Zahlwort

Da 39 und 38 sich als nicht völlig uninteressant erwiesen haben und die Zahlen 37 und 36 von herausragender Bedeutung sind, wäre 35 ein Kandidat für die kleinste uninteressante Zahl. Das aber kann nicht sein. Für mich war 35 immer die zweistellige Beispielzahl, so wie es 4711 im vierstelligen Bereich ist. Hinter der 35 wird meine Vorstellung vom Zahlraum dunkler, bis 35 muß ich nicht rechnen. Und so habe ich die 35 zu meiner Lieblingszahl gemacht, ohne darüber nachzudenken, mit welchen objektiven Eigenschaften sie die anderen überragen könnte.

Eine schöne und wider Erwarten kaum ausgeschlachtete Eigenschaft ist 35=5*7. Einmal wegen der heiligen 7 und zum zweiten wegen der beiden Primfaktoren. Damit ist 35 das kleinste Produkt von Primzahlzwillingen, denn 6=2*3 und 15=3*5 zählen nicht mit. Es kommen nur Zahlen n=(6k-1)(6k+1)=(6k)^2-1 infrage. Nach 35=5*7 sind es 143=11*13, 323=17*19 und 899=29*31.

Würden wir nicht zur Basis 10 rechnen und nicht an der Endziffer 5 sofort die Teilbarkeit durch 5 erkennen, könnte 35 als die kleinste Zahl durchgehen, die zusammengesetzt ist, dennoch aber wie eine Primzahl aussieht. Wie alle zusammengesetzten Zahlen der Form n=(2k)^2-1 ist 35 (k=3) tatsächlich eine solche Pseudoprimzahl in einem mathematisch präzisierten Sinne.

Zu jeder Zahl lohnt sich ein Blick in die Liste der figurierten Zahlen. Nicht bei jeder wird man fündig, bei 35 jedoch mehrfach. Zunächst ist 35 die 5. Fünfeckzahl F(5)=Q(5)+D(4)=25+10=35

    5
   4 5
  3 4 5
 2 3 4 5
1 2 3 4 5                                                 1
2 2 3 4 5                                    1           2 2
3 3 3 4 5                         1         2 2         3 3 3
4 4 4 4 5               1        2 2       3 3 3       4 4 4 4
5 5 5 5 5        1  +  2 2  +   3 3 3  +  4 4 4 4  +  5 5 5 5 5

die ich hier in Form eines Hauses dargestellt habe. Sie ist auch die 5. Tetraederzahl, also die Zahl der Punkte in einem Tetraeder mit fünf Punkten auf jeder Kante. Da man den Tetraeder aus Dreiecken aufschichten kann, ist das die Summe der ersten 5 Dreieckszahlen

T(5) = D(1)+D(2)+D(3)+D(4)+D(5) = 1+3+6+10+15 = 35

Doch damit nicht genug. Die Zahl 35 ist nicht nur Summe zweier Kubikzahlen 8 und 27, sie folgen auch noch aufeinander. Damit ist 35 die dritte zentrierte Kubikzahl. Die dritte normale Kubikzahl 27=3^3 kann als Würfel mit drei Punkten auf jeder Kante der Länge 2 vorgestellt werden. Bringt man in der Mitte der 8=2^3 enthaltenen Einheitswürfeln mit Kantenlänge 1 einen weiteren Punkt unter, so erhält man die Darstellung der dritten zentrierten Kubikzahl 3^3+2^3=27+8=35.

Es gibt genau 35 Hexominos, also 35 Möglichkeiten, sechs Quadrate aneinanderzufügen, wobei Muster nur einmal gezählt werden, wenn sie durch Umdrehen auseinander hervorgehen.

                 O         O   O     O
         O O  OOOO  OOO   OO  OOO   OOO
OOOOOO  OOOO     O  OOO  OOO    OO  O O

Das sind nur sieben davon. Alle zu finden, ist eine schöne Knobelaufgabe.

Wie bereits erwähnt ist 35 die 5. Fünfeckzahl und kann somit wie folgt dargestellt werden:

F5=F4+13=22+13=1+4+7+10+13=35

        1
      2   2
    3  2 2  3
  4  3     3  4
5  4  3 3 3  4  5
 5  4       4  5
  5  4 4 4 4  5
   5         5
    5 5 5 5 5

F5=Q5+D4=52+10=25+10=35

    o
   o o
  o o o
 o o o o
x x x x x
x x x x x
x x x x x
x x x x x
x x x x x

F5=D5+2D4=15+2*10=15+20=35

    x x x x x
   o x x x x o 
  o o x x x o o
 o o o x x o o o
o o o o x o o o o

F5=S5-D4=D9-D4=45-10=35

        x
       x x
      x x x
     x x x x
    o o o o o
   o o o o o o
  o o o o o o o
 o o o o o o o o
o o o o o o o o o