Zahlwort

Die Zahl 73 ist nicht einfach die größere, unbedeu­tendere Schwester der 37, denn die Bezie­hungen zwischen beiden scheinen viel­fältiger als zwischen 31 und 13 oder gar 52 und 25, denn es kommen zwei Eigenschaften zusammen: Die Zahl m=73 entsteht aus der n=37 zum einen durch Ziffern­vertau­schung, zum anderen ist m=2n−1. Unter den zwei­stelligen Zahlen ist das einzig­artig. Wer Zahlen­rätsel mag, der wird

  a b
+ a b
-   1
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  b a
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sofort lösen. Aus der Zehner­stelle folgt b>a, weshalb die Addition einen Übertrag haben muß. Damit ist

2b = 11 + a  für die Einerstelle
2a + 1 = b  für die Zehnerstelle

mit der einzigen Lösung a=3 und b=7.

Schnell findet man nette Beziehungen zwischen 73 und 37:

73 + 37 = 11⋅(7+3)
73 - 37 =  9⋅(7-3)

    99⋅3+73 = 370          99⋅7+37 = 730
   99⋅73+73 = 7300        99⋅37+37 = 3700
  99⋅373+73 = 37000      99⋅737+37 = 73000
 99⋅7373+73 = 730000    99⋅3737+37 = 370000
99⋅37373+73 = 3700000  99⋅73737+37 = 7300000

Doch das ist Augenwischerei, denn es gilt auch für jede andere Kombination von zwei Ziffern anstelle von 3 und 7.

Ebenso verhält es sich mit der Eigen­schaft, daß die 73. Drei­ecks­zahl gleich der 37. Sechs­eck­zahl ist

D₇₃ = H₃₇ = 73⋅37 = 2701

denn leider gilt auch dies für alle Zahlen m und n mit m=2n−1.

Und wenn wir schon bei Polygonal­zahlen sind, dann fällt auf, daß 37 und 73 sich beide als Stern darstellen lassen.

                          o
                         o o
      o                 o o o
     o o         o o o o o o o o o o
o o o o o o o     o o o o o o o o o
 o o o o o o       o o o o o o o o
  o o o o o         o o o o o o o
 o o o o o o       o o o o o o o o
o o o o o o o     o o o o o o o o o
     o o         o o o o o o o o o o
      o                 o o o
        37               o o   73
                          o

Gewiß können andere zweistellige Zahlen nicht als solche Sterne darge­stellt werden, aber für jede dritte Zahl n=3k+1 mit zuge­hörigem m=2n−1=6k+1 ist n die dritte und m die vierte zen­trierte k‑Eckzahl. Für n=37 ergibt sich k=12. Also ist 37 die dritte und 73 die vierte zen­trierte Zwölf­eckzahl. Daher also die Beziehung zu den Sternen, denn Stern­zahlen sind zen­trierte Zwölfeck­zahlen.

Nimmt man fünfzackige arabische statt sechs­zackiger jüdi­scher Sterne, so sieht das mit den Punkten zwar nicht mehr so schön aus, es sind aber trotzdem Zehneck­zahlen (k=10). Die dritte Zehn­eckzahl ist 3k+1=31, die vierte 6k+1=61 und natürlich gilt 61=2⋅31−1. Sehr schön zu zeichnen sind die zen­trierten Sechseck­zahlen (k=6). Die dritte ist 3k+1=19, die vierte 6k+1=37. Und natür­lich 37=2⋅19−1. Da ist sie schon wieder, die 37.

                o o o o  
  o o o        o o o o o
 o o o o      o o o o o o
o o o o o    o o o o o o o
 o o o o      o o o o o o
  o o o        o o o o o
        19      o o o o  37

In Falle k=4 erhält man die gleichfalls schön darstellbaren zen­trierten Quadrat­zahlen. Die dritte ist 3k+1=13=2²+3², die vierte 6k+1=25=3²+4² wieder mit 25=2⋅13−1. Langer Rede kurzer Sinn: Bis hierher beruht die Einzig­artig­keit des Paares aus 73 und 37 nur aus dem Zusammen­treffen von einfachen Eigen­schaften. In anderen Zahl­paaren treffen eben andere zusammen. Man muß sie nur suchen. Doch diese Suche gestaltet sich bei 73 und 37 irgendwie erfolg­reicher, auch wenn die außer­ordent­lichen Eigen­schaften beiseite gelassen werden, die 37 für sich allein aufweist.

Zunächst fällt auf, daß sowohl 37 als auch 73 Prim­zahlen sind. Eine Primzahl, die umge­dreht eben­falls eine ist, nennt man Mirpzahl. Zwar gibt es mit 13 und 31 kleinere, doch 37 ist die 12. und 73 die 21. Prim­zahl. Und 21 ist nicht nur 3⋅7, sondern auch 12 ziffern­vertauscht. Das ist ein Zufall, der 37 und 73 zu besonders schönen Prim­zahlen macht.

Die Zahlen 19, 37 und 73 bilden eine Primzahl­kette aus der Folge

10, 19, 37, 73, 145, 289, 577, 1153, 2305, …

mit dem einfachen Bildungs­gesetz „verdoppeln und eins abziehen“. Es handelt sich um die Zahlen aₖ=9⋅2ᵏ+1, was sie für Numero­logie anfällig macht, denn ihre iterierten Quersummen lauten alle­samt 1. Sie sind alle Zahlen von der Form 2ⁱ⋅3ʲ+1, den Pier­pont-​Zahlen. Die primen unter ihnen heißen Pier­pont-​Prim­zahlen:

2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 37, 73, 97, 109, 163, …

Sie bestimmen die Konstruierbarkeit von n‑Ecken, wenn man neben Zirkel und Lineal ein Gerät zu Drei­teilung des Winkels ver­wenden darf. Ein n‑Eck ist genau dann konstru­ierbar, wenn

n = 2ⁱ ⋅ 3^j ⋅ p₁ ⋅ p₂ ⋅ p₃ ⋅ …

worin p₁, p₂, p₃, … allesamt verschiedene Pierpont-​Primzahlen sein müssen. Damit sind das das 19‑Eck, das 37‑Eck und das 73‑Eck konstru­ierbar.

Auch unter den Fibonacci-​Zahlen findet man 19, 37 und 73, denn es gilt

19 teilt F₁₈ = 2584 = 19⋅136
37 teilt F₁₉ = 4181 = 37⋅113
19 teilt F₃₆ = 14930352 = 19⋅785808
73 teilt F₃₇ = 24157817 = 73⋅330929
37 teilt F₃₈ = 39088169 = 37⋅1056437
19 teilt F₇₂ = 498454011879264 = 19⋅26234421677856
73 teilt F₇₄ = 1304969544928657 = 73⋅17876295136009

was allerdings zum größten Teil der Tatsache geschuldet ist, daß alle Prim­zahlen p entweder Fₚ₋₁ oder Fₚ₊₁ teilen.

Und schließlich kommt die Abfolge 19–37–73 noch an einer ganz anderen Stelle vor, nämlich unter den Waring-​Zah­len g(n), der benö­tigten Summanden, um jede natür­liche Zahl aus n‑ten Potenzen zu addieren. Es wird
g(n) = 2ⁿ + ⌊(3/2)ⁿ⌋ − 2

vermutet, was weit über die nach­stehenden Fälle hinaus bestätigt ist:

g(2) = 2² + ⌊(3/2)²⌋ − 2 = 4 + ⌊2,25⌋ − 2 = 4
g(3) = 2³ + ⌊(3/2)³⌋ − 2 = 8 + ⌊3,375⌋ − 2 = 9
g(4) = 2⁴ + ⌊(3/2)⁴⌋ − 2 = 16 + ⌊5,06…⌋ − 2 = 19
g(5) = 2⁵ + ⌊(3/2)⁵⌋ − 2 = 32 + ⌊7,59…⌋ − 2 = 37
g(6) = 2⁶ + ⌊(3/2)⁶⌋ − 2 = 64 + ⌊11,39…⌋ − 2 = 73

Es werden also bis zu 37 fünfte und 73 sechste Potenzen benötigt, um daraus jede Zahl zu addieren.

Das aber alles würde weitgehend als mathe­matische Zahlen­spie­lerei abgetan, wenn die beiden aus den heiligen Zahlen 3 und 7 zusammen­gefügten Zahlen 37 und 73 nicht auch biblische Zusammen­hänge aufwiesen. An vorder­ster Stelle steht die die Summe

D₇₃ = H₃₇ = 73⋅37 = 2701 = 913+203+86+401+395+407+296

der ersten sieben Bibelwörter, wenn den hebrä­ischen Buch­staben die üblichen Zahl­werte zuge­ordnet werden. Ich kann es nicht nachprüfen. Es wird hoffentlich stimmen. Die beiden letzten Wörter addieren sich auf 703=19⋅37=D₃₇, der Rest ist dreimal 666=18⋅37=D₃₆.

Doch dabei bleibt es nicht. Mit den Kubikzahlen 27 und 64 sowie Sechsecken und Sternen mit 13, 19, 37 und 73 Punkten steht ein weites Feld von Zahlen gemäß

27⋅37=999, 27+73=100, 27+37=64, 73−37=36, 36+64=100

bereit, um Beziehungen zu Jesus=888=24⋅37, Christus=1480=40⋅37, Gott und die Welt=296=8⋅37 zu schaffen. Auch wenn vieles konstruiert wirkt und auf den zweiten Blick nicht sehr überrascht, so ist das Gesamtgebäude doch beeindruckend.

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