Harshadzahlen
wuerg, 19.07.2005 10:29
Neben der herausragenden Eigenschaft der Zahl 153, Summe der dritten Potenzen ihrer Ziffer, also Armstrongzahl zu sein, wird auch stets erwähnt, daß 153 durch die eigene Quersumme teilbar ist. Solche Zahlen heißen Harshadzahlen. Alle einstelligen Zahlen sind trivialerweise Harshadzahlen. Die zweistelligen Harshadzahlen sind die Vielfachen von 9 und 10 sowie die Zahlen 12, 21, 24, 42, 48 und 84, also genau diejenigen, die ich in meinem Beitrag zur Zahl 18 als einzige ermittelt habe, die das Zwei- bis Zehnfache ihrer Quersumme sind. Die Zahl 18 war die kleinste Zahl als das Doppelte der Quersumme. In diesem Zusammenhang erwähnte ich auch, daß die mehr als Zehnfachen der Quersumme mindestens dreistellig sein müssen und die Harshadzahl 198=11⋅(1+9+8) die kleinste Zahl als das Elffache ihrer Quersumme ist.
Ein- bis Neunfache von Zehnerpotenzen sind immer Harshadzahlen, ebenso Zahlen mit Quersumme 3 oder 9. Die Zahl 7 ist die größte Primzahl unter den Harshadzahlen. Mehrstellige Primzahlen scheiden aus, denn die Quersumme liegt echt zwischen 1 und dieser Primzahl, den einzigen beiden Teilern. Die trivialen Armstrongzahlen 1 bis 9 und die nächste 153 sind zugleich Harshadzahlen, doch geht es so nicht weiter. Zur Freude der 37‑Fanatiker ist zwar 407=37⋅(4+0+7) und 370=37⋅(3+7+0), doch teilt 11=3+7+1 nicht die Armstrongzahl 371.
Harshadzahlen gibt es wie Sand am Meer, weshalb es interessanter ist, nach der kleinsten Harshadzahl aₙ zu fragen, die das n‑fache ihrer Quersumme ist. Trivialerweise ist a₁=1. Es folgen 18=2⋅9, 27=3⋅9, 12=4⋅3 (nicht 36=4⋅9), 45=5⋅9, 54=6⋅9, 21=7⋅3 (nicht 63=7⋅9), 72=8⋅9 und 81=9⋅9. Die Zahlen wachsen nicht beständig an, denn es folgt a₁₀=10=10⋅1. Die 11 ziert sich mit a₁₁=198=11⋅18. Und danach geht es weiter mit 108=12⋅9, 117=13⋅9, 126=14⋅9, 135=15⋅9, 144=16⋅9, 153=17⋅9, 162=18⋅9, 114=19⋅6 (nicht 171=19⋅9) und 180=20⋅9. Die 21 ziert sich wieder mit a₂₁=378=21⋅18.
Nun fragt sich der aufmerksame Leser natürlich, ob es denn für jede Zahl n überhaupt ein aₙ gibt. Und die Antwort lautet: Nein, schon für n=62 gibt es das nicht (a₆₂=0). Das kann leicht mit einem Computer bestätigt werden, denn für k‑stellige Zahlen ist die Quersumme maximal 9k, weshalb a₆₂ nicht über 9kn=558k liegen kann. Für k>4 ist das kleiner als jede k‑stellige Zahl. Man muß also nur Zahlen bis 9999 überprüfen, sogar nur bis 2232, 1736 oder noch weniger.
[1] The On-Line Ecyclopedia of Integer Sequences. Harshadzahlen A005349, die Vielfachen A113315 ihrer Quersumme, die kleinsten Harshadzahlen A003634 zu gegebenem Vielfachen und die unmöglichen Vielfachen A003635.
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Ein- bis Neunfache von Zehnerpotenzen sind immer Harshadzahlen, ebenso Zahlen mit Quersumme 3 oder 9. Die Zahl 7 ist die größte Primzahl unter den Harshadzahlen. Mehrstellige Primzahlen scheiden aus, denn die Quersumme liegt echt zwischen 1 und dieser Primzahl, den einzigen beiden Teilern. Die trivialen Armstrongzahlen 1 bis 9 und die nächste 153 sind zugleich Harshadzahlen, doch geht es so nicht weiter. Zur Freude der 37‑Fanatiker ist zwar 407=37⋅(4+0+7) und 370=37⋅(3+7+0), doch teilt 11=3+7+1 nicht die Armstrongzahl 371.
Harshadzahlen gibt es wie Sand am Meer, weshalb es interessanter ist, nach der kleinsten Harshadzahl aₙ zu fragen, die das n‑fache ihrer Quersumme ist. Trivialerweise ist a₁=1. Es folgen 18=2⋅9, 27=3⋅9, 12=4⋅3 (nicht 36=4⋅9), 45=5⋅9, 54=6⋅9, 21=7⋅3 (nicht 63=7⋅9), 72=8⋅9 und 81=9⋅9. Die Zahlen wachsen nicht beständig an, denn es folgt a₁₀=10=10⋅1. Die 11 ziert sich mit a₁₁=198=11⋅18. Und danach geht es weiter mit 108=12⋅9, 117=13⋅9, 126=14⋅9, 135=15⋅9, 144=16⋅9, 153=17⋅9, 162=18⋅9, 114=19⋅6 (nicht 171=19⋅9) und 180=20⋅9. Die 21 ziert sich wieder mit a₂₁=378=21⋅18.
Nun fragt sich der aufmerksame Leser natürlich, ob es denn für jede Zahl n überhaupt ein aₙ gibt. Und die Antwort lautet: Nein, schon für n=62 gibt es das nicht (a₆₂=0). Das kann leicht mit einem Computer bestätigt werden, denn für k‑stellige Zahlen ist die Quersumme maximal 9k, weshalb a₆₂ nicht über 9kn=558k liegen kann. Für k>4 ist das kleiner als jede k‑stellige Zahl. Man muß also nur Zahlen bis 9999 überprüfen, sogar nur bis 2232, 1736 oder noch weniger.
[1] The On-Line Ecyclopedia of Integer Sequences. Harshadzahlen A005349, die Vielfachen A113315 ihrer Quersumme, die kleinsten Harshadzahlen A003634 zu gegebenem Vielfachen und die unmöglichen Vielfachen A003635.
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