Zahlwort

Meine Einlassungen zur Zahl 73 samt ihren Bezie­hungen zur 37 begin­nen mit

  A B
+ A B
-   1
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  B A
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als einer leicht zu lösen­den Aufgabe. Aus der Zehner­stelle folgt B>A, weshalb die Addi­tion einen Über­trag haben muß. Damit ist A=B−11 für die Einer­stelle und B=2A+1 für die Zehner­stelle. Die einzige Lösung ist A=3 und B=7. Wie aber sieht es mit einer größe­ren Auf­gabe wie

  A B C D E F G H
+ A B C D E F G H
-               1
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  H G F E D C B A

aus? Erneut folgt aus der vorder­sten Stelle H>A, weshalb wiederum aus der Einerstelle ein Übertrag entstehen muß und A=2H−9 gilt. Nur weiß man nun nicht sofort, ob auch ein Über­trag in die vor­derste Stelle erfolgt. Deshalb sind die beiden Fälle H=2A und H=2A+1 zu unter­schei­den. Glück­licher­weise hat nur der letztere Fall mit dem Über­trag eine Lösung, daß wieder A=3 und H=7 sein muß. Damit können wir uns zur Mitte hin vorar­beiten: Für für die zweite Stelle gilt 2B=G+10 oder 2B+1=G+10, für die zweit­letzte 2G+1=B oder 2G+1=B+10. Nur die beiden rech­ten Mög­lich­keiten, die einen Über­trag durch­reichen, liefern eine Lösung B=G=9. Mit der gleichen Argu­menta­tion folgt C=F=9 und schließlich D=E=9. Auch bei unge­rader Stel­len­zahl gibt es keine Pro­bleme. Damit sind die einzigen Lösun­gen für y=2x−1 mit gespie­gelten Zahlen x und y zu n Zif­fern:

x = 4 ⋅ 10n−1 − 3 = 4 ⋅ (10n−1−1) + 1 = 36⋅(10n−1−1)/9 + 1
  = 4 ⋅ 10..0 − 3 = 4 ⋅ 999..999  + 1 = 36 ⋅ 111..111  + 1
  = 3999...9997   = 3999...9996   + 1 =  6 ⋅ 666..666  + 1

y = 8 ⋅ 10n−1 − 7 = 8 ⋅ (10n−1−1) + 1 = 72⋅(10n−1−1)/9 + 1
  = 8 ⋅ 10..0 − 7 = 8 ⋅ 999..999  + 1 = 72 ⋅ 111..111  + 1
  = 7999...9993   = 7999...9992   + 1 = 12 ⋅ 666..666  + 1

Abermals ist über 7993=12⋅666+1 die Zahl 666 im Geschäft. Das sind alles nette Ziffern­spiele­reien, die nur von Wert sein können, wenn weitere schöne Eigen­schaf­ten hinzu­treten. Man kann sie zur Ver­wunde­rung arg­loser Menschen miß­brauchen. So folgt allein aus y=2x−1 bereits, daß x⋅y die x‑te Sechs­eck­zahl und die y‑te Drei­ecks­zahl ist. Im zwei­stel­ligen Falle (x=37 und y=73) ergibt sich H₃₇=D₇₃=37⋅73=2701, die Summe der ersten sieben Wörter der Bibel, wenn den hebrä­ischen Buch­staben die übli­chen Zahlen zuge­ordnet werden.

Und so man schon bei den Poly­gonal­zahlen ist, können die fol­gen­den denk­würdi­gen Bezie­hun­gen auf­fallen:

x = 37 = 36 + 1 =  6⋅6 + 1 =  6⋅D(3) + 1 = h(4)
y = 73 = 72 + 1 = 12⋅6 + 1 = 12⋅D(3) + 1 = z(4) 

x = 397 =  6⋅66 + 1 =  6⋅(12⋅11)/2 + 1 =  6⋅D(11) + 1 = h(11)
y = 793 = 12⋅66 + 1 = 12⋅(12⋅11)/2 + 1 = 12⋅D(11) + 1 = z(11)

x = 3997 =  6⋅666 + 1 =  6⋅(36⋅37)/2 + 1 =  6⋅D(36) + 1 = h(36)
y = 7993 = 12⋅666 + 1 = 12⋅(36⋅37)/2 + 1 = 12⋅D(36) + 1 = z(36)

Darin ist h(k) die k‑te zentrierte Sechs­eckzahl und z(k) die k‑te zen­trierte Zwölf­eck­zahl, die zugleich k‑te Stern­zahl sechs­zacki­ger Sterne ist. Zu Ehren von Mit­blogger y=mark793 (x=397kram) stelle ich den dreistelligen Fall bild­lich dar:

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Stern mit 793 Punkten um ein Sechseck mit 397 und darin rot ein Stern mit 73 Punkten um ein Sechseck mit 37 (png) [1]

Dieser Stern (n=3) besteht aus ins­gesamt 793 Punk­ten. Abzüglich seiner sechs Zacken zu je 66 ver­bleibt innen ein Sechs­eck aus 397 Punk­ten. In dieses Sechs­eck hinein habe ich einen klei­neren roten Stern (n=2) gezeich­net. Er hat 73 Punkte. Abzüg­lich seiner sechs Zacken zu je 6 Punk­ten ver­bleibt innen gleich­falls ein Sechseck der Größe 37.

Was abseits der Bildchen bleibt, ist die Frage, ob die Zahlen x=3999…9997 und y=7999…9993 für mehr als 4 Stellen eben­falls Sechs­ecke und Sterne bilden. Für n=5 trifft das nicht zu, denn D₁₁₄=6555<6666<6670=D₁₁₅. Da Robert Israel [2] sich die Mühe machte, die klein­sten Drei­ecks­zahlen mit bis zu 500 Sechsen am Ende zu berechnen, ist wohl abseits von 6, 66 und 666 noch keine aus lauter Sech­sen gefun­den oder gar bewie­sen worden, daß es keine mehr gibt.

[1] Mark793: Ich seh Sterne und denk an Sechs­sechs­sechs. Darin eine alte Version meines Sternes, der mir aller­dings zu breit geriet und nunmehr auch bunt und mit runden Kullern schöner aussieht.

[2] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. A227220, A036523, A119091.

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