Friedmanzahlen
wuerg, 20.07.2005 10:54
Unter den Bedeutsamkeiten der Zahl 153 bleibt gelegentlich 153=3⋅51 nicht unerwähnt. Es ist also möglich, aus den Ziffern der Zahl 153 einen arithmetischen Ausdruck zu bilden, der wieder diese Zahl ergibt. Das mag zunächst als Allerweltseigenschaft angesehen werden, weil man doch aus drei oder gar noch mehr Ziffern sehr viele Ausdrücke bilden kann, von denen mit ansehnlicher Wahrscheinlichkeit einer treffen sollte.
Genauer gesagt heißt eine Zahl Friedmanzahl, wenn man aus ihren Ziffern zwei oder mehr neue Zahlen bildet und diese unter Verwendung von Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division, Potenzierung und Klammersetzung zu einem Ausdruck verbindet, dessen Wert wieder die Ausgangszahl ist. [1] Die Friedmanzahlen unterhalb von 1000 lauten:
25 = 52
121 = 112
125 = 51+2
126 = 6⋅21
127 = 27−1
128 = 28−1
153 = 3⋅51
216 = 61+2
289 = (8+9)2
343 = (3+4)3
347 = 73+4
625 = 56−2
688 = 8⋅86
736 = 7+36
Es sind weniger als ich zunächst erwartet habe, doch die Anfangsvermutung, es sei eine Allerweltseigenschaft wurde 2013 bestätigt. Nicht alle Zahlen, aber 100% sind Friedmanzahlen. [2]
Unter den Friedmanzahlen bis 1000 sind nur drei, nämlich 126, 153 und 688, die auf das Potenzieren verzichten können. [3] Und nur 127, 343 und 736 heißen nice, orderly, good oder gar deutsch geordnet, weil der Ausdruck die Ziffern in der richtigen Reihenfolge enthalten kann, wobei ich 127=−1+2⁷ eigentlich nicht mitzählen möchte, denn ein negatives Vorzeichen ist keine Subtraktion.
[1] The On-Line Ecyclopedia of Integer Sequences. Friedmanzahlen A036057, darunter A080035 geordnete in der korrekten Reihenfolge.
[2] Michael Brand: Friedman numbers have density 1. Discrete Applied Mathematics 161(16-17), S. 2389-2395, 2003.
[3] Die nächsten sind 1206=6⋅201, 1255=5⋅251 und 1260=6⋅210. Alle drei Vampirzahlen mit zwei ungleich großen Zähnen. Erst 1395=15⋅93 ist eine Vampirzahl im engeren Sinne mit zwei gleichgroßen Zähnen. Und 11439=9⋅31⋅41 ist die erste mit dreien. So geht es eine Weile weiter, doch nicht alle Friedmanzahlen ohne Potenzierung sind auch Vampirzahlen. So ist 1288957=(9+8)⋅75821 keine.
153 | Vampirzahlen
Genauer gesagt heißt eine Zahl Friedmanzahl, wenn man aus ihren Ziffern zwei oder mehr neue Zahlen bildet und diese unter Verwendung von Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division, Potenzierung und Klammersetzung zu einem Ausdruck verbindet, dessen Wert wieder die Ausgangszahl ist. [1] Die Friedmanzahlen unterhalb von 1000 lauten:
25 = 52
121 = 112
125 = 51+2
126 = 6⋅21
127 = 27−1
128 = 28−1
153 = 3⋅51
216 = 61+2
289 = (8+9)2
343 = (3+4)3
347 = 73+4
625 = 56−2
688 = 8⋅86
736 = 7+36
Es sind weniger als ich zunächst erwartet habe, doch die Anfangsvermutung, es sei eine Allerweltseigenschaft wurde 2013 bestätigt. Nicht alle Zahlen, aber 100% sind Friedmanzahlen. [2]
Unter den Friedmanzahlen bis 1000 sind nur drei, nämlich 126, 153 und 688, die auf das Potenzieren verzichten können. [3] Und nur 127, 343 und 736 heißen nice, orderly, good oder gar deutsch geordnet, weil der Ausdruck die Ziffern in der richtigen Reihenfolge enthalten kann, wobei ich 127=−1+2⁷ eigentlich nicht mitzählen möchte, denn ein negatives Vorzeichen ist keine Subtraktion.
[1] The On-Line Ecyclopedia of Integer Sequences. Friedmanzahlen A036057, darunter A080035 geordnete in der korrekten Reihenfolge.
[2] Michael Brand: Friedman numbers have density 1. Discrete Applied Mathematics 161(16-17), S. 2389-2395, 2003.
[3] Die nächsten sind 1206=6⋅201, 1255=5⋅251 und 1260=6⋅210. Alle drei Vampirzahlen mit zwei ungleich großen Zähnen. Erst 1395=15⋅93 ist eine Vampirzahl im engeren Sinne mit zwei gleichgroßen Zähnen. Und 11439=9⋅31⋅41 ist die erste mit dreien. So geht es eine Weile weiter, doch nicht alle Friedmanzahlen ohne Potenzierung sind auch Vampirzahlen. So ist 1288957=(9+8)⋅75821 keine.
153 | Vampirzahlen
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wuerg,
24.07.2005 00:58
Mit jeder weiteren Stellenzahl wächst die Anzahl der bildbaren Rechenausdrücke um immer größer werdende Faktoren, die bald die Basis 10 übersteigen. Es ist also nicht verwunderlich, wenn es nur wenige Friedmanzahlen mit geringer Stellenzahl gibt, sie aber hin zu größeren immer häufiger werden und letztlich 100% ausmachen, was im Jahre 2013 bewiesen wurde (Anmerkung [2] meines Hauptbeitrages). Vollständige Suche mit dem Computer hat ergeben:
Bei kleinen Friedmanzahlen handelt es sich vor allem um Zufallstreffer in der Nähe von Potenzen:
25 = 52
121 = 112
125 = 51+2
127 = 27−1
128 = 28−1
216 = 61+2
Divisionen werden erst später benötigt, um Werte zu verkleinern oder überschüssige Ziffern zu eliminieren:
1296 = 6(9−1)/2
2048 = 84/2+0
3281 = 39+1)/2
Durch diese Divisionen sind Teilausdrücke möglicherweise keine ganzen Zahlen mehr, was die Bestimmung der Friedmanzahlen mit dem Computer nicht gerade erleichtert:
26244 = (2/6)-2⋅4⋅4
In diesem Beispiel könnte man noch durch Umstellung des Ausdruckes gebrochene Zwischenergebnisse vermeiden. Die verquere Darstellung soll zeigen, daß 26244 eine geordnete Friedmanzahl ist, der Ausdruck also die Ziffern in der richtigen Reihenfolge enthält.
Klar ist, daß Nullen und Einsen zumeist von Vorteil sind, weil man sich ihrer bei Bedarf durch +0 bzw ⋅1 entledigen kann kann. Auch andere Ziffern n sind zum Beispiel durch 1ⁿ oder 0⋅n zu vernichten. Es kommen auch gerne Ausdrücke wie n/n ins Spiel:
69984 = 6-9/9+8/4
Will man sehr große Friedmanzahlen finden, scheidet eine Suche mit dem Computer aus. Dann muß man eine Konstruktion versuchen. Teilausdrücke wie n/n=1 und (nn-n)/n=10 helfen dabei. Damit können so schöne Friedmanzahlen wie
99999999 = 108−1 =
(9+9/9)9-9/9−9/9
99999999999999999 = 1017−1 =
(9+9/9)9+9-9/9−99999/99999
99999999999999999999999999 = 1026−1 =
(9+9/9)9+9+9-9/9−999999999/999999999
gebildet werden. Diese Reihe läßt sich natürlich ins Unendliche fortsetzen.
bis Stellenzahl 1 2 3 4 5 6 7 Friedmanzahlen 0 1 14 72 844 9812 124307 Wachstumsfaktor 5 12 12 13 darunter geordnet 0 0 3 14 107 637 4228 Wachstumsfaktor 5 8 6 7 Anteil in Prozent 0 0 21 19 13 6 3Deutlich zu sehen ist, daß sich die Friedmanzahlen ab 10.000 mit jeder weiteren Stelle um mehr als das Zehnfache vermehren. Dagegen scheint der Anteil der geordneten (meine Übersetzung für nice, orderly, good) Exemplare darunter beständig zu fallen, weil wegen der Beschränkung auf fünf Operationen kaum mit jeder Ziffer mehr zehnmal soviel Ausdrücke möglich sind, wenn die Klammersetzung die Faktoren nicht bei sehr großer Stellenzahl darüber hinaus treibt.
Bei kleinen Friedmanzahlen handelt es sich vor allem um Zufallstreffer in der Nähe von Potenzen:
25 = 52
121 = 112
125 = 51+2
127 = 27−1
128 = 28−1
216 = 61+2
Divisionen werden erst später benötigt, um Werte zu verkleinern oder überschüssige Ziffern zu eliminieren:
1296 = 6(9−1)/2
2048 = 84/2+0
3281 = 39+1)/2
Durch diese Divisionen sind Teilausdrücke möglicherweise keine ganzen Zahlen mehr, was die Bestimmung der Friedmanzahlen mit dem Computer nicht gerade erleichtert:
26244 = (2/6)-2⋅4⋅4
In diesem Beispiel könnte man noch durch Umstellung des Ausdruckes gebrochene Zwischenergebnisse vermeiden. Die verquere Darstellung soll zeigen, daß 26244 eine geordnete Friedmanzahl ist, der Ausdruck also die Ziffern in der richtigen Reihenfolge enthält.
Klar ist, daß Nullen und Einsen zumeist von Vorteil sind, weil man sich ihrer bei Bedarf durch +0 bzw ⋅1 entledigen kann kann. Auch andere Ziffern n sind zum Beispiel durch 1ⁿ oder 0⋅n zu vernichten. Es kommen auch gerne Ausdrücke wie n/n ins Spiel:
69984 = 6-9/9+8/4
Will man sehr große Friedmanzahlen finden, scheidet eine Suche mit dem Computer aus. Dann muß man eine Konstruktion versuchen. Teilausdrücke wie n/n=1 und (nn-n)/n=10 helfen dabei. Damit können so schöne Friedmanzahlen wie
99999999 = 108−1 =
(9+9/9)9-9/9−9/9
99999999999999999 = 1017−1 =
(9+9/9)9+9-9/9−99999/99999
99999999999999999999999999 = 1026−1 =
(9+9/9)9+9+9-9/9−999999999/999999999
gebildet werden. Diese Reihe läßt sich natürlich ins Unendliche fortsetzen.
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wuerg,
24.07.2005 13:34
Ich kann es nur noch einmal wiederholen: Es ist verwunderlich, wie gering der Anteil der Friedmanzahlen unter denen mit wenig Stellen ist. So ist unterhalb von
99999999 = (108)−1 = (9+9/9)9-9/9−9/9
keine Friedmanzahl aus lauter gleichen Ziffern bekannt, gleichwohl ab 25 Stellen alle Zahlen aus gleichen Ziffern Friedmanzahlen sind. Die Zahl aus n Ziffern a wird gemäß
aaa…a = (10n−1)⋅(a/9) = [((aa−a)/a)n−a/a]⋅a⋅a/(aa−a−a)
konstruiert. Es bleiben für n noch n−12 mal die Ziffer a übrig. Bildet man n gemäß
n = m + 24 = m + 52 − 1 = m + [(a+a+a+a+a)/a](a+a)/a − a/a
so stehen für m=n−24 noch (n−12)−11=n−23=m+1 Ziffern a zur Verfügung. Dazu wird einfach m‑mal a addiert und durch a geteilt. Diese Konstruktion ist für m>0, also n>24 möglich. Ein Beispiel für 36 Sechsen:
666666666666666666666666666666666666 = (1024+12−1)⋅(6/9) =
[((66-6)/6)(6+6+6+6+6)/6)(6+6)/6−6/6+(6+6+6+6+6+6+6+6+6+6+6+6)/6−6/6]⋅6⋅6/(66−6−6)
Das ist zwar interessant, ergibt aber nicht besonders viele Friedmanzahlen. Eine bessere Idee ist, eine n‑stellige Zahl b zu finden, aus deren Ziffern man neben b selbst noch 10 und n bilden kann. Dann erhält man für jedes a eine Friedmanzahl a·10ⁿ+b.
Erfolgreich sind Quadratzahlen b=c², die alle Ziffern von c nebst einer 2 enthalten und die übrigbleibenden Ziffern die Konstruktion einer 10 und der Länge n der Zahl b erlauben. Zum Beispiel c=3548 und b=3548²=12588304. Die restlichen Ziffern 1, 8 und 0 bilden direkt die&nbsop;10 und die Stellenzahl 8 von b. So erhält man zum Beispiel für die beliebige Zahl a=4711 die Friedmanzahl
471112588304 = 4711⋅108+35482
Etwas trickreicher geht es mit b=46656=6⁶. Es bleiben 4, 5 und 6 übrig für 10=4+6 und n=5. Wieder ein Beispiel mit a=4711:
471146656 = 4711⋅(4+6)5+66
Der aufmerksame Leser wird bemerkt haben, daß n auch größer als die Stellenzahl von b sein darf, da die zusätzlichen Nullen einfach verbraten werden können. Eine kann sogar zur Bildung der 10 herangezogen werden. Dies ist für b=19683=3⁹ der Fall. Es kann n=6+8=14 gebildet werden, was die Stellenzahl von b um 9 übersteigt. Eine der zusätzlichen Nullen fließt mit der verbliebenen 1 in die 10. Die restlichen acht werden verbraten. Es entstehen die Friedmanzahlen a⋅10¹⁴+3⁹. Wieder für a=4711:
471100000000019683 = 4711⋅106+8+39+0+0+0+0+0+0+0+0
Da 10¹⁴ und 3⁹ teilerfremd sind, muß die arithmetische Progression a⋅10¹⁴+3⁹ unendlich viele Primzahlen enthalten. Es gibt also unendlich viele prime Friedmanzahlen. Dieser Beweis geht auf Ron Kaminsky zurück. So schreibt es Erich Friedman, von dem ich die hier aufgeführten Ideen übernommen habe. [1]
[1] Erich Friedman: Problem of the Month (August 2000)
99999999 = (108)−1 = (9+9/9)9-9/9−9/9
keine Friedmanzahl aus lauter gleichen Ziffern bekannt, gleichwohl ab 25 Stellen alle Zahlen aus gleichen Ziffern Friedmanzahlen sind. Die Zahl aus n Ziffern a wird gemäß
aaa…a = (10n−1)⋅(a/9) = [((aa−a)/a)n−a/a]⋅a⋅a/(aa−a−a)
konstruiert. Es bleiben für n noch n−12 mal die Ziffer a übrig. Bildet man n gemäß
n = m + 24 = m + 52 − 1 = m + [(a+a+a+a+a)/a](a+a)/a − a/a
so stehen für m=n−24 noch (n−12)−11=n−23=m+1 Ziffern a zur Verfügung. Dazu wird einfach m‑mal a addiert und durch a geteilt. Diese Konstruktion ist für m>0, also n>24 möglich. Ein Beispiel für 36 Sechsen:
666666666666666666666666666666666666 = (1024+12−1)⋅(6/9) =
[((66-6)/6)(6+6+6+6+6)/6)(6+6)/6−6/6+(6+6+6+6+6+6+6+6+6+6+6+6)/6−6/6]⋅6⋅6/(66−6−6)
Das ist zwar interessant, ergibt aber nicht besonders viele Friedmanzahlen. Eine bessere Idee ist, eine n‑stellige Zahl b zu finden, aus deren Ziffern man neben b selbst noch 10 und n bilden kann. Dann erhält man für jedes a eine Friedmanzahl a·10ⁿ+b.
Erfolgreich sind Quadratzahlen b=c², die alle Ziffern von c nebst einer 2 enthalten und die übrigbleibenden Ziffern die Konstruktion einer 10 und der Länge n der Zahl b erlauben. Zum Beispiel c=3548 und b=3548²=12588304. Die restlichen Ziffern 1, 8 und 0 bilden direkt die&nbsop;10 und die Stellenzahl 8 von b. So erhält man zum Beispiel für die beliebige Zahl a=4711 die Friedmanzahl
471112588304 = 4711⋅108+35482
Etwas trickreicher geht es mit b=46656=6⁶. Es bleiben 4, 5 und 6 übrig für 10=4+6 und n=5. Wieder ein Beispiel mit a=4711:
471146656 = 4711⋅(4+6)5+66
Der aufmerksame Leser wird bemerkt haben, daß n auch größer als die Stellenzahl von b sein darf, da die zusätzlichen Nullen einfach verbraten werden können. Eine kann sogar zur Bildung der 10 herangezogen werden. Dies ist für b=19683=3⁹ der Fall. Es kann n=6+8=14 gebildet werden, was die Stellenzahl von b um 9 übersteigt. Eine der zusätzlichen Nullen fließt mit der verbliebenen 1 in die 10. Die restlichen acht werden verbraten. Es entstehen die Friedmanzahlen a⋅10¹⁴+3⁹. Wieder für a=4711:
471100000000019683 = 4711⋅106+8+39+0+0+0+0+0+0+0+0
Da 10¹⁴ und 3⁹ teilerfremd sind, muß die arithmetische Progression a⋅10¹⁴+3⁹ unendlich viele Primzahlen enthalten. Es gibt also unendlich viele prime Friedmanzahlen. Dieser Beweis geht auf Ron Kaminsky zurück. So schreibt es Erich Friedman, von dem ich die hier aufgeführten Ideen übernommen habe. [1]
[1] Erich Friedman: Problem of the Month (August 2000)
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wuerg,
18.05.2024 16:06
Mittlerweile wurde auch bei Heise Online etwas zu den Friedmanzahlen geschrieben. [1] Darin lautet eine Überschrift: „Fast alle Zahlen sind Friedman.“ Man kann es redlich interpretieren und damit meinen, daß a(n)/n mit wachsendem n gegen 1 konvergiert, also 100% alle Zahlen Friedmanzahlen sind. Aber es ist in unendlichen Bereichen auch üblich, von fast allen nur dann zu sprechen, wenn es nur endlich viele Ausnahmen gibt. Und das führt sofort zu der Frage: Gibt es unendlich viele Zahlen, die keine Friedmanzahlen sind?
Wenn 0⁰ nicht erlaubt ist, dann können keine Zehnerpotenzen gebildet werden, da man mit einer Eins und nichts als Nullen den Bereich aus 0, 1 und −1 nicht verlassen kann. Das gleiche gilt, wenn man 0⁰ für 0 hält. Üblicherweise aber ist 0⁰=1. Dann kann man aus zwei Nullen eine weitere 1 bilden, kommt so zu 2 und kann weiter aufsteigen. Insbesondere ist dann
100000000 = 100002 = 1000000+00
1000000000 = 10003 = 100000+00+00
Um über diese beiden glücklichen Einzelfälle hinaus zu zeigen, daß alle Zehnerpotenzen ab einer gewissen Länge Friedmanzahlen sind, muß man kaum mehr Gehirnschmalz reinstecken, aber etwas rechnen:
10n = 104k+l+0m mit
4 = (00⋅00)+(00+00) aus 8 Nullen
k = (00+00+…00) aus 2k Nullen
l = (00+00+…00) aus 2l Nullen
0m = 0 = 0+0+…+0 aus m Nullen
Die Zehnerpotenz linkerhand besteht aus einer Eins und n Nullen. Der Ausdruck auf der rechten Seite enthält ebenfalls eine 1, aber 1+8+2k+2l+m Nullen. Wählt man k=n/4 und l=n−4k, so muß 4k+l=n=1+8+2k+2l+m oder m=2k−l−9 sein. Für n≥24 ist m≥0,weshalb jede Zehnerpotenz ab einer Quadrillion eine Friedmanzahl ist. Die ersten:
100000000000000000000000000000000 = 1024 = 104⋅8+0+0⋅3 =
10(00+00)⋅(00+00)⋅(00+00+00+00+00+00)+0+0+0
1000000000000000000000000000000000 = 1025 = 104⋅8+1+0⋅2 =
10(00+00)⋅(00+00)⋅(00+00+00+00+00+00)+00+0+0
10000000000000000000000000000000000 = 1026 = 104⋅8+2+0⋅1 =
10(00+00)⋅(00+00)⋅(00+00+00+00+00+00)+00+00+0
100000000000000000000000000000000000 = 1027 = 104⋅8+2+0⋅1 =
10(00+00)⋅(00+00)⋅(00+00+00+00+00+00)+00+00+00
1000000000000000000000000000000000000 = 1028 = 104⋅8+0+0⋅5 =
10(00+00)⋅(00+00+00)⋅(00+00+00+00+00+00)+0+0+0+0+0
Das bedeutet nicht, daß es nur endlich viele Nicht-Friedmanzahlen gibt, doch wird es dadurch recht plausibel, denn mit jeder weiteren Ziffer ungleich 0 gibt es immer mehr Möglichkeiten, die gegebene Zahl zu konstruieren.
[1] Harald Bögelholz: Zahlen bitte! Die selbstreproduzierenden Friedman-Zahlen. Heise Online, 22.01.2019.
Wenn 0⁰ nicht erlaubt ist, dann können keine Zehnerpotenzen gebildet werden, da man mit einer Eins und nichts als Nullen den Bereich aus 0, 1 und −1 nicht verlassen kann. Das gleiche gilt, wenn man 0⁰ für 0 hält. Üblicherweise aber ist 0⁰=1. Dann kann man aus zwei Nullen eine weitere 1 bilden, kommt so zu 2 und kann weiter aufsteigen. Insbesondere ist dann
100000000 = 100002 = 1000000+00
1000000000 = 10003 = 100000+00+00
Um über diese beiden glücklichen Einzelfälle hinaus zu zeigen, daß alle Zehnerpotenzen ab einer gewissen Länge Friedmanzahlen sind, muß man kaum mehr Gehirnschmalz reinstecken, aber etwas rechnen:
10n = 104k+l+0m mit
4 = (00⋅00)+(00+00) aus 8 Nullen
k = (00+00+…00) aus 2k Nullen
l = (00+00+…00) aus 2l Nullen
0m = 0 = 0+0+…+0 aus m Nullen
Die Zehnerpotenz linkerhand besteht aus einer Eins und n Nullen. Der Ausdruck auf der rechten Seite enthält ebenfalls eine 1, aber 1+8+2k+2l+m Nullen. Wählt man k=n/4 und l=n−4k, so muß 4k+l=n=1+8+2k+2l+m oder m=2k−l−9 sein. Für n≥24 ist m≥0,weshalb jede Zehnerpotenz ab einer Quadrillion eine Friedmanzahl ist. Die ersten:
100000000000000000000000000000000 = 1024 = 104⋅8+0+0⋅3 =
10(00+00)⋅(00+00)⋅(00+00+00+00+00+00)+0+0+0
1000000000000000000000000000000000 = 1025 = 104⋅8+1+0⋅2 =
10(00+00)⋅(00+00)⋅(00+00+00+00+00+00)+00+0+0
10000000000000000000000000000000000 = 1026 = 104⋅8+2+0⋅1 =
10(00+00)⋅(00+00)⋅(00+00+00+00+00+00)+00+00+0
100000000000000000000000000000000000 = 1027 = 104⋅8+2+0⋅1 =
10(00+00)⋅(00+00)⋅(00+00+00+00+00+00)+00+00+00
1000000000000000000000000000000000000 = 1028 = 104⋅8+0+0⋅5 =
10(00+00)⋅(00+00+00)⋅(00+00+00+00+00+00)+0+0+0+0+0
Das bedeutet nicht, daß es nur endlich viele Nicht-Friedmanzahlen gibt, doch wird es dadurch recht plausibel, denn mit jeder weiteren Ziffer ungleich 0 gibt es immer mehr Möglichkeiten, die gegebene Zahl zu konstruieren.
[1] Harald Bögelholz: Zahlen bitte! Die selbstreproduzierenden Friedman-Zahlen. Heise Online, 22.01.2019.
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wuerg,
18.05.2024 16:11
Da die The On-Line Ecyclopedia of Integer Sequences keine Liste der Friedmanzahlen ohne Potenzierung aufweist, nahm ich naiverweise zunächst an, sie wären mit den Vampirzahlen identisch, weil die Verwendung einer Addition keine genügend großen Zahlen erlaube. Doch dem ist nicht so. Mit n Ziffern können Ausdrücke trotz einer Addition Werte bis (9+9)999...999=18⋅(10ⁿ⁻²−1) gebildet werden. Darunter sind durchaus n‑stellige Zahlen, wenn auch mit einer 1 an führender Stelle. Trotzdem sind für große Zahlen viele Treffer zu erwarten. Es verbleibt also nur die Frage, wie man welche findet, am besten auch die kleinste.
Mit einem Programm habe ich alle Ausdrücke der Form (x+y)abcdef abgegrast und stolze 76 Treffer gefunden. Darunter sechs mit f=0, zu denen es auch eine siebenstellige Lösung gibt:
(9+8)75821 = 1288957 = 17⋅75821
(9+8)81734 = 1389478 = 2⋅17⋅40867
(8+6)92312 = 1292368 = 24⋅7⋅11⋅1049
(8+4)91032 = 1092384 = 25⋅32⋅3793
(7+7)81341 = 1138774 = 23⋅137⋅1039
(7+7)84131 = 1177834 = 2⋅7⋅84131
Da unter ihnen keine Zahl mehr auf 0 endet, gibt es auch keine kleineren vom untersuchten Typ. Wie steht es aber mit den übrigen? Zunächst ist festzustellen, daß die Addition eine einstellige Zahl umfaßt, da die Summe soviel Stellen haben muß wie in ihr Ziffern verbraten werden. Die in der Summe gebildeten Faktoren sind deshalb von Typ x+y, 9x+y oder 99x+y, die maximal Faktoren 18, 108 und 1008 ergeben. 999x+y und höher scheiden aus, da sie es für siebenstellige Zahlen maximal auf 10008⋅99 bringen. Bleiben nur noch verschiedene Zerlegungen der verbliebenen Ziffern a bis maximal e zu betrachten:
Natürlich dachte ich, ich könne doch nicht der erste sein, der sich mit dieser Frage beschäftigte, doch die Online-Encyclodedia of Integer Sequences kennt die Zahl 1092384 nicht, Google nur als Nummer für ein Lenkgetriebe.
Mit einem Programm habe ich alle Ausdrücke der Form (x+y)abcdef abgegrast und stolze 76 Treffer gefunden. Darunter sechs mit f=0, zu denen es auch eine siebenstellige Lösung gibt:
(9+8)75821 = 1288957 = 17⋅75821
(9+8)81734 = 1389478 = 2⋅17⋅40867
(8+6)92312 = 1292368 = 24⋅7⋅11⋅1049
(8+4)91032 = 1092384 = 25⋅32⋅3793
(7+7)81341 = 1138774 = 23⋅137⋅1039
(7+7)84131 = 1177834 = 2⋅7⋅84131
Da unter ihnen keine Zahl mehr auf 0 endet, gibt es auch keine kleineren vom untersuchten Typ. Wie steht es aber mit den übrigen? Zunächst ist festzustellen, daß die Addition eine einstellige Zahl umfaßt, da die Summe soviel Stellen haben muß wie in ihr Ziffern verbraten werden. Die in der Summe gebildeten Faktoren sind deshalb von Typ x+y, 9x+y oder 99x+y, die maximal Faktoren 18, 108 und 1008 ergeben. 999x+y und höher scheiden aus, da sie es für siebenstellige Zahlen maximal auf 10008⋅99 bringen. Bleiben nur noch verschiedene Zerlegungen der verbliebenen Ziffern a bis maximal e zu betrachten:
möglicher Ausdruck maximal erreichbar Lösung (x+y)⋅abcde (9+9)⋅99999=1799982 1. Programm (x+y)⋅a⋅bcde (9+9)⋅9⋅9999=1619838 2. Programm (x+y)⋅ab⋅cde (9+9)⋅99⋅999=1780218 3. Programm (x+y)⋅a⋅b⋅cde (9+9)⋅9⋅9⋅999=1456542 4. Programm (x+y)⋅a⋅bc⋅de (9+9)⋅9⋅99⋅99=1587762 5. Programm (x+y)⋅a⋅b⋅c⋅de (9+9)⋅9⋅9⋅9⋅99=1299078 1,≤2 unmöglich (x+y)⋅a⋅b⋅c⋅d⋅e (9+9)⋅9⋅9⋅9⋅9⋅9=106282 1,0 unmöglich (9x+y)⋅abcd (99+9)⋅9999=1079892 6. Programm (9x+y)⋅a⋅... (99+9)⋅9⋅9999=971028 nicht 7-stellig (9x+y)⋅ab⋅cd (99+9)⋅99⋅99=1058508 1,0 unmöglich (99x+y)⋅abc (999+9)⋅999=1006992 1,0,0 unmöglichDas erste Programm liefert die bereits genannten 6 Lösungen, die übrigen keine. Insbesondere auch keine mit 0 am Ende, also auch keine mit weniger als 7 Stellen. Alle 6 Zahlen sind keine Vampirzahlen, was man durch Betrachtung der angegeben Primfaktorzerlegung leicht herausfindet. Sofern kein Denk- oder Programmfehler vorliegt, ist damit 1092384 die kleinste ohne Potenzierung auskommende Friedmanzahl, die keine Vampirzahl ist.
Natürlich dachte ich, ich könne doch nicht der erste sein, der sich mit dieser Frage beschäftigte, doch die Online-Encyclodedia of Integer Sequences kennt die Zahl 1092384 nicht, Google nur als Nummer für ein Lenkgetriebe.
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