Schere-Stein-Papier-Echse-Spock
Jeder kennt das Spiel Schere-Stein-Papier, ein Zwei-Personen-Null­summenspiel, für das es eine optimale Strategie gäbe, wäre es zugleich ein Spiel mit vollständiger Information. [1] Es gibt aber eine optimale erweiterte Strategie, nämlich alle drei Symbole mit gleicher Wahrscheinlichkeit zu wählen. Gewinn, Verlust und Unent­schieden sind dann gleich­verteilt. In einer langen Reihe solcher Spiele ist mit einem ausgeglichenen Ergebnis zu rechnen. [2] Leider auch dann, wenn der Gegner von dieser optimalen Strategie abweicht. In einem RPS-Turnier [3] garantiert sie ein Ergebnis im Mittelfeld. Gewinnen werden Spieler, die schwächeren Gegnern Punkte abnehmen oder einfach nur mehr riskiert und Glück gehabt haben. [4] Wer sich sich im Gefängnis, bei Promi Big Brother [5] oder unter normalen Umständen regelmäßig diesem Spiel hingibt, sollte nachlesen, welche Symbole häufiger gewählt werden und welche Abhängig­keiten zu den voran­gehenden eigenen und fremden Symbolen bestehen. Mit geschultem Auge und reflexartigem Verhalten mag man wie ein Roboter [6] auch das gegnerische Symbol vorzeitig erkennen und das eigene anpassen können.

Um der Trivialität dieses Spieles zu entgehen und die Remis-Wahrschein­lichkeit zu mindern, können fünf Symbole gewählt werden, von denen jedes gegen zwei andere gewinnt. [7] Während bei drei Symbolen A,B,C nur zwei Varianten (A>B>C>A oder C>B>A>C) möglich sind, die von der Struktur her beide gleich sind, gibt es für fünf Symbole 24 Varianten. Doch auch diese sind alle strukturgleich. Die durch die Big-Bang-Theory bekannteste Ausprägung Rock-Paper-Scissors-Lizard-Spock wird durch Sheldon wie folgt erklärt: "It's very simple. Look, scissors cuts paper. Paper covers rock. Rock crushes lizard. Lizard poisons Spock. Spock smashes scissors. Scissors decapitates lizard. Lizard eats paper. Paper disproves Spock. Spock vaporizes rock. And as it always has, rock crushes scissors." [8,9] Darauf basieren die meisten Darstellungen aus einem rechts herum durch­laufenen Fünfeck, dem ein links herum durch­laufendes Pentagramm einbeschrieben ist. [1] Es ist aber kein Problem, die Symbole derart zu vertauschen, daß beide Durchläufe in die gleiche Richtung weisen.

Nach 3 und 5 Symbolen liegt eine Erweiterung auf n=2k+1 nahe, die alle gegen k andere gewinnen und gegen die restlichen k verlieren. Für n=7 gibt es drei Strukturen, die sich durch Vertauschung der Symbole nicht ineinander überführen lassen. Insgesamt kann man bereits aus 2640 Möglich­keiten schöpfen, wenn man sich sieben Symbole ausdenkt und möglichst gut begründen will, welches gegen welches gewinnt oder verliert. Die drei grund­legenden Strukturen kann man noch mit der Hand am Arm anschaulich ableiten, für die 2640 Möglich­keiten aber muß man schon etwas Kombina­tions­gabe aufbringen. In [10] ist die Aufgabe eleganter gelöst. Dort sind auch die Anzahlen für n=9,11,13 genannt, für deren Ermittlung ein schlichtes Programm nicht ausreicht. Inzwischen sind mehr Werte bekannt. [11]

Grundsätzlich ist es leicht, für jedes ungerade n=2k+1 ein solches Spiel zu entwickeln. Dazu nehme man die Zahlen 0 bis n-1 als Symbole und lasse x gegen y gewinnen, wenn y-x modulo n aus einer frei wählbaren Menge von k der Zahlen 1 bis n-1 ist. Das Problem besteht lediglich darin, den Zahlen Objekte zuzuordnen, daß die vorgegebene Schlag­struktur plausibel ist. Die wirkt schon bei Schere-Stein-Papier-Echse-Spock etwas unnatür­lich konstruiert. Versionen ab n=7 taugen eigentlich nur noch für Poster oder Sweatshirts. Wer unbedingt eines mit n=25 oder gar n=101 haben möchte, wird es sicherlich ohne meine Hilfe im Internet finden.

[1] Wem es nicht bekannt ist, für den erklärt es die Wikipedia.
[2] Im allgemeinen ist die optimale Strategie in einer langen Reihe von gleichen Spielen nicht die Wieder­holung der optimalen erweiter­ten Strategie des einzelnen Spieles. So könnte es angezeigt sein, bei sich abzeich­nendem Verlust eine riskantere Variante zu wählen.
[3] Informationen und Turnierregeln der World PRS Society.
[4] Im allgemeinen ist die optimale Strategie eines Turnieres über gleichen Spielen nicht die Wieder­holung der optimalen erweiter­ten Strategie des einzelnen Spieles. Bei mehr als zwei Teil­nehmern existiert im allge­meinen gar keine optimale Strategie.
[5] Dort hat man wohl mit einem Brunnen als zusätz­lichem Symbol gespielt. Das Papier deckt den Brunnen ab, Stein und Schere fallen hinein. Diese Variante ist gut, den uner­fahrenen Anfänger über den Tisch zu ziehen, der alle vier Symbole für gleich­wertig hält. Er verliert im Mittel 1/12 des Einsatzes gegen den optimalen Spieler, der den Stein ausläßt.
[6] Ishikawa Watanabe Laboratory: Janken (rock-paper-scissors) Robot with 100% winning rate. Filmchen unter You Tube.
[7] 4 Symbole scheiden aus, da keine gerechte Verteilung von Gewinn und Verlust möglich ist, sofern man keine Abstriche an der Grund­struktur zu machen bereit ist.
[8] Prady, Bill: The Lizard-Spock-Expansion. Staffel 2, Folge 8 der Fernseh­serie The Big Bang Theory, 2008. Das machte Rock-Paper-Scissors-Lizard-Spock und damit auch den Erfinder Sam Kass in einem wenige Nerds über­stei­gendem Kreis bekannt. Text unter Big Bang Theory Transcripts.
[9] Lorre, Prady und Holland: The Rothman Disintegration. Staffel 5, Folge 17 der Fernsehserie The Big Bang Theory, 2011. Vielleicht um Urheber-Querelen zu entgehen, sagt Sheldon: "Rock-Paper-Scissors-Lizard-Spock was created by Internet pioneer Sam Kass as an improve­ment on the classic game Rock-Paper-Scissors. All hail Sam Kass." Text unter Big Bang Theory Transcripts.
[10] Chamberland und Herman: Rock-Paper-Scissors meets Borromean Rings. Als PDF-Datei im Internet.
[11] Sloane, N. J. A.: The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. Folgen A096368 und A007079.

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Name :)
Hallo,

ich finde Ihren Blog klasse, und lese regelmäßig einige Artikel.

Zur Erstellung meiner Seminararbeit, bei der ich Sie zitieren möchte, bräuchte ich allerdings Ihren Namen, den ich auf Ihrem Blog leider nicht finden kann.

Geht es für Sie in Ordnung, wenn Sie mir diesen verraten? Falls nicht öffentlich, dann evtl an meine Mail-Adresse (marklmichael98@gmail.com). Ich würde mich sehr freuen. Vielen Dank und noch viel Spaß beim Tüfteln :D

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Lieber thems oder marklmichael98, ich möchte weiterhin leicht anony­misiert unter wuerg schreiben. Andern­falls müßte ich einige meiner Beiträge über­arbeiten oder gar entfernen. Ich weiß, fehlende Autoren erschweren die Alpha­beti­sierung im Literatur­verzeichnis. Daran muß man sich im Internet­zeit­alter aber gewöhnen. Für Tex würde ich den Bibtex-Eintrag
@misc{Zahlwort-Schere-Stein-Papier,
title={Schere-Stein-Papier-Echse-Spock},
howpublished={Zahlwort},
year={2015},
note={Aus dem Internet\footnote{
\url{http://zahlwort.blogger.de/stories/2534838/}}}}
verwenden, der im PDF-File wie fogt erscheint:

[7] Schere-Stein-Papier-Echse-Spock. Zahlwort, 2015. Aus dem Internet37.
37 http://zahlwort.blogger.de/stories/2534838/

In ordent­lichen Dokumenten sollte man Verweise ins Internet nicht verstecken. Da sie aber häßlich aussehen und schlecht umgebrochen werden, verlagere ich sie in Fußnoten. Mit HTML bin ich etwas großzügiger, weil es weniger Komfort bietet und zumeist in einem weniger seriösen Kontext verwendet wird. Dort sind Literatur­angaben, Bemerkungen, Fußnoten und Endnoten für mich das gleiche. Im Text verwende ich zum Beispiel [7], weil hoch­gestellte Ziffern den Zeilen­abstand versauen. Am Ende steht dann:

[7] Schere-Stein-Papier-Echse-Spock. Zahlwort, 2015.

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