Zahlwort

Zahlen, die sich als ein Produkt schreiben lassen, dessen Faktoren genau aus den Ziffern dieser Zahl bestehen, heißen Vampir­zahlen. [1] Die ersten sind

 126 = 6⋅21
 153 = 3⋅51
 688 = 8⋅86
1206 = 6⋅201
1255 = 5⋅251
1260 = 6⋅210 = 21⋅60
1395 = 15⋅93 = 5⋅9⋅31

Die Faktoren nennt man auch Zähne, gar Reißzähne (fangs). Die von Clifford A. Pickover einge­führten Vampir­zahlen im engeren Sinne (true vampire numbers) sind solche mit genau zwei gleich­langen Zähnen, die nicht beide auf 0 enden und natürlich auch keine führenden Nullen haben dürfen. [2] Dann bleiben bis 999 nur sieben:

1260 = 21⋅60
1395 = 15⋅93
1435 = 35⋅41
1530 = 30⋅51
1827 = 21⋅87
2187 = 27⋅81
6880 = 80⋅86

Leider ist 153 keine Vampirzahl im engeren Sinne mehr und muß sich als 1530 rein­mogeln. Aber 153 kommt allent­halben vor, besser gesagt die Ziffern 1, 5 und 3. Das liegt nicht nur an 153=3⋅51, sondern auch an 3⋅5=15 und 3⋅351=1053.

[1] The On-Line Ecyclopedia of Integer Sequences. (Entstellte) Vampir­zahlen A020342, darunter die (wahren, echten, normalen, eigent­lichen) Vampir­zahlen A014575 im engeren Sinne .

[2] Die On-Line Encyclopedia of Integer Sequences erwähnt in A014575 das Verbot zweier Nullen nicht, listet aber 126000=600⋅210 nicht als Vampir­zahl im engeren Sinne, während Pickover in seiner Vorstel­lung der Vampir­zahlen noch ein solches Beispiel nennt.

153 | Pickover | Friedmanzahlen

Das ist ja mal ein Thema für mich. Nicht, daß ich irgendwas verstanden hätte... (Ich bin immer regelmäßig fasziniert von Ihrer Arbeit hier!)

Hat man eine Folge von Zahlen, so stellt man regel­mäßig die Fragen: Gibt darunter Prim­zahlen, Quadrat­zahlen oder andere von Bedeu­tung. Welche ist die kleinste, welche die größte unter ihnen, oder gibt es unend­lich viele?

Primz­ahlen gibt es unter den Vampir­zahlen offen­sicht­lich nicht, weshalb man eine Vampir­zahl bereits prim nennt, wenn sie eine Darstellung aus lauter Prim­fak­toren hat. Die ersten lauten:

117067 = 167⋅701
124483 = 281⋅443
146137 = 317⋅461
371893 = 383⋅971
536539 = 563⋅953

Der aufmerksame Leser könnte nun 1255=5⋅251 vermissen, doch geht es hier und im folgenden immer nur um Vampir­zahlen mit genau zwei gleich­langen Zähnen (true vampire numbers). Dann sind die primen Vampir­zahlen zwar nicht wirk­lich prim, aber wenig­stens semi­prim.

Umgekehrt nennt man eine Vampir­zahl nur dann quadra­tisch, wenn sie eine Darstel­lung aus zwei gleichen Faktoren hat. Es reicht nicht aus, einfach eine Quadrat­zahl zu sein. Und wenn ich nicht falsch pro­gram­miert habe, dann sind die ersten:

  5267275776 = 72576⋅72576
165252006144 = 406512⋅406512
172455817284 = 415278⋅415278
244492669444 = 494462⋅494462
363967270209 = 603297⋅603297
526727577600 = 725760⋅725760

Damit ist die Frage nach der kleinsten primen bzw. quadra­tischen Vampir­zahl beant­wortet. Nach der ersten Vampir­zahl, die sowohl quadra­tisch als auch prim ist, mußte mein Programm etwas länger suchen. Hat es sich nicht geirrt, so handelt es sich um

2459319153459529 = 49591523⋅49591523

Eine größte quadra­tische Vampir­zahl gibt es nicht, da gemäß

9004540020079200492925  189784509590  000000000001 =
94892254795  000000000001⋅94892254795  000000000001

eine unend­liche Folge von quadra­tischen Vampir­zahlen entsteht, wenn man    durch eine belie­bige Abfolge von Nullen ersetzt. Darunter sind auch prime Vampir­zahlen. Die kleinste hat 104 Stel­len, die größte bekannte 90858 Stellen oder bereits mehr. [1] Es sieht so aus, als gäbe es unendlich viele prime Vampir­zahlen, wahr­schein­lich auch zugleich quadra­tische. Doch bewiesen ist das wohl nicht.

[1] Jens Kruse Anderson: Vampire numbers.

Die kleineren Vampir­zahlen haben nur eine Zerle­gung in nur zwei Faktoren, einem Reißzahn-​Paar (fang pair). Es gibt aber auch Vampire, die im Hals mehr als zwei Löcher hinter­lassen, auch wenn man sich auf echte Vampir­zahlen beschränkt, also nur zwei gleich lange Faktoren zuläßt, die nicht beide auf 0 enden. Die kleinsten Vampir­zahlen mit genau zwei bis fünf Zerle­gungen lauten:

125460 = 2²⋅3²⋅5⋅17⋅41
       = 204 ⋅ 615
       = 246 ⋅ 510

13078260 = 2²⋅3⁷⋅5⋅13⋅23
         = 1620 ⋅ 8073
         = 1863 ⋅ 7020
         = 2070 ⋅ 6318

16758243290880 = 2⁸⋅3⁵⋅5⋅7³⋅13⋅43⋅281
               = 1982736 ⋅ 8452080
               = 2123856 ⋅ 7890480
               = 2751840 ⋅ 6089832
               = 2817360 ⋅ 5948208

24959017348650 = 2⋅3⁵⋅5²⋅7⋅11³⋅37⋅59⋅101
               = 2947050 ⋅ 8469153
               = 2949705 ⋅ 8461530
               = 4125870 ⋅ 6049395
               = 4129587 ⋅ 6043950
               = 4230765 ⋅ 5899410

Es ist natürlich nicht so über­raschend, die Vampir­zahlen mit den vielen Beiß­zahn­paaren unter denen mit vielen Teilern zu finden. Geht man aber auf die Jagd nach Zahn­unge­heuern, so reicht ein­facher Computer­einsatz nicht. Ein paar zusätz­liche Über­legungen sind: Den Faktor 5 nur einmal nehmen, weil er mit 2 auf 10 und damit auf nicht zählbare unechte Vampir­zahlen führt. Den Faktor 3 häufig verwenden, weil für Zahn­paare (x,y) von Vampiren xy=x+y modulo 9 ist. Eine Gleich­vertei­lung der Anzah­len der Ziffern ist hilf­reich, auch eine mit 1 oder gar 10 begin­nende Zahl. Das und vieles mehr führte auf eine 70‑stel­lige Zahl mit sage und schreibe 100025 Zerle­gungen. [1]

[1] Jens Kruse Anderson: Vampire numbers.