Zahlwort

Ein Herzensanliegen der Zahlen­mystikern ist, die heraus­ragende Bedeutung unserer üblichen dezimalen Darstel­lung der Zahlen zu belegen, denn sie ist Basis aller numero­logischer Überle­gungen und nur sie erlaubt es, Natur­konstanten als Reali­sierung von Ziffern­folgen unabhängig von der Position des Kommas zu sehen, wehalb sie eigentlich Ziffern­mystiker heißen sollten. Wie aber begründet man von den zehn Fingern abgesehen die dezimale Zahldar­stellung? Ein beliebter Weg führt über die Zahl 81 mit Kehrwert

1/81 = 0,0123456790123456790…

in dem die Folge aller Zahlen vorkommt, wenn man auch Ziffern über 9 zuläßt:

1/81 = 0,0.1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15…

Die fehlende 8 entsteht also durch den Übertrag von der Ziffer 10. Und damit ist für Einfältige schon klar, daß die zwei
mit der Zehn die zweistelligen Zahlen zu beginnen haben. Doch leider ist es in anderen Basen das gleiche. Zum Beispiel für die oktale Darstellung:

1/61 = 0,012345701234570… = 0,0.1.2.3.4.5.6.7.10.11.12…

Es ist also etwas tiefer zu schürfen. Zunächst kommt nach der Basis b=10 und dem die Welt der Zahlen erklärenden Quadrat x=(b−1)²=81 das Komplement y=b²−x​=2b−1=19 zu z=b² ins Spiel. Sodann zaubert man aus der geome­trischen Reihe

z/x = z/(z-y) = 1/(1-y/z) = 1 + y/z + (y/z)² + (y/z)³ + …

so scheinbar verwunderliche Beziehungen wie

100/81 = 1 + 0,19 + 0,19² + 0,19³ + 0,19⁴ + …

Zwar geht das in anderen Basen natürlich auch, doch spätestens mit den in der Natur vorfind­lichen 19 reinen Elementen unter den 81 stabilen scheint der Schöpfer durch diese Zahlen die Basis 10 im Auge gehabt zu haben. Das wird auch weiterhin in

x=1+a(y+1) mit a=b/2−1, dezimal 81=1+4⋅(19+1)

deutlich. Nur für b=10 ergibt sich a=4, die Grund­lage für die Vier­teilung der x=81 stabilen Elemente in y=19 Rein­elemente, y=19 Doppel­isotope, 2y=38 Mehrfach­isotope und a+1=5 Aus­nahmen. Die a=4 normalen Ausnahmen sind die Elemente mit den Ordnungszahlen 4, 2, 6 und 3, die eine Super-​Ausnahme ist das Element Kalium mit der Ordnungs­zahl y=19. Es ist das einzige ungerader Ordnungs­zahl mit mehr als zwei natür­lichen Isotopen. Und nun die Über­raschung:

19 / 81 = 4,263

mit den Ausnahmen 4,2,6,3 als Ziffern. Das geht mit keiner anderen Basis als b=10. Auch abseits der chemischen Elemente, ist die Basis b=10 über die Zahlen x=81 und y=19 mit der Gliederung in a=4 Teile verbunden. Und diese Vier­teilung kommt allent­halben vor. So hätte es in anderen Basen ausgesehen:

in Dezimaldarstellung    Darstell. in Basis b
a   b    x   y   x/y     a   b   x   y   x/y 
1   4    9   7  1,285    1  10  21  13  1,102
2   6   25  11  2,272    2  10  41  15  2,134
3   8   49  15  3,266    3  10  61  17  3,210
4  10   81  19  4,263    4  10  81  19  4,263
5  12  121  23  5,260    5  10  A1  1B  5,316
6  14  169  27  6,259    6  10  C1  1D  6,38B
7  16  225  31  7,258    7  10  E1  1F  7,421
8  18  289  35  8,257    8  10  G1  1H  8,4B5
9  20  361  39  9,256    9  10  I1  1J  9,52B

Gewiß hätte man auch etwas anderes entdecken können. Ganz allgemein sind die Zweier­potenzen b=2ⁿ besonders schöne Fälle, denn wegen

q = x / y = ( 2b − 3 + 1/2b + (1/2b)² + (1/2b)³ + … ) / 4

weist q eine periodische Ziffernfolge aus Zweierpotenzen auf. Für n=3, also =8 ist q=3,210210…, für n=5, also b=32 ist q=F,84210G84210G , worin F für die Ziffer 15 und G für 16 steht. Die Formel macht zudem deutlich, daß unabhängig von der Basis b im Quotienten q immer eine Vierteilung steckt. Für große b ist q nur wenig größer als a+1/4. Damit kann man die Viertelung als bevorzugt ansehen. Und aus a=4 ergibt sich b=10, x=81 und y=19. Die besondere Bedeutung der Basis 10, der Zahlen 4, 19 und 81, sowie der Ziffern­folge 4263 scheint damit begründet.

81 | 19 | 2732 | Isotope