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Schere-Stein-Papier-Echse-Spock
wuerg, 29.09.2015 18:38
Jeder kennt das Spiel Schere–Stein–Papier, ein Zwei-Personen-Nullsummenspiel, für das es eine optimale Strategie gäbe, wäre es zugleich ein Spiel mit vollständiger Information. [1] Es gibt aber eine optimale erweiterte Strategie, nämlich alle drei Symbole mit gleicher Wahrscheinlichkeit zu wählen. Gewinn, Verlust und Unentschieden sind dann gleichverteilt. In einer langen Reihe solcher Spiele ist mit einem ausgeglichenen Ergebnis zu rechnen. [2] Leider auch dann, wenn der Gegner von dieser optimalen Strategie abweicht. In einem RPS-Turnier [3] garantiert sie ein Ergebnis im Mittelfeld. Gewinnen werden Spieler, die schwächeren Gegnern Punkte abnehmen oder einfach nur mehr riskiert und Glück gehabt haben. [4] Wer sich sich im Gefängnis, bei Promi Big Brother [5] oder unter normalen Umständen regelmäßig diesem Spiel hingibt, sollte nachlesen, welche Symbole häufiger gewählt werden und welche Abhängigkeiten zu den vorangehenden eigenen und fremden Symbolen bestehen. Mit geschultem Auge und reflexartigem Verhalten mag man wie ein Roboter [6] auch das gegnerische Symbol vorzeitig erkennen und das eigene anpassen können.
Um der Trivialität dieses Spieles zu entgehen und die Remis-Wahrscheinlichkeit zu mindern, können fünf Symbole gewählt werden, von denen jedes gegen zwei andere gewinnt. [7] Während bei drei Symbolen A,B,C nur zwei Varianten (A>B>C>A oder C>B>A>C) möglich sind, die von der Struktur her beide gleich sind, gibt es für fünf Symbole 24 Varianten. Doch auch diese sind alle strukturgleich. Die durch die Big-Bang-Theory bekannteste Ausprägung Rock–Paper–Scissors–Lizard–Spock wird durch Sheldon wie folgt erklärt: „It's very simple. Look, scissors cuts paper. Paper covers rock. Rock crushes lizard. Lizard poisons Spock. Spock smashes scissors. Scissors decapitates lizard. Lizard eats paper. Paper disproves Spock. Spock vaporizes rock. And as it always has, rock crushes scissors.“ [8,9] Darauf basieren die meisten Darstellungen aus einem rechts herum durchlaufenen Fünfeck, dem ein links herum durchlaufendes Pentagramm einbeschrieben ist. [1] Es ist aber kein Problem, die Symbole derart zu vertauschen, daß beide Durchläufe in die gleiche Richtung weisen.
Nach 3 und 5 Symbolen liegt eine Erweiterung auf n=2k+1 nahe, die alle gegen k andere gewinnen und gegen die restlichen k verlieren. Für n=7 gibt es drei Strukturen, die sich durch Vertauschung der Symbole nicht ineinander überführen lassen. Insgesamt kann man bereits aus 2640 Möglichkeiten schöpfen, wenn man sich sieben Symbole ausdenkt und möglichst gut begründen will, welches gegen welches gewinnt oder verliert. Die drei grundlegenden Strukturen kann man noch mit der Hand am Arm anschaulich ableiten, für die 2640 Möglichkeiten aber muß man schon etwas Kombinationsgabe aufbringen. In [10] ist die Aufgabe eleganter gelöst. Dort sind auch die Anzahlen für n=9,11,13 genannt, für deren Ermittlung ein schlichtes Programm nicht ausreicht. Inzwischen sind mehr Werte bekannt. [11]
Grundsätzlich ist es leicht, für jedes ungerade n=2k+1 ein solches Spiel zu entwickeln. Dazu nehme man die Zahlen 0 bis n−1 als Symbole und lasse x gegen y gewinnen, wenn y−x modulo n aus einer frei wählbaren Menge von k der Zahlen 1 bis n−1 ist. Das Problem besteht lediglich darin, den Zahlen Objekte zuzuordnen, daß die vorgegebene Schlagstruktur plausibel ist. Die wirkt schon bei Schere–Stein–Papier–Echse–Spock etwas unnatürlich konstruiert. Versionen ab n=7 taugen eigentlich nur noch für Poster oder T‑Shirts. Wer unbedingt eines mit n=25 oder gar n=101 haben möchte, wird es sicherlich ohne meine Hilfe im Internet finden.
[1] Wem es nicht bekannt ist, für den erklärt es die Wikipedia.
[2] Im allgemeinen ist die optimale Strategie in einer langen Reihe von gleichen Spielen auch zwischen stets den gleichen zwei Gegnern nicht die Wiederholung der optimalen erweiterten Strategie des einzelnen Spieles. So könnte es angezeigt sein, bei sich abzeichnendem Verlust eine riskantere Variante zu wählen.
[3] Informationen und Turnierregeln der World RPS Association.
[4] Bei mehr als zwei Teilnehmern existiert im allgemeinen gar keine optimale Strategie.
[5] Dort hat man wohl mit einem Brunnen als zusätzlichem Symbol gespielt. Das Papier deckt den Brunnen ab, Stein und Schere fallen hinein. Diese Variante ist gut, den unerfahrenen Anfänger über den Tisch zu ziehen, der alle vier Symbole für gleichwertig hält. Er verliert im Mittel 1/12 des Einsatzes gegen einen optimalen Spieler, der den Stein ausläßt.
[6] Ishikawa Watanabe Laboratory: Janken (rock-paper-scissors) Robot with 100% winning rate. Youtube.
[7] 4 Symbole scheiden aus, da keine gerechte Verteilung von Gewinn und Verlust möglich ist, sofern man keine Abstriche an der Grundstruktur zu machen bereit ist.
[8] The Lizard-Spock-Expansion. The Big Bang Theory, Staffel 2, Folge 8 der Fernsehserie. Ausschnitt bei Youtube. Das machte Rock–Paper–Scissors–Lizard–Spock und damit auch den Erfinder Sam Kass in einem wenige Nerds übersteigendem Kreis bekannt.
[9] The Rothman Disintegration. The Big Bang Theory, Staffel 5, Folge 17 der Fernsehserie. Vielleicht um Urheber-Querelen zu entgehen, sagt Sheldon: „Rock–Paper–Scissors–Lizard–Spock was created by Internet pioneer Sam Kass as an improvement on the classic game Rock–Paper–Scissors. All hail Sam Kass.“
[10] Herman Chamberland: Rock-Paper-Scissors meets Borromean Rings.
[11] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. Folgen A096368 und A007079.
Um der Trivialität dieses Spieles zu entgehen und die Remis-Wahrscheinlichkeit zu mindern, können fünf Symbole gewählt werden, von denen jedes gegen zwei andere gewinnt. [7] Während bei drei Symbolen A,B,C nur zwei Varianten (A>B>C>A oder C>B>A>C) möglich sind, die von der Struktur her beide gleich sind, gibt es für fünf Symbole 24 Varianten. Doch auch diese sind alle strukturgleich. Die durch die Big-Bang-Theory bekannteste Ausprägung Rock–Paper–Scissors–Lizard–Spock wird durch Sheldon wie folgt erklärt: „It's very simple. Look, scissors cuts paper. Paper covers rock. Rock crushes lizard. Lizard poisons Spock. Spock smashes scissors. Scissors decapitates lizard. Lizard eats paper. Paper disproves Spock. Spock vaporizes rock. And as it always has, rock crushes scissors.“ [8,9] Darauf basieren die meisten Darstellungen aus einem rechts herum durchlaufenen Fünfeck, dem ein links herum durchlaufendes Pentagramm einbeschrieben ist. [1] Es ist aber kein Problem, die Symbole derart zu vertauschen, daß beide Durchläufe in die gleiche Richtung weisen.
Nach 3 und 5 Symbolen liegt eine Erweiterung auf n=2k+1 nahe, die alle gegen k andere gewinnen und gegen die restlichen k verlieren. Für n=7 gibt es drei Strukturen, die sich durch Vertauschung der Symbole nicht ineinander überführen lassen. Insgesamt kann man bereits aus 2640 Möglichkeiten schöpfen, wenn man sich sieben Symbole ausdenkt und möglichst gut begründen will, welches gegen welches gewinnt oder verliert. Die drei grundlegenden Strukturen kann man noch mit der Hand am Arm anschaulich ableiten, für die 2640 Möglichkeiten aber muß man schon etwas Kombinationsgabe aufbringen. In [10] ist die Aufgabe eleganter gelöst. Dort sind auch die Anzahlen für n=9,11,13 genannt, für deren Ermittlung ein schlichtes Programm nicht ausreicht. Inzwischen sind mehr Werte bekannt. [11]
Grundsätzlich ist es leicht, für jedes ungerade n=2k+1 ein solches Spiel zu entwickeln. Dazu nehme man die Zahlen 0 bis n−1 als Symbole und lasse x gegen y gewinnen, wenn y−x modulo n aus einer frei wählbaren Menge von k der Zahlen 1 bis n−1 ist. Das Problem besteht lediglich darin, den Zahlen Objekte zuzuordnen, daß die vorgegebene Schlagstruktur plausibel ist. Die wirkt schon bei Schere–Stein–Papier–Echse–Spock etwas unnatürlich konstruiert. Versionen ab n=7 taugen eigentlich nur noch für Poster oder T‑Shirts. Wer unbedingt eines mit n=25 oder gar n=101 haben möchte, wird es sicherlich ohne meine Hilfe im Internet finden.
[1] Wem es nicht bekannt ist, für den erklärt es die Wikipedia.
[2] Im allgemeinen ist die optimale Strategie in einer langen Reihe von gleichen Spielen auch zwischen stets den gleichen zwei Gegnern nicht die Wiederholung der optimalen erweiterten Strategie des einzelnen Spieles. So könnte es angezeigt sein, bei sich abzeichnendem Verlust eine riskantere Variante zu wählen.
[3] Informationen und Turnierregeln der World RPS Association.
[4] Bei mehr als zwei Teilnehmern existiert im allgemeinen gar keine optimale Strategie.
[5] Dort hat man wohl mit einem Brunnen als zusätzlichem Symbol gespielt. Das Papier deckt den Brunnen ab, Stein und Schere fallen hinein. Diese Variante ist gut, den unerfahrenen Anfänger über den Tisch zu ziehen, der alle vier Symbole für gleichwertig hält. Er verliert im Mittel 1/12 des Einsatzes gegen einen optimalen Spieler, der den Stein ausläßt.
[6] Ishikawa Watanabe Laboratory: Janken (rock-paper-scissors) Robot with 100% winning rate. Youtube.
[7] 4 Symbole scheiden aus, da keine gerechte Verteilung von Gewinn und Verlust möglich ist, sofern man keine Abstriche an der Grundstruktur zu machen bereit ist.
[8] The Lizard-Spock-Expansion. The Big Bang Theory, Staffel 2, Folge 8 der Fernsehserie. Ausschnitt bei Youtube. Das machte Rock–Paper–Scissors–Lizard–Spock und damit auch den Erfinder Sam Kass in einem wenige Nerds übersteigendem Kreis bekannt.
[9] The Rothman Disintegration. The Big Bang Theory, Staffel 5, Folge 17 der Fernsehserie. Vielleicht um Urheber-Querelen zu entgehen, sagt Sheldon: „Rock–Paper–Scissors–Lizard–Spock was created by Internet pioneer Sam Kass as an improvement on the classic game Rock–Paper–Scissors. All hail Sam Kass.“
[10] Herman Chamberland: Rock-Paper-Scissors meets Borromean Rings.
[11] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. Folgen A096368 und A007079.
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