Zahlwort

Da 39 und 38 sich als nicht völlig uninter­essant erwiesen und die Zahlen 37 und 36 von heraus­ragender Bedeu­tung sind, wäre 35 ein Kandidat für die kleinste uninter­essante Zahl. Das aber kann nicht sein. Für mich war 35 immer die zwei­stel­lige Beispiel­zahl, so wie es 4711 im vier­stel­ligen Bereich ist. Hinter der 35 wird meine Vorstel­lung vom Zahl­raum dunkler, bis 35 muß ich nicht rechnen. Und so habe ich die 35 zu meiner Lieb­lings­zahl gemacht, ohne darüber nach­zudenken, mit welchen objek­tiven Eigen­schaften sie die anderen über­ragen könnte.

Eine schöne und wider Erwarten kaum ausge­schlach­tete Eigen­schaft ist 35=5⋅7. Einmal wegen der hei­ligen 7 und zum anderen wegen der beiden Prim­faktoren. Damit ist für mich 35 das kleinste Produkt von Primzahl­zwil­lingen, weil ich 6=2⋅3 und 15=3⋅5 nicht mit­zähle, da ihre Faktoren nicht vom Typ 6n±1 sind. [1] Nach 35=5⋅7 kommen 143=11⋅13, 323=17⋅19 und 899=29⋅31.

Würden wir nicht zur Basis 10 rechnen und nicht an der End­zif­fer 5 sofort die Teil­barkeit durch 5 erken­nen, könnte 35 als die kleinste Zahl durch­gehen, die zusammen­gesetzt ist, aber dennoch wie eine Prim­zahl aus­sieht. Sie ist Produkt zweier ver­schie­dener unge­rader Primzahlen und damit Semi­prim­zahl. [2] Klei­nere sind 15=3⋅5, 21=3⋅7 und 33=3⋅11, die auch nicht primer aus­sehen. Allen­falls 51=3⋅17 könnte als Primzahl durch­gehen.

Zu jeder Zahl lohnt sich ein Blick in die Liste der figu­rierten Zahlen. Nicht bei jeder wird man fündig, bei 35 jedoch mehr­fach. Zunächst ist 35 die 5. Fünf­eckzahl F₅=Q₅+D₄=25+10=35

    5
   4 5
  3 4 5
 2 3 4 5
1 2 3 4 5                                              1
2 2 3 4 5                                 1           2 2
3 3 3 4 5                      1         2 2         3 3 3
4 4 4 4 5            1        2 2       3 3 3       4 4 4 4
5 5 5 5 5     1  +  2 2  +   3 3 3  +  4 4 4 4  +  5 5 5 5 5

die ich im vorstehenden Bild links in Form eines Hauses dar­gestellt habe. Rechts sind die 5 Ebe­nen eines Tetra­eders zu sehen, der längs jeder Kante 5 Punk­te auf­weist. Insge­samt sind es

T₅ = D₁+D₂+D₃+D₄+D₅ = 1+3+6+10+15 = 35

Doch damit nicht genug. Die Zahl 35 ist nicht nur Summe zweier Kubik­zahlen 8 und 27, sie folgen auch noch aufein­ander. Damit ist 35 nach 1 und 9 die dritte zen­trierte Kubik­zahl. Die dritte normale Kubik­zahl 27=3³ kann als Würfel mit drei Punkten auf jeder Kante der Länge 2 vorge­stellt werden. Bringt man in der Mitte der 8=2³ enthal­tenen Einheits­würfel einen wei­teren Punkt unter, so erhält man die Darstel­lung der dritten zen­trierten Kubik­zahl 35.

[1] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. In A037074 gehört zwar 15 zu den Produk­ten von Prim­zahl­zwil­lingen, nicht aber die 6. Es zählen sozu­sagen nur die zwei­eiigen Zwil­linge im Ab­stand 2, nicht 2 und 3 direkt neben­einander.

[2] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. A046388 nennt diese Semi­prim­zahlen aus­drück­lich unge­rade und qua­drat­frei.

[3] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. A005898.

34 | 36

Es gibt genau 35 Hexominos, also 35 Mög­lich­keiten, sechs Quadrate anein­ander­zufügen, wobei Muster nur einmal gezählt werden, wenn sie durch Drehen oder Wenden aus­ein­ander hervor­gehen.

                   o           o    o      o
          o o   oooo   ooo    oo   ooo    ooo
oooooo   oooo      o   ooo   ooo     oo   o o

Das sind nur sieben davon. Alle zu finden, ist eine schöne Knobel­auf­gabe.

Wie bereits erwähnt ist 35 die 5. Fünf­eck­zahl und kann somit wie folgt darge­stellt werden:

        1
      2   2
    3  2 2  3
  4  3     3  4
5  4  3 3 3  4  5
 5  4       4  5
  5  4 4 4 4  5
   5         5
    5 5 5 5 5

F₅=F₄+13=22+13=1+4+7+10+13=35

    o
   o o
  o o o
 o o o o
x x x x x
x x x x x
x x x x x
x x x x x
x x x x x

F₅=Q₅+D₄=5²+10=25+10=35

    x x x x x
   o x x x x o 
  o o x x x o o
 o o o x x o o o
o o o o x o o o o

F₅=D₅+2D₄=15+2⋅10=15+20=35

        x
       x x
      x x x
     x x x x
    o o o o o
   o o o o o o
  o o o o o o o
 o o o o o o o o
o o o o o o o o o

F₅=S₅−D₄=D₉−D₄=45−10=35