Zahlwort

Meine Einlassungen zur Zahl 73 samt ihren Beziehungen zur 37 beginnen mit

  A B
+ A B
-   1
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  B A
=====

als einer leicht zu lösenden Aufgabe. Aus der Zehnerstelle folgt B>A, weshalb die Addition einen Übertrag haben muß. Damit ist

A = 2B - 11  für die Einerstelle
B = 2A + 1  für die Zehnerstelle

Die einzige Lösung ist A=3 und B=7. Wie aber sieht es mit einer größeren Aufgabe wie

  A B C D E F G H
+ A B C D E F G H
-               1
-----------------
  H G F E D C B A

aus? Erneut folgt aus der vordersten Stelle H>A, weshalb wiederum aus der Einerstelle ein Übertrag entstehen muß und A=2H-9 gilt. Nur weiß man nun nicht sofort, ob auch ein Übertrag in die vorderste Stelle erfolgt. Deshalb sind die beiden Fälle H=2A und H=2A+1 zu unterscheiden. Glücklicherweise hat nur der letzte Fall mit dem Übertrag eine Lösung, daß wieder A=3 und H=7 sein muß. Damit können wir uns zur Mitte hin vorarbeiten:

für die zweite Stelle von rechts: 2G+1=B oder 2G+1=B+10
für die zweite Stelle von links: 2B=G+10 oder 2B+1=G+10

Nur die beiden rechten Möglichkeiten, die einen Übertrag durchreichen, liefern eine Lösung B=G=9. Mit der gleichen Argumentation folgt C=F=9. Auch für die beiden mittleren Stellen ist die Lösung D=E=9 möglich. Und es gibt auch keine Probleme bei ungerader Stellenzahl. Damit sind die einzigen Lösungen für y=2x-1 mit gespiegelten Zahlen x und y:

x=3999....9997  und  y=7999...9993

Weil für einstellige Zahlen x=y=1 sein muß, ist die einzige Lösung für eine beliebige n-stellige Zahl

x=4*10n-1-3=4*(10n-1-1)+1=36*((10n-1-1)/9)+1
 =4*10..0-3=4*999..999+1=36*11111..11111+1

y=8*10n-1-7=8*(10n-1-1)+1=72*((10n-1-1)/9)+1
 =8*10..0-3=8*999..999+1=72*11111..11111+1

was für die ersten Fälle wie folgt aussieht:

n         x                  y
----------------------------------------
1        1=1+36*0           1=1+72*0
2       37=1+36*1          73=1+72*1
3      397=1+36*11        793=1+72*11
4     3997=1+36*111      7993=1+72*111
5    39997=1+36*1111    79993=1+72*1111
6   399997=1+36*11111  799993=1+72*11111

Das macht deutlich, wie sich wieder die Zahl 666 ins Spiel bringen läßt. Zum Beispiel über 3997=1+36*111=6*666+1 oder 397=6*66+1, wie so oft ohne eigene Bedeutung einfach über die Zahl 111.

Das sind alles nette Ziffernspielereien, die nur von Wert sein können, wenn weitere schöne Eigenschaften hinzutreten. Man kann sie zur Verwunderung argloser Menschen mißbrauchen. Das ist nicht mein Anliegen. Im Gegenteil möchte ich zeigen, aus welchen schon getroffenen Festlegungen weitere Eigenschaften abgeleitet werden können. Allein aus y=2x-1 folgt sofort

S(x) = x*y = D(y)

worin D(k)=k(k+1)/2 die k-te Dreieckszahl und S(k)=k(2k-1) die k-te Sechseckzahl ist. Im zweistelligen Falle (n=2, x=37 und y=73) ergibt sich mit

S(37) = D(73) = 37 * 73 = 2701

die Summe der ersten sieben Wörter der Bibel, wenn den hebräischen Buchstaben die üblichen Zahlen zugeordnet werden.

Und so man schon einmal bei den Dreiecks-, Sechseck- und anderen Polygonalzahlen ist, können die folgenden denkwürdigen Beziehungen auffallen

n=1: x=1=s(1)
     y=1=z(1)

n=2: x=37=36+1= 6*6+1= 6*D(3)+1=s(4)
     y=73=72+1=12*6+1=12*D(3)+1=z(4) 

n=3: x=397=36*11+1= 6*(12*11)/2+1= 6*D(11)+1=s(12)
     y=793=72*11+1=12*(12*11)/2+1=12*D(11)+1=z(12)

n=4: x=3997=36*111+1= 6*(36*37)/2+1= 6*D(36)+1=s(37)
     x=7993=72*111+1=12*(36*37)/2+1=12*D(36)+1=z(37)

worin s(k) für die k-te zentrierte Sechseckzahl und z(k) für die k-te zentrierte Zwölfeckzahl steht. Letztere ist zugleich die k-te Sternzahl für sechszackige Sterne. Zu Ehren von Mitblogger y=mark793 (x=397kram) stelle ich den Fall n=3 dar, auch wenn das Bild in werbebeladenen Fenstern vielleicht rechts abgeschnitten wird:

                                 o
                                o o
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                            o o o o o o
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                         o o o o o o o o o
                        o o o o o o o o o o
                       o o o o o o o o o o o
o o o o o o o o o o o x x x x x x x x x x x x o o o o o o o o o o o
 o o o o o o o o o o x x x x x x x x x x x x x o o o o o o o o o o
  o o o o o o o o o x x x x x x x x x x x x x x o o o o o o o o o
   o o o o o o o o x x x x x x x x x x x x x x x o o o o o o o o
    o o o o o o o x x x x x x x x x x x x x x x x o o o o o o o
     o o o o o o x x x x x x x x o x x x x x x x x o o o o o o
      o o o o o x x x x x x x x o o x x x x x x x x o o o o o
       o o o o x x x x x x x x o o o x x x x x x x x o o o o
        o o o x x x x x o o o x x x x o o o x x x x x o o o
         o o x x x x x x o o x x x x x o o x x x x x x o o
          o x x x x x x x o x x x x x x o x x x x x x x o
           x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
          o x x x x x x x o x x x x x x o x x x x x x x o
         o o x x x x x x o o x x x x x o o x x x x x x o o
        o o o x x x x x o o o x x x x o o o x x x x x o o o
       o o o o x x x x x x x x o o o x x x x x x x x o o o o
      o o o o o x x x x x x x x o o x x x x x x x x o o o o o
     o o o o o o x x x x x x x x o x x x x x x x x o o o o o o
    o o o o o o o x x x x x x x x x x x x x x x x o o o o o o o
   o o o o o o o o x x x x x x x x x x x x x x x o o o o o o o o
  o o o o o o o o o x x x x x x x x x x x x x x o o o o o o o o o
 o o o o o o o o o o x x x x x x x x x x x x x o o o o o o o o o o
o o o o o o o o o o o x x x x x x x x x x x x o o o o o o o o o o o
                       o o o o o o o o o o o
                        o o o o o o o o o o
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                          o o o o o o o o
                           o o o o o o o
                            o o o o o o
                             o o o o o
                              o o o o
                               o o o
                                o o
                                 o

Dieser Stern (n=3) besteht aus insgesamt 793 Punkten. Abzüglich seiner sechs Zacken zu je 66 Punkten verbleibt innen ein Sechseck aus 397 Punkten. In dieses Sechseck hinein habe ich einen kleineren Stern (n=2) gezeichnet. Er hat 73 Punkte. Abzüglich seiner sechs Zacken zu je 6 Punkten verbleibt innen wieder ein Sechseck aus 37 Kreuzen.

Was abseits der Bildchen bleibt, ist die Frage, ob die Zahlen x=3999...9997 und y=7999...9993 für mehr als 5 Stellen sich auch als Sechsecke und Sterne darstellen lassen. Dazu betrachtet man einfach die Gleichung

4*(10n-1-1) = x-1 = 6*D(m) = s(m+1)-1 = 3m(m+1)

die auf eine einfache quadratische Gleichung führt. Die Lösung

m = ( sqrt(48*10n-1-39) - 3 ) / 6

liefert für die ersten n die folgenden Werte:

n=1: m=(sqrt(48-39)-3)/6=(sqrt(9)-3)/6
      =(3-3)/6=0/6=0
n=2: m=(sqrt(480-39)-3)/6=(sqrt(441)-3)/6
      =(21-3)/6=18/6=3
n=3: m=(sqrt(4800-39)-3)/6=(sqrt(4761)-3)/6
      =(69-3)/6=66/6=11
n=4: m=(sqrt(48000-39)-3)/6=(sqrt(47961)-3)/6
      =(219-3)/6=216/6=36
n=5: m=(sqrt(480000-39)-3)/6=(sqrt(479961)-3)/6
      =(692,792-3)/6=689,792/6=114,965

Daß es nicht ewig so weitergehen kann, war auch ohne Rechnung klar. Desto bemerkenswerter ist die Darstellbarkeit mit Sechsecken und Sternen in den Fällen n=1,2,3,4, in deren Berechnung auch wieder die üblichen Verdächtigen 6, 66, 216, 18 und 36 vorkommen. Das muß aber keine 666-Angst auslösen, denn wo man Dreieckszahlen, Ziffernwiederholungen und Sechsen reinsteckt, da kommen sie auch wieder raus.

37 | 73 | Mark793

meine Kinnlade einige Stockwerke nach unten klappen zu lassen. Wow. Den Punkt mit der Sechseck- oder Sternzahl hatten Sie ja schon im Zusammenhang mit den Querverbindungen von 37 und 793 angesprochen. Aber jetzt, wo ich dieses wunderbar wohlproportionierte Ascii-Artefakt sehe, habe ich wirklich Sternchen vor Augen. Vielleicht finde ich eine versierte Strickbloggerin, die mir dieses schöne Muster in einen Norwegerpulli strickt. Oder ein schönes Häkeldeckchen für die Heckablage.

Nebenbei bemerkt: Daß es nicht ewig so weitergehen kann, war mir ohne Rechnung nicht so klar. Ich habe zu danken für diesen erhellenden Beitrag.

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36 + 26 = 729 + 64 = 793

Man kann sie zur Verwunderung argloser Menschen mißbrauchen.

Ich als argloser Mensch bin wieder einmal schwer beeindruckt. Im nächsten Leben studiere ich doch Mathematik, wie es mein Vater gerne gewollt hätte. Da steckt Magie drin.

cos(666)   =  0,58778525229247312916870595463907
sin(6*6*6) = -0,58778525229247312916870595463907
sin(6*6)   =  0,58778525229247312916870595463907

10/81 = 0,12345679012345679012345679012346

10/89=0,11235955056179775280898876404494
     =0,1
     +0,01
     +0,002
     +0,0003
     +0,00005
     +0,000008
     +0,0000013
     +0,00000021
     +0,000000034
     +...........

1/37=0,027027027027027027027027027027027
1/27=0,037037037037037037037037037037037

114/85=1,3411764705882352941176470588235

wtf...?

ich bin mehr als begeisert und eingeschüchtert. nicht schlecht. ich liebe mathematische spielchen, auch wenn ich selbst dafür keinerlei ader aufweise.

liebe grüße
~bonds

Ich habe es bisher weitgehend vermieden, eine Zahlbesonderheit darin zu sehen, daß sie mit einem Ereignis des zugehrigen gregorianischen Jahres in Beziehung gebracht werden kann. Nun aber muß ich mit Schrecken lesen (story 2666387), daß der erste dokumentierte Überfall der Wikinger auf Britannien am Samstag, den 8. Juni 793 stattfand, das ist der 23. Safar 177.

Wegen 7999...9993=2x3999...9997-1 hatte bereits zum Spaß 397kram als Umkehrung zu mark793 erwähnt. Das hätte die bösen Wikingern des Jahres 793 in den 397 gestorbenen St. Martin gewandelt, der am heutigen Tage wieder zu allerlei Umzügen führt.