Zahlwort

Wenn einer eine Haus- oder Knobel­aufgabe hat, landet er mitunter über Google bei mir. So lese ich heute die Anfrage „schreibe zwei neuntel auf drei verschiedene weisen als Summe“. Gemeint sind wohl die Lösungen der Gleichung

2   1   1
− = − + −
9   a   b

mit natürlichem a und b. Das ist gleich­bedeutend mit 2ab=9(a+b), weshalb a oder b durch 9 oder a und b durch 3 teilbar sein müssen. Es tritt immer der erste Fall ein, denn mit a=3m und b=3n ergibt sich 2mn=3(m+n), womit m oder n ein Viel­faches von 3, also a oder b durch 9 teilbar sein muß. Falls b=9n, ergibt sich 2an=a+9n und daraus

     9n
a = −−−−
    2n-1

Da 2n-1 und n teilerfremd sind, muß 2n-1 ein Teiler von 9, also 1, 3 oder 9 sein.

2n-1  n    b   a
  1   1    9   9
  3   2   18   6
  9   5   45   5

Damit sind die drei Lösungen

2   1   1   1    1   1    1
− = − + − = − + −− = − + −−
9   9   9   6   18   5   45

ermittelt, denn der verbleibende Fall a=9m ergeben selbstverständlich die gleichen Lösungen mit vertauschten Summanden. Zählt man sie mit, sind es nicht drei, nicht sechs, sondern fünf Darstellungen.

Als Übungsaufgabe verbleibt die Frage, auf wieviele und welche Weisen sich ein Neuntel als Summe zweier Kehr­werte natür­licher Zahlen darstellen läßt.