Zahlwort

Täglich lasse ich mir zusenden, was Google zum Stichwort Mathematik neu zu vermelden hat. Zumeist geht es um irgend­welche Schul­sieger, gelegent­lich aber auch um sog. Sport­mathe­matik. Selten theore­tische Betrach­tungen oder kompli­zierte Berechvnungen, sondern zumeist irgend­welche Punkte­zählungen, vornehm­lich zur Formel 1.

Da ist es schon inter­essanter, sich am letzten Spieltag einer Gruppe zur Fußball­welt­meister­schaft zu über­legen, welche Plätze unter welchen Umständen noch möglich sind. Zumeist ist es einfach, und es wird nicht wirklich Mathe­matik benötigt, doch stehen immerhin noch zwei Ergeb­nisse mit vier nicht­negativen ganzen Zahlen aus, daß die Gewinn­zone nicht immer mit einem kurzen Satz umrissen werden kann.

In der Gruppe A sah es am Morgen des letzten Spiel­tages für Frankreich schlecht aus. Um das Achtel­finale zu erreichen, muß das Spiel gegen Süd­afrika nicht nur gewonnen werden. Zusätz­lich dürfen Uruguay und Mexiko sich nicht unent­schieden trennen. Es reicht auch nicht, wenn beide Spiele knapp ausgehen.

Frankreich verdrängt Mexiko, wenn sowohl Frankreich g+d:g als auch Uruguay h+e:h [1] gewinnen und die gemein­same Tordif­ferenz d+e>4 ist. Bei d+e=4 muß Frankreich mindestens vier Tore mehr schießen als Uruguay kassiert g+d>h+3.

Frankreich verdrängt Uruguay, wenn sowohl Frankreich g+d:g als auch Mexiko h+e:h gewinnen und die gemeinsame Tordifferenz d+e>5 ist. Bei d+e=5 reicht es für Frank­reich, vier Tore mehr zu schießen als Mexiko kassiert (g+d>h+3). Sollten es drei (g+d=h+3) sein, entscheidet das Los.

Für Südafrika stehen die Aktien noch ein bißchen schlechter als für Frankreich. Um das Achtel­finale zu erreichen, muß das Spiel gegen Frank­reich nicht nur gewonnen werden. Zusätzlich dürfen Uruguay und Mexiko sich nicht unent­schie­den trennen. Es reicht auch nicht, wenn beide Spiele knapp ausgehen.

Südafrika verdrängt Mexiko, wenn sowohl Südafrika als auch Uruguay gewinnen und die gemeinsame Tordifferenz d+e>5 ist. Bei d+e=5 reicht es für Südafrika, drei Tore mehr zu schießen als Mexiko kassiert (g+d>h+2). Sollten es zwei sein (g+d=h+2) sein, entscheidet das Los.

Südafrika verdrängt Uruguay, wenn sowohl Südafrika als auch Mexiko gewinnen und die gemeinsame Tordifferenz d+e>6 ist. Bei d+e=6 muß Südafrika mindestens drei Tore mehr schießen als Uruguay kassiert (g+d>h+2).

Uruguay und Mexiko hätten sich auf unent­schieden einigen können, um sicher ins Achtel­finale zu kommen. Dann wäre Uruguay Gruppensieger und Mexiko müßte voraus­sichtlich gegen Argen­tinien antreten. Hoffent­lich auch fairneß­halber wurde richtig gespielt. Mexiko hat verloren (e=1,h=0), aber den zweiten Platz behalten, denn Südafrika hat mit d=1 das Ziel verfehlt.

[1] Hier ist eine gute Gelegenheit, darauf hinzueisen, daß trotz PEMDAS g+d:g weder für 1+d/g noch g+(d/g) steht, wie Schüler meinen könnten, denen ein stures inhalts­fernes zeichen­orien­tiertes Prinzip einge­bleut wurde.

In der Gruppe B konnte Griechenland am letzten Spieltag noch aus eigener Kraft gewinnen, wie man so schön und gerne sagt. Drei Tore mehr als der Gegner Argen­tinien hätten in jedem Falle ausge­reicht. Auch mehr Punkte für Grie­chen­land und Nigeria als für Argen­tinien und Südkorea jeweils zusammen. Im umge­kehrten Falle reicht es nicht. Bleiben die drei Fälle, in der beide Parteien punkt­gleich enden.

Gewinnen Nigeria und Argen­tinien, liegt Nigeria auf dem zweiten Platz hinter Argen­tinien. Spielen alle unent­schieden, so müssen Griechen und Argen­tinier mehr Tore schießen als die beiden anderen, wenn Grie­chen­land auf den zweiten Platz kommen will. Bleibt der einzig kompli­zierte Fall, daß sowohl Griechen­land g+d:g als auch Südkorea h+e:h gewinen. Mit d>2 hat Grie­chen­land das Achtel­finale erreicht. Andernfalls muß d=2 und e=1 sein.

Rehakles hatte wohl eingesehen, daß offen­sives Spiel eher zum Verlust als zum Sieg führt. Sollte er aber aber ein torloses Spiel ermauern können, könnte ein Sieg Nigerias helfen. Es ist nicht geschehen.

In Gruppe C ist es einfacher als zuvor. Wer gewinnt, ist im Halb­finale, wenn ich einmal von der unwahr­schein­lichen Möglich­keit absehe, daß Algerien g+d:g und England h+e:h gewinnen. Dann liegt England mit 5 Punk­ten auf dem ersten Platz, Slowenien und Algerien dahinter mit 4 Punk­ten. Ihre Tor­diffe­renzen sind 1−e bzw. d−1. Bei e+d>2 ist Algerien weiter. Sind aber beide Tordiffe­renzen minimal (d=e=1), müssen die geschos­senen Tore betrachtet werden. Es sind dann 3+h für Slowe­nien und g+d für Alge­rien. Da die Alge­rier die direkte Begeg­nung mit Slowe­nien verloren hatten, müssen sie in diesem Falle vier Tore mehr schießen als die Slowenen.

Der andere komplizierte Fall ist der zweier Unent­schieden. Slowenien ist dann auf dem ersten Platz. Ob der zweite an England oder die USA fällt, entscheidet die Zahl der geschos­senen Tore. Erzielen die Engländer drei mehr als die Ameri­kaner, so sind sie weiter, bei zweien ent­scheidet das Los, andern­falls fällt der zweite Platz an die USA.

Den Slowenen reicht auch unentschieden. Selbst bei Verlust kommen sie noch weiter, sofern die anderen sich unent­schieden trennen. Die USA dürfen nicht verlieren. Bei einem Unent­schieden müssen sie auf einen Sieg der Slowenen hoffen. Dann stehen die Chancen wie im zweiten Absatz beschrieben immer noch gut. Auch die Engländer dürfen nicht verlieren. Bei einem Unent­schieden müssen sie nicht nur darauf hoffen, daß die anderen sich ebenso trennen, sondern auch wie im zweiten Absatz beschrieben zwei, besser drei Tore mehr schießen. Die Algerier müssen gewinnen, was aber wie im ersten Absatz beschrieben noch keine Garantie ist.

Keines der beiden Spiele ging unent­schieden aus. Damit sind die beiden Sieger der letzten beiden Spiele punkt­gleich weiter, die USA vor England. Andere Tordiffe­renzen oder Anzahlen geschos­sener Tore als die aus den beiden minmalen 1:0 hätten nur noch die Reihen­folge vertau­schen können.

In Gruppe D inter­essiert vor allem Deutsch­land. Es reicht für das Achtel­finale, wenn wir gewinnen. Bei Verlust scheiden wir aus. Kompli­zierter ist es bei einem Unent­schieden. Gewinnt dann Serbien, sind wir raus. Ein zweites Unent­schieden zwischen Serbien und Austra­lien reicht uns.

Bleibt nur der kompli­zierte Fall: Wir spielen unentschieden g:g und Austra­lien gewinnt h+e:h. Ghana ist dann mit 5 Punk­ten auf dem ersten Platz, gefolgt von Deutsch­land und Austra­lien mit 4 Punk­ten. Die Tordifferenz beträgt 3 bzw. e−4. Eine austra­lische Tordif­ferenz e<7 bringt Deutsch­land ins Achtel­finale. Unwahr­schein­liche e>7 lassen uns scheitern. Bei e=7 ent­scheiden die geschos­senen Tore 4+g bzw. 8+h. Es reichen dann drei Tore mehr als Austra­lien kassiert.

Da es lange dauerte, bis Deutschland das einzige Tor des Spieles gegen Ghana schoß, wurde immer auf den Stand des anderen geschielt, das eben­falls lange torlos blieb. Die beiden austra­lischen Tore nahmen den Deutschen dann die Angst, durch ein einziges Gegentor Ghanas doch noch zu scheitern.

Spielen am letzten Tag die beiden erst- und die beiden letzt­plazierten Mann­schaften gegen­einander, verbleiben die Punkte aus den beiden Spielen in der jeweils eigenen Hälfte. Auch bei einer engen Lage (Spanne von 1 bis 4 Punkten) ist allenfalls damit zu rechnen, daß die beiden oberen oder die beiden unteren Plätze getauscht werden. Das ist in Gruppe A unten, in Gruppe D zweifach geschehen. Am Weiter­kommen änderte sich deshalb nichts.

Treten die Mannschaften über kreuz an (1 gegen 3 und 2 gegen 4), können die Ergeb­nisse des jeweils anderen von großer Bedeu­tung sein können. Bei enger Lage (Spanne von 1 bis 4 Punkten) sind extreme Entwick­lungen durchaus denkbar. So geschehen in der Gruppe C, in der Slowenien vom ersten auf den dritten Platz absackte und ausschied.

Der dritte und letzte Fall ist der übersichtliche, in dem die beiden äußeren und die beiden mittleren Mann­schaften gegen­einander antreten. Letztere sollten dann unter sich ausmachen können, wer weiterkommt. Vor allem bei weiter Lage (Spanne von 0 bis 6 Punkten). Das ist in Gruppe E der Fall. Die Nieder­lande sind bereits weiter, Kamerum schon ausge­schieden. Und im Mittelfeld ist es auch einfach. Gewinnt Dänemark, sind die Dänen weiter, andernfalls die Japaner. Und so ist es dann auch gekommen.

Nachdem ich die drei möglich Parungen 1–2/3–4 in Gruppen A und D, 1–3/2–4 in Gruppen B und C sowie 1–4/2–3 in der Gruppe E mit ihren im allge­meinen zu erwar­tenden Entwick­lungen betrach­tet habe, werde ich in der Gruppe F mit einer vierten Möglichkeit konfron­tiert, nämlich Gleichheit zweier Mannschaften in jeder Beziehung. Sowohl Italien als auch Neusee­land haben zweimal 1:1 gespielt. Für mich ist es der Typ 1–3/2–4, denn ich sehe Italien vor Neuseeland, weil Italien den vermeint­lich leichteren Gegner noch vor sich hat.

Obwohl der Typ 1–3/2–4 im allgemeinen verwickelte Punkt-, Diffe­renz- und Torlagen erwarten läßt, kann in Gruppe F nur in zwei von neun Fällen das Weiter­kommen nicht an den Punkten allein abgelesen werden. Gehen beide Spiele unent­schieden aus, kommt von Italien und Neuseeland die Manschaft mit dem höhreren Ergebnis weiter. Bei Gleich­heit entscheidet das Los. Gewinnen Neusee­land g+d:g und die Slowakei h+e:h, ist Italien raus und Neusee­land drin. Ist e+d>4, wird Paraguay von der Slowakei verdrängt. Bei e+d=4 entscheiden die Toran­zahlen. Das möge sich jeder selbst ausrechnen.

Paraguay ist bis auf den zuvor betrachteten unwahrscheinlich Fall weiter. Die Slowakei muß gewinnen und darf nicht dem eben beschrie­benen Fall zum Opfer fallen (sie selbst und Neuseeland gewinnen nur knapp). Für Italien und Neusee­land reichen ein Sieg, eine Nieder­lage bedeutet das Ende. Daß Italien besser dasteht als Neusee­land, sieht man im Falle eines Unent­schieden. Spielen die Italiener unent­schieden, reicht ihnen ein Verlust der Neusee­länder. Spielen die Neusee­länder unentschieden, so müssen es die Italiener ebenfalls tun. Verlieren darf Italien in diesem Falle nicht, weil dann die Slowakei auf dem zweiten Platz landet.

Gruppe G ist die einfachste. Die beiden führenden Mann­schaften spielen gegen­einander und haben sich bereits deutlich von den anderen beiden abge­setzt, die natürlich auch ein Spiel gemeinsam bestreiten müssen. Brasilien und Portugal sind weiter, Elfen­bein­küste und Nord­korea sind ausge­schieden, wenn man von einem Extremfall absieht: Brasilien gewinnt g+d:g und die Elfen­bein­küste ebenfalls mit h+e:h, was noch nicht verwundern sollte, doch mit einer gemein­samen Tordiffe­renz d+e>9. Wann auch d+e=9 reicht, kann sich der geneigte Leser selbst über­legen.

Zum einen gelang der Elfenbein­küste das erhoffte Schützen­fest nicht, zum anderen legte Brasilien sich nicht ins Zeug. So blieb alles, wie es war.

In der letzten Gruppe H gibt es noch einige Problem­fälle, nämlich wenn Spanien und die Schweiz gleich viele Punkte erzielen. Gehen beide Spiele unent­schieden aus, benötigt die Schweiz ein Diffe­renztor mehr als Spanien, zwei brächten sie auf die sichere Seite. Inter­essant wird es, wenn sowohl Spanien als auch die Schweiz beide gewinnen oder verlieren.

Verlieren sowohl Spanien g:g+d als auch die Schweiz h:h+e, haben drei Mann­schaften je drei Punkte. Dann ent­scheiden die Tordif­ferenzen. Für Spanien, die Schweiz und Honduras sind es 1−d, −e bzw. e−3. Ein Sieg mit zwei Toren Vorsprung reichen Honduras in diesem Falle für das Achtelfinale.

Gewinnen sowohl Spanien g+d:g als auch die Schweiz h+e:h, haben drei Mannschaften sechs Punkte. Die Tordif­ferenzen für Chile, Spanien und die Schweiz lauten dann 2−d, 1+d bzw. e. Spanien ist weiter, weil in jedem Falle 1+d>2−d ist. Aber die Schweiz verdrängt den Tabellen­führer Chile nur, wenn d+e>2 wird. Bei d+e=2, also d=e=1 ent­scheidet die Zahl der geschos­senen Tore.

Beinahe ist es dazu gekommen. Spanien besiegt Chile mit 2:1 (d=1,g=1) und ist dank einer Tordifferenz von 1+d=2 weiter, denn die Chilenen verfügen nur über eine Tordif­ferenz von 2−d=1. Die Schweiz könnte beide über­flügeln, doch nur Chile aus dem Achtel­finale verdrängen. Dazu muß sie natürlich gewinnen. Geschähe dies mit e>1 Toren Vosprung (d+e>2), hätte die Schweiz eine Tordif­ferenz von ebenfalls e>1 und wäre weiter. Schafft sie nur e=1 und spielt h+1:h, so hat sie mit 1 die gleiche Tordif­ferenz wie Chile. Dann ent­scheiden die geschos­senen Tore. Für Chile sind es 3, für die Schweiz h+2 Treffer. Unzureichend für die Schweiz wären also die Siege 1:0 (h=0) und 2:1 (h=1). Doch dazu hat sie es nicht kommen lassen und sich mit unent­schieden aus dem Turnier verab­schiedet.