Zahlwort

Durch CSI:Miami kam ich auf die Zahl 420, über diese zu ihrem Drei­fachen 1260 aus der Offen­barung des Johannes, Kapi­tel 11, Vers 3 und unter Verdop­pelung auf 2520, die Anzahl der Tage in einer Daniel­woche von 7 Jahren. Diese Zahl ist durch 1 bis 10 teilbar und nicht nur in dieser Bezie­hung die kleinste. Auch unter den EPORN (Equal Product Of Rever­sible Numbers) ist 2520 nicht zu unter­bieten. Diese EPORN sind Zahlen, die sich auf mehr­fache Weise als Produkt einer Zahl mit ihrem Spiegel­bild schreiben lassen. Es ist

2520 = 210 ⋅ 012 = 120 ⋅ 021

was den mehr als flüch­tigen Beob­achter nicht vom Sockel hauen sollte, denn beide Produkte sind eigentlich nur Umstel­lungen der wenig origi­nellen Ziffern 0, 1 und 2. Wer von einer EPORN mehr erwartet als immer das gleiche in anderer Reihenfolge, muß sich Mühe geben und eine Weile suchen. Dann findet er auch eine ohne 0 am Ende, nämlich

63504 = 441 ⋅ 144 = 252 ⋅ 252

die sogar eine Quadratzahl ist.

[1] Shyam Sunder Gupta: EPORNS.
[2] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. A066531.

Fragen Sie mich lieber nicht, womit ich gerechnet habe, als ich auf der blogger.de-Startseite auf EPORN+++ klickte. Jedenfalls nicht Zahlwort. Die Überraschung ist Ihnen gelungen... ;-)))

Nachtrag: Nachdem sich hier nun auch ein Blog namens "A*schlecken" tummelt, muss man ja auf alles gefasst sein.

Es ist nun an der Zeit, meinen neuen Titel wieder etwas nach oben zu bringen, auf daß er die Nacht übers­tehe und morgen früh die Zahl der Aufrufe von der Start­seite über die Marke von 50 komme. Das ist mein beschei­dener Protest gegen …, die sich durch zweierlei wichtig und breit machen:

1. aufdringliche Pornografie
2. überlange Titel

Hat es gewirkt oder war alles nur ein Werbegag? Die Titel sind wieder ein­zeilig und die Inhalte sitt­samer. Nur die EPORN gibt es wirk­lich, die bleiben.

Die EPORN gehören sicherlich zu den Zahlen, deren haupt­säch­licher Witz darin besteht, einen schönen Namen zu haben, der mir gerade recht über den Weg lief. Das Inter­esse an EPORN und andern Spiel­chen mit Ziffern­vertau­schung liegt den Menschen, ist aber wegen der Abhän­gigkeit von unserer Zahl­darstel­lung von wenig allge­meiner Bedeu­tung. Das gleiche gilt auch für Zahlen mit bibli­schem, histori­schem oder aktu­ellem Bezug. Denn Zahlen sind nicht davon abhängig, daß wir zur Basis 10 darstellen, die Woche in sieben Tage teilen, die Oktave zwölf Halb­töne umfaßt und in der Bibel von 666 und 1260 geredet wird. Kämen Außerir­dische zu uns und nutzten ähn­liche Zusammen­hänge, würden die 12 Halb­töne mich nicht über­raschen, zufällig könnte es auch die Basis 10 oder die Sieben­tage­woche sein, womit 666 und 1260 gar nicht mehr so fern lägen. Sprächen sie jedoch auch noch die heilige ameri­kanische Sprache, kämen mir allmäh­lich Zweifel, die unsere außer­irdi­schen Freunde sicher­lich bald zer­streuen würden: Sie haben gerade uns aufge­sucht, weil wir wie sie zur Basis 10 rechnen und die Sieben­tage­woche haben. Zur Vorbe­reitung haben sie englisch gelernt, was auf der hundert­jährigen Reise zu uns fast zu ihrer Mutter­sprache wurde.

Kurz gesagt: Es ist möglich, daß biblische Bezüge und die Zahldar­stellung mit unseren 10 Zif­fern beson­dere Bedeu­tung haben. Ich kann daran aber sowenig glauben wie an die Astro­logie. Deshalb sind die EPORN für mich nur ein Spaß, und ein mäßiger dazu, denn sie kranken zunächst daran, daß bei Ziffern­vertau­schung führende Nullen auf­treten. Schlösse man diese aus, so wären in den EPORN bildenden Faktoren auch keine Nullen am Ende erlaubt. Damit fielen die kleinsten ein­schließ­lich 2520 weg. Die Enzy­klopädie für Zahlen­folgen nennt

2520,4030,5740,7360,7650,9760,10080,12070,13000,14580,14620,…

als die kleinsten EPORN. Sie sind allesamt uninter­essant. Sind a und b zwei ganze Zahlen (Ziffern) mit 9≥a>b≥1, so ist

P = 10⋅(10a+b)⋅(10b+a) = ⟨a,b,0⟩⋅⟨0,b,a⟩ = ⟨0,a,b⟩⋅⟨b,a,0⟩

eine EPORN. Natürlich soll darin ⟨x,y,z,…⟩ für die Zahl mit den Dezimalziffern x,y,z,… stehen. Analog funkti­oniert der Trick auch mit mehr als einer Zehner­potenz und mit mehr als zweistelligen Zahlen. Ein paar Beispiele:

  2520 =  210⋅012 =   021⋅120
 25200 = 2100⋅0012 = 0021⋅1200
 27010 =  730⋅037  =  073⋅370
205020 = 2010⋅0102 = 0201⋅1020

Sie haben alle minde­stens eine 0 am Ende, der von dem trivi­alen Fak­tor 10 herrührt und der nur mög­lich ist, weil füh­rende Nullen zuge­lassen sind. Eine End­ziffer 0 in einer EPORN die nicht aus einer End­ziffer 0 eines Faktors her­rührt, also aus dem Produkt von 2 und 5 entsteht, ist offen­sicht­lich unter­halb von 205⋅502 nicht möglich. Was ist aber mit 63504, der kleinsten EPORN ohne Null am Ende? Auch sie ist trivial: Ist wieder 9≥a>b≥1 und

m = ⟨a,b⟩ = 10a+b
n = ⟨b,a⟩ = 10b+a
M = m⋅m = 100a²+10(2ab)+b²
N = n⋅n = 100b²+10(2ab)+a²
Q = m⋅n = 100ab+10(a²+b²)+ab

so sind M, N und Q sicher­lich drei verschie­dene Zahlen und damit

P = M ⋅ N = Q ⋅ Q

eine EPORN, die zusätzlich auch Quadratzahl ist, sofern bei der Bildung von M, N und Q keine Überträge ent­standen sind. Für die recht kleine Basis 10 unserer Zahl­darstel­lung ist das leider nur bei a=2 und b=1 der Fall:

m=21 n=12 M=21⋅21=441 N=12⋅12=144 Q=21⋅12=252
P = 441⋅144 = 252⋅252 = 63504

Damit sind eigent­lich alle EPORN uninteressant. Die kleinen wegen des Faktors 10, die 63504 ist trivial aus einer Multi­plika­tionen ohne Über­trag, alle übrigen sind so groß, daß es auch einer großen Eigen­schaft bedürfte, sie bedeu­tend zu machen. So wundert es auch nicht, daß sich über den Erfinder Shyam Sunder Gupta hinaus kaum einer mit EPORN beschäf­tigt hat. Um sein Bemühen zu würdigen, eine schöne unendliche Folge von EPORN

      63504       =       144⋅441        =       2522
     7683984      =      1584⋅4851       =      27722
    782432784     =     15984⋅48951      =     279722 
   78384320784    =    159984⋅489951     =    2799722
  7839843200784   =   1599984⋅4899951    =   27999722
 783998432000784  =  15999984⋅48999951   =  279999722
78399984320000784 = 159999984⋅489999951  = 2799999722
xxyy 9zzzzz0 xxyy

die ich aus seinem Beitrag im Internet abgeschrieben habe.

Angesicht der im letzten Kommentar aufgezeigten unend­lichen Folge von EPORN

P_i = [m⋅(10ⁱ−1)] ⋅ [n⋅(10ⁱ−1)] = [q⋅(10ⁱ−1)]²
  = 1599…9984 ⋅ 4899…9951 = 2799…9972²

mit m=16, n=49 und q=28 entsteht die Frage, ob es noch weitere zwei­stellige Lösungen gibt. Dazu kann man einen Computer bemühen und mit ihm leicht Lösungen finden, die gar keine sind, weil man irgendein Ausschluß­krite­rium vergessen und nicht alle ‚Lösungen‘ über­prüft hat. Es geht aber auch mit Überle­gungen, die viel­leicht auch für ein korrektes Programm nützlich sind. Zunnächst ist wieder

M = [m⋅(10i−1)] = ⟨a,9−b,9,...,9,9−a,b⟩   m = 10a−b+10
N = [n⋅(10i−1)] = ⟨b,9−a,9,...,9,9−b,a⟩   n = 10b−a+10
Q = [q⋅(10i−1)] = ⟨c,9−c,9,...,9,9−c,c⟩   q = 9c+10

Jetzt könnte man alle 36 Möglich­keiten 1≤a<b≤9 über­prüfen, also m und n berechnen, prüfen ob m⋅n eine Quadrat­zahl ergibt und falls ja, ob deren Wurzel q=9c+10 auf ein ganz­zahliges c führt.

Doch das hieße, auf halben Wege aufzugeben. Besser erscheint mir die Beobach­tung auszu­nutzen, daß q nur zehn verschie­dene Werte annehmen kann, nämlich alle Zahlen zwischen 10 und 99, die modulo 9 gleich 1 sind. Die Prim­faktoren der zuge­hörigen q² müssen sich auf m und n mit 11≤m<n≤100 verteilen. Das führt auf drei Kandi­daten, von denen zwei ausscheiden, weil die zuge­hörigen a und b nicht passen:

q    q hoch 2       m     n    a 9−b b 9−a  a,b konsistent?
10   2⋅2⋅5⋅5      geht nicht
19   19⋅19        geht nicht
28   2⋅2⋅2⋅2⋅7⋅7   16    49    1  5  4  8   bekannte Lösung
                   14    56    1  3  5  5    1+5 ≠ 9 ≠ 3+5
37   37⋅37        geht nicht
46   2⋅2⋅23⋅23     23    92    1  2  8  1    1+1 ≠ 9 ≠ 2+8
55   5⋅5⋅11⋅11    geht nicht
64   2 hoch 12    geht nicht
73   73⋅73        geht nicht
82   2⋅2⋅41⋅41    geht nicht
91   7⋅7⋅13⋅13    geht nicht

Damit ist die bereits bekannte Lösung mit m=16, n=49 und q=28 die einzige zweistellige Lösung.

Nach der einzigen unendliche Folge immer größerer werdender EPORN vom Typ

P_i = [m⋅(10ⁱ−1)] ⋅ [n⋅(10ⁱ−1)] = [q⋅(10ⁱ−1)]²

mit zweistelligen m, n und q stellt sich die Frage nach den drei­stel­ligen, evtl. auch den ein­stel­ligen. Die aber ist schnell beant­wortet: Bei ein­stel­ligem q ist die letzte Ziffer des quadra­tischen Faktors Q=q⋅(10ⁱ−1) gleich der füh­renden. Aber beide müssen sich auch zu 9 addieren. Und da es keine Ziffer 4½ gibt, bleiben auch keine einstel­ligen Lösungen. Für drei­stel­lige q gilt die gleiche Über­legung bzgl. der zweiten und der vor­letzten Ziffer von Q.

Nach m=16, n=49 und q=28 ist die nächste Lösung also minde­stens vier­stellig. Ein Programm liefert hoffent­lich korrekt diese drei Lösungen:

     m                 n                  q         
1156 = 22⋅172     4489 = 672         2278 = 2⋅17⋅67
1456 = 24⋅7⋅13    4459 = 73⋅13       2548 = 22⋅72⋅13
2752 = 26⋅43      8428 = 22⋅72⋅43    4816 = 24˙7⋅43

               P              =       M       ⋅       N       =       Q2       
 51892839_9896214320_005189284=1155999_9998844⋅4488999_9995511=2277999_99977222
 64923039_9870153920_006492308=1455999_9998544⋅4458999_9995541=2547999_99974522
231938559_9536122880_023193856=2751999_9997248⋅8427999_9991572=4815999_99951842