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wuerg, 18.06.2006 17:15
Ein Herzensanliegen der Zahlenmystikern ist, die herausragende Bedeutung unserer üblichen dezimalen Darstellung der Zahlen zu belegen, denn sie ist Basis aller numerologischer Überlegungen und nur sie erlaubt es, Naturkonstanten als Realisierung von Ziffernfolgen unabhängig von der Position des Kommas zu sehen, weshalb sie eigentlich Ziffernmystiker heißen sollten. Wie aber begründet man von den zehn Fingern abgesehen die dezimale Zahldarstellung? Ein beliebter Weg führt über die Zahl 81 mit Kehrwert
1/81 = 0,0123456790123456790…
in dem die Folge aller Zahlen vorkommt, wenn man auch Ziffern über 9 zuläßt:
1/81 = 0,0.1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15…
Die fehlende 8 entsteht also durch den Übertrag von der Ziffer 10. Und damit ist für Einfältige schon klar, daß die zweistelligen Zahlen mt der 10 zu beginnen haben. Doch leider ist es in anderen Basen das gleiche. Zum Beispiel für die oktale Darstellung:
1/61 = 0,012345701234570… = 0,0.1.2.3.4.5.6.7.10.11.12…
Es ist also etwas tiefer zu schürfen. Zunächst kommt nach der Basis b=10 und dem die Welt der Zahlen erklärenden Quadrat x=(b−1)²=81 das Komplement y=b²−x=2b−1=19 zu z=b² ins Spiel. Sodann zaubert man aus der geometrischen Reihe
z/x = z/(z-y) = 1/(1-y/z) = 1 + y/z + (y/z)2 + (y/z)3 + …
so scheinbar verwunderliche Beziehungen wie
100/81 = 1 + 0,19 + 0,192 + 0,193 + 0,194 + …
Zwar geht das in anderen Basen ebenfalls, doch spätestens mit den in der Natur vorfindlichen 19 Reinelementen unter den 81 stabilen scheint der Schöpfer durch diese Zahlen die Basis 10 im Auge gehabt zu haben. Das wird auch in
x=1+a(y+1) mit a=b/2−1, dezimal 81=1+4⋅(19+1)
deutlich. Nur für b=10 ergibt sich a=4, die Grundlage für die Vierteilung der x=81 stabilen Elemente in y=19 Reinelemente, y=19 Doppelisotope, 2y=38 Mehrfachisotope und a+1=5 Ausnahmen. Die a=4 normalen Ausnahmen sind die Elemente mit den Ordnungszahlen 4, 2, 6 und 3, die eine Super-Ausnahme ist das Element Kalium mit der Ordnungszahl y=19. Es ist das einzige ungerader Ordnungszahl mit mehr als zwei natürlichen Isotopen. Und nun die Überraschung:
19 / 81 = 4,263
mit den Ausnahmen 4,2,6,3 als Ziffern. Das geht mit keiner anderen Basis als b=10. Auch abseits der chemischen Elemente, ist die Basis b=10 über die Zahlen x=81 und y=19 mit der Gliederung in a=4 Teile verbunden. Und diese Vierteilung kommt allenthalben vor. So hätte es in anderen Basen ausgesehen:
q = x / y = ( 2b − 3 + 1/2b + (1/2b)2 + (1/2b)3 + … ) / 4
weist q eine periodische Ziffernfolge aus Zweierpotenzen auf. Für n=3, also b=8 ist q=3,210210…, für n=5, also b=32 ist q=F,84210G84210G , worin F für die Ziffer 15 und G für 16 steht. Die Formel macht zudem deutlich, daß unabhängig von der Basis b im Quotienten q immer eine Vierteilung steckt. Für große b ist q nur wenig größer als a+1/4. Damit kann man die Vierteilung als bevorzugt ansehen. Und aus a=4 ergibt sich b=10, x=81 und y=19. Die besondere Bedeutung der Basis 10, der Zahlen 4, 19 und 81, sowie der Ziffernfolge 4263 scheint damit begründet.
81 | 19 | 2732 | Isotope
1/81 = 0,0123456790123456790…
in dem die Folge aller Zahlen vorkommt, wenn man auch Ziffern über 9 zuläßt:
1/81 = 0,0.1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15…
Die fehlende 8 entsteht also durch den Übertrag von der Ziffer 10. Und damit ist für Einfältige schon klar, daß die zweistelligen Zahlen mt der 10 zu beginnen haben. Doch leider ist es in anderen Basen das gleiche. Zum Beispiel für die oktale Darstellung:
1/61 = 0,012345701234570… = 0,0.1.2.3.4.5.6.7.10.11.12…
Es ist also etwas tiefer zu schürfen. Zunächst kommt nach der Basis b=10 und dem die Welt der Zahlen erklärenden Quadrat x=(b−1)²=81 das Komplement y=b²−x=2b−1=19 zu z=b² ins Spiel. Sodann zaubert man aus der geometrischen Reihe
z/x = z/(z-y) = 1/(1-y/z) = 1 + y/z + (y/z)2 + (y/z)3 + …
so scheinbar verwunderliche Beziehungen wie
100/81 = 1 + 0,19 + 0,192 + 0,193 + 0,194 + …
Zwar geht das in anderen Basen ebenfalls, doch spätestens mit den in der Natur vorfindlichen 19 Reinelementen unter den 81 stabilen scheint der Schöpfer durch diese Zahlen die Basis 10 im Auge gehabt zu haben. Das wird auch in
x=1+a(y+1) mit a=b/2−1, dezimal 81=1+4⋅(19+1)
deutlich. Nur für b=10 ergibt sich a=4, die Grundlage für die Vierteilung der x=81 stabilen Elemente in y=19 Reinelemente, y=19 Doppelisotope, 2y=38 Mehrfachisotope und a+1=5 Ausnahmen. Die a=4 normalen Ausnahmen sind die Elemente mit den Ordnungszahlen 4, 2, 6 und 3, die eine Super-Ausnahme ist das Element Kalium mit der Ordnungszahl y=19. Es ist das einzige ungerader Ordnungszahl mit mehr als zwei natürlichen Isotopen. Und nun die Überraschung:
19 / 81 = 4,263
mit den Ausnahmen 4,2,6,3 als Ziffern. Das geht mit keiner anderen Basis als b=10. Auch abseits der chemischen Elemente, ist die Basis b=10 über die Zahlen x=81 und y=19 mit der Gliederung in a=4 Teile verbunden. Und diese Vierteilung kommt allenthalben vor. So hätte es in anderen Basen ausgesehen:
in Dezimaldarstellung Darstell. in Basis b a b x y x/y a b x y x/y 1 4 9 7 1,285 1 10 21 13 1,102 2 6 25 11 2,272 2 10 41 15 2,134 3 8 49 15 3,266 3 10 61 17 3,210 4 10 81 19 4,263 4 10 81 19 4,263 5 12 121 23 5,260 5 10 A1 1B 5,316 6 14 169 27 6,259 6 10 C1 1D 6,38B 7 16 225 31 7,258 7 10 E1 1F 7,421 8 18 289 35 8,257 8 10 G1 1H 8,4B5 9 20 361 39 9,256 9 10 I1 1J 9,52BGewiß hätte man auch etwas anderes entdecken können. Ganz allgemein sind die Zweierpotenzen b=2ⁿ besonders schöne Fälle, denn wegen
q = x / y = ( 2b − 3 + 1/2b + (1/2b)2 + (1/2b)3 + … ) / 4
weist q eine periodische Ziffernfolge aus Zweierpotenzen auf. Für n=3, also b=8 ist q=3,210210…, für n=5, also b=32 ist q=F,84210G84210G , worin F für die Ziffer 15 und G für 16 steht. Die Formel macht zudem deutlich, daß unabhängig von der Basis b im Quotienten q immer eine Vierteilung steckt. Für große b ist q nur wenig größer als a+1/4. Damit kann man die Vierteilung als bevorzugt ansehen. Und aus a=4 ergibt sich b=10, x=81 und y=19. Die besondere Bedeutung der Basis 10, der Zahlen 4, 19 und 81, sowie der Ziffernfolge 4263 scheint damit begründet.
81 | 19 | 2732 | Isotope
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