwei diagonal sich gegenüberliegende Felder im gleichen Gebiet, so alle vier, denn stehen in diesen beiden Feldern die ver­schie­denen Zif­fern x und y und ge­hörte wie im lin­ken Teil­bild eines der beiden übri­gen mit der Zif­fer z zu einen ande­ren Gebiet, müßte 7-x=z=7-y, also x=y sein. Die zusam­men­hän­gen­den Gebiete sind somit kon­vex (keine aus­ge­schla­ge­nen Ecken) und des­halb recht­eckig, also ste­hende oder lie­gende Sech­ser­strei­fen bzw. 2x3‑Recht­ecke.

Gehören zwei waage­recht oder senk­recht verbun­dene Fel­der eines 2x2-​Ka­stens dem glei­chen Gebiet an, so auch die ande­ren beiden, ent­weder dem erste­ren oder einem weite­ren. Wären es wie im mitt­le­ren Teil­bild drei ver­schie­dene, ergäbe sich y=7-b=7-(7-a)=a=7-x, also x+y=7, was inner­halb eines Gebie­tes verbo­ten ist. Damit können an Sechser­strei­fen nur wei­tere Sechser­strei­fen anschlie­ßen. Das ganze Feld müßte ge­streift sein. In der dazu ortho­gona­len Rich­tung alter­nie­ren dann zwei Zif­fern x und 7-x.

Also bleiben nur 2x3‑Recht­ecke. In den 2x2‑Kä­sten um die Kreu­zungs­stel­len der Gebiets­gren­zen tre­ten wie im rech­ten Teil­bild zu sehen genau zwei Zif­fern x und 7-x je zwei­mal dia­gonal auf. Ein Treff­punkt vie­rer Recht­ecke kann somit nicht auf die schräge Ther­mome­ter­linie von S nach T fal­len, wes­halb das Gesamt­gebiet in sechs auf­rechte 2x3‑Recht­ecke zu tei­len ist.

Im folgenden seien x, y und z drei noch unbe­kann­te Ziffern mit {x,y,z}={1,2,3}. Die Komple­mente sind X=7-x, Y=7-y und Z=7-z. Die Mengen X={x,X}, Y={y,Y} und Z={z,Z} bezeich­nen Stel­len, an denen eines der bei­den Ele­mente zutrifft. Die vier Ziffern um den lin­ken Kreu­zungs­punkt CD23 seien aus X, die um den rech­ten CD45 aus Y (lin­kes Teil­bild mit unbe­hol­fen dar­ge­stell­ten Ther­mome­tern).

   +------+------+------+   +------+------+------+   +------+------+------+
A  | .  . | .  . | .  . |   | .  . | .  . | .  . |   | .  . | .  . | .  . |
B  | .  . | .__. | .  . |   | .  . | .__. | .  . |   | .  . | q__p | .  . |
C  | .  X | X  Y | Y  . |   | .  X | X  y | Y  . |   | .  X | X  3 | 4  . |
   +------+----|-+------+   +------+----|-+------+   +------+------+------+
D  | .  X | X  Y | Y  . |   | .  X | X  Y | y  . |   | .  X | X  4 | 3  . |
E  | .  . | ._/. | .  . |   | .  . | Z_/X | .  . |   | .  . | 5  X | .  . |
F  | .  . | .  . | .  . |   | .  . | y  z | .  . |   | .  . | 3  2 | .  . |
   +--------------------+   +------+------+------+   +------+------+------+
     1  2   3  4   5  6       1  2   3  4   5  6       1  2   3  4   5  6

Da das Dreier­thermo­meter steigt, muß es in C4 mit y begin­nen und in D4 auf Y>y steigen. Am seinem Ende bei E3 schei­den x und X beide aus, zumal sie schon in CD3 ver­tre­ten sind. Da zudem y, Y und z nicht grö­ßer sind als Y, bleibt am Ende des Ther­mome­ters bei E3 nur Z (mitt­leres Teil­bild), was wegen Z>Y>3 allen­falls 5 oder 6 sein kann. Doch Z=6 schei­det aus, weil die 6 keinen Platz im mitt­leren oberen Recht­eck fände: In Spalte 3 gibt es be­reits ein Z, C4 ist mit y≠Z belegt, B4 verträgt am tief­sten Punkt eines Ther­mome­ters keine 6, und Z=6 bei A4 erzwingt z=1 bei B3, was am höch­sten Punkt des Ther­mome­ters pq nicht mög­lich ist. Damit ist Z=5, z=2, Y=4, y=3 und X={1,6}. Und da p=1,5,6 klei­ner als q=2,4 sein muß, ver­bleibt nur p=1=x, woraus sich der ganze Rest sofort ergibt.

Wie stelle ich mir vor, das Rätsel im Wettbewerb unter drei Minu­ten zu lösen? Zunächst schei­nen nicht genü­gend Ein­schrän­kungen für eine kom­pli­zierte Gebiets­auftei­lung vorzu­liegen, weshalb es die Stan­dard-​2x3-​Recht­ecke sein werden. Senk­recht liegen die Thermo­meter schön in nur zweien davon. Das drei­stu­fige muß dann 256, 345 oder 346 sein. Eine 6 am Ende forciert eine weitere in die für das kleine Thermo­meter ungün­stigen Felder AB4. Also 345 für das große Thermometer, und der Rest ist tau­send­fach geübte Rou­tine.

[1] Phistomefel: Chaos Construc­tion: Seven. Logic Masters Deutsch­land, 30.12.2021. Einer nennt es nice and easy, ein anderer meint, bis zur ent­schei­den­den Ein­sicht wirke es fast unlös­bar. Ich sehe den Witz darin, die Stan­dard­auf­tei­lung in den Vor­gaben ge­schickt ver­steckt zu haben. Außer­dem soll es hier nur eine gewisse Fort­entwick­lung von Sudoko anrei­ßen, nicht tage­lang beschäf­tigen.
[2] Simon Anthony: Seven: The Sodoku. Cracking The Cryptic, 06.01.2022. Es werden Sudo­kus aller Art ohne Vor­berei­tung gelöst, wenn auch ge­schei­terte Ver­suche unver­öffent­licht blei­ben. Natur­gemäß sind unter die­sen Bedin­gun­gen die Lösungs­wege nicht immer die ele­gan­te­sten, so auch zu diesem, in dem sehr viel Zeit verbraten wird, um zu erkennen, daß es 2x3‑Ge­biete sein müs­sen. Ich fand es aber sehr inter­es­sant, nicht zu­letzt wegen einer Ana­logie zur Mathe­matik: Will man etwas bewei­sen, so gelingt das oft­mals gar nicht oder nur recht mühse­lig und um­ständ­lich. Es kann Jahr­zehn­te oder ewig dauern, bis ein ele­gan­ter Weg gefun­den ist.

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