PEMDAS
wuerg, 17.08.2025 16:57
Mein Leben lang hatte ich keine Probleme mit der Auswertung arithmetischer Ausdücke, in denen Zahlen, Plus-, Minus-, Mal- und Geteiltzeichen, Bruchstriche, Hochzahlen, Wurzeln und vieles andere mehr vorkamen, auch wenn sie unvollständig geklammert waren, denn im allgemeinen ergibt sich das von selbst, wenn man die Schule durchläuft.
Natürlich kenne ich nicht nur Sprüche wie „rechts vor links“ und „erst links, dann rechts, dann geradeaus, so kommst du sicher gut nach Haus“, sondern auch „Punkt vor Strich“. Aus ihnen leite ich nicht mein Verhalten ab. Vielmehr ist es umgekehrt. Die Erfahrung aus dem Rechtsverkehr lehrt mich, was günstig ist. Wenn ich in der Eile durchaus Strich vor Punkt sage oder gar denke, so siegt doch schnell die verinnerlichte Realität, Übereinkunft, Gepflogenheit.
Bei manchen scheint es umgekehrt zu sein. Sie müssen blöde Regeln erlernen, um dank ihrer zum korrekten Verhalten oder Ergebnis zu kommen. Ich will mich nicht über sie lustig machen, denn ich bin nicht aus bürgerlichem Hause, da man „mit, nach, von, zu, bei, aus“ nebst „durch, für, ohne, um, gegen“ nicht lernen muß, um mir und mich nicht zu verwechseln. Gleich „Punkt vor Strich“ reicht das allein nicht aus.
So wie es keinen Grund gibt, aus mir oder mich deucht, einen Grundsatzstreit zu machen, ist auch 8÷2(2+2) keine Denksportaufgabe, deren vermeintlich korrekte Auswertung nicht auf 1, sondern 16 zu führen hat, weil PEMDAS zu beachten sei. Das bedeutet „Parenthesis, Exponentiation, Multiplication, Division, Addition, Subtraction“ und kommt dem amerikanischen Hang zu bedeutungsschwangeren Abkürzungen nach, deren Buchstaben über den Inhalt hinaus auch noch zu lernen sind: Please Excuse My Dear Aunt Sally.
Doch löst PEMDAS allein das Problem nicht, denn es ist nicht nur zusätzlich zu lernen, daß M und D, aber auch A und S gleichberechtigt sind. Außerdem ist P keine Operation und gesondert zu verstehen. Von E will ich gar nicht reden. Auch nicht von − als Negation, einer einstelligen Operation, die auf das additive Inverse abbildet. Zudem wird nichts ausgesagt über die Reihenfolge der Ausführung. Weil Addition und Subtraktion in der Sprechreihenfolge, also von links nach rechts auszuführen sind, muß es doch bei der Multiplikation nicht ebenso sein, schließlich steht der Multiplikator links vom Multiplikanden, und Lehrer werten 5⋅3=5+5+5 schon mal als falsch.
Inzwischen haben sich neben den Besserwissern auch die Vernünftigen zu ‚viral gehenden‘ Aufgaben wie 8÷2(2+2) zu Wort gemeldet. Sie weisen auf den fehlenden Multiplikationspunkt hin, was Taschenrechner durchaus zum Ergebnis 1 bringen kann. Vor allem aber bemerken sie, daß es keine mathematische Frage ist, allenfalls eine der je nach Geschmack korrekten Linearisierung von Ausdrücken. Mathematiker bevorzugen nicht nur eindeutige, sondern auch schöne Darstellungen. Keiner würde 1/2x² als x²/2 oder ½x² sehen. Vernünftigerweise verwendet man ungeklammert nur höchstens ein Divisionszeichen und sieht ein solches als linearisierten Bruchstrich.
Ich bitte um Entschuldigung, mich hier nochmals darüber aufgeregt zu haben. Es mußte aber sein, denn mit so blöden Aufgaben wie 8÷2(2+2) wird vor allem mit der selbstgefälligen Lösung 16 der Mathematik ein Bärendienst erwiesen. Man reiht sich ein in die Riege der Clickbaiter, die mit abartigen Konstrukten geringer mathematischer Relevanz verarschen oder glänzen wollen.
8:2(2+2)
Natürlich kenne ich nicht nur Sprüche wie „rechts vor links“ und „erst links, dann rechts, dann geradeaus, so kommst du sicher gut nach Haus“, sondern auch „Punkt vor Strich“. Aus ihnen leite ich nicht mein Verhalten ab. Vielmehr ist es umgekehrt. Die Erfahrung aus dem Rechtsverkehr lehrt mich, was günstig ist. Wenn ich in der Eile durchaus Strich vor Punkt sage oder gar denke, so siegt doch schnell die verinnerlichte Realität, Übereinkunft, Gepflogenheit.
Bei manchen scheint es umgekehrt zu sein. Sie müssen blöde Regeln erlernen, um dank ihrer zum korrekten Verhalten oder Ergebnis zu kommen. Ich will mich nicht über sie lustig machen, denn ich bin nicht aus bürgerlichem Hause, da man „mit, nach, von, zu, bei, aus“ nebst „durch, für, ohne, um, gegen“ nicht lernen muß, um mir und mich nicht zu verwechseln. Gleich „Punkt vor Strich“ reicht das allein nicht aus.
So wie es keinen Grund gibt, aus mir oder mich deucht, einen Grundsatzstreit zu machen, ist auch 8÷2(2+2) keine Denksportaufgabe, deren vermeintlich korrekte Auswertung nicht auf 1, sondern 16 zu führen hat, weil PEMDAS zu beachten sei. Das bedeutet „Parenthesis, Exponentiation, Multiplication, Division, Addition, Subtraction“ und kommt dem amerikanischen Hang zu bedeutungsschwangeren Abkürzungen nach, deren Buchstaben über den Inhalt hinaus auch noch zu lernen sind: Please Excuse My Dear Aunt Sally.
Doch löst PEMDAS allein das Problem nicht, denn es ist nicht nur zusätzlich zu lernen, daß M und D, aber auch A und S gleichberechtigt sind. Außerdem ist P keine Operation und gesondert zu verstehen. Von E will ich gar nicht reden. Auch nicht von − als Negation, einer einstelligen Operation, die auf das additive Inverse abbildet. Zudem wird nichts ausgesagt über die Reihenfolge der Ausführung. Weil Addition und Subtraktion in der Sprechreihenfolge, also von links nach rechts auszuführen sind, muß es doch bei der Multiplikation nicht ebenso sein, schließlich steht der Multiplikator links vom Multiplikanden, und Lehrer werten 5⋅3=5+5+5 schon mal als falsch.
Inzwischen haben sich neben den Besserwissern auch die Vernünftigen zu ‚viral gehenden‘ Aufgaben wie 8÷2(2+2) zu Wort gemeldet. Sie weisen auf den fehlenden Multiplikationspunkt hin, was Taschenrechner durchaus zum Ergebnis 1 bringen kann. Vor allem aber bemerken sie, daß es keine mathematische Frage ist, allenfalls eine der je nach Geschmack korrekten Linearisierung von Ausdrücken. Mathematiker bevorzugen nicht nur eindeutige, sondern auch schöne Darstellungen. Keiner würde 1/2x² als x²/2 oder ½x² sehen. Vernünftigerweise verwendet man ungeklammert nur höchstens ein Divisionszeichen und sieht ein solches als linearisierten Bruchstrich.
Ich bitte um Entschuldigung, mich hier nochmals darüber aufgeregt zu haben. Es mußte aber sein, denn mit so blöden Aufgaben wie 8÷2(2+2) wird vor allem mit der selbstgefälligen Lösung 16 der Mathematik ein Bärendienst erwiesen. Man reiht sich ein in die Riege der Clickbaiter, die mit abartigen Konstrukten geringer mathematischer Relevanz verarschen oder glänzen wollen.
8:2(2+2)
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wuerg,
12.09.2025 21:39
Was mich an PEMDAS an meisten stört, ist die selbstgefällige Behauptung, die ‚Punktrechnung‘ habe fraglos von links nach rechts zu erfolgen. Das mag für eine Division richtig sein, zumal der Divisor rechts vom Dividenden steht. Bei der Multiplikation ist es aber umgekehrt. Hier steht der Multiplikator links, der Multiplikand rechts.
Diese Weisheit wird gerne als unumstößlich von Lehrern verbreitet, die 5⋅3=5+5+5 als falsch werten [1], aber gleichzeitig PEMDAS predigen und im schriftlichen Multiplikationsverfahren ebenfalls den Multiplikator mit den Ziffern des Multiplikanden malnehmen. Auch ohne Division kann jeder zwischen vier mehr oder minder sinnvollen Varianten wählen:
2⋅3⋅4 = 2⋅(3⋅4) = 2⋅(4+4+4) = 2⋅12 = 12+12 = 24
2⋅3⋅4 = 2⋅(3⋅4) = 2⋅(3+3+3+3) = 2⋅12 = 2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2 = 24
2⋅3⋅4 = (2⋅3)⋅4 = (3+3)⋅4 = 6⋅4 = 4+4+4+4+4+4 = 24
2⋅3⋅4 = (2⋅3)⋅4 = (2+2+2)⋅4 = 6⋅4 = 6+6+6+6 = 24
Es soll auch vorwitzige Schüler geben, die auf die Frage, was denn 5 mal 3 sei, antworten: 5 mal 3 ist 3 mal 5, da ja das Kommutativgesetz für die Multiplkation gilt. Lustig wäre auch die Antwort 5⋅3=1+2+3+4+5.
[1] Warum 5+5+5=15 nicht immer richtig ist. Welt, 29.10.2015.
Diese Weisheit wird gerne als unumstößlich von Lehrern verbreitet, die 5⋅3=5+5+5 als falsch werten [1], aber gleichzeitig PEMDAS predigen und im schriftlichen Multiplikationsverfahren ebenfalls den Multiplikator mit den Ziffern des Multiplikanden malnehmen. Auch ohne Division kann jeder zwischen vier mehr oder minder sinnvollen Varianten wählen:
2⋅3⋅4 = 2⋅(3⋅4) = 2⋅(4+4+4) = 2⋅12 = 12+12 = 24
2⋅3⋅4 = 2⋅(3⋅4) = 2⋅(3+3+3+3) = 2⋅12 = 2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2 = 24
2⋅3⋅4 = (2⋅3)⋅4 = (3+3)⋅4 = 6⋅4 = 4+4+4+4+4+4 = 24
2⋅3⋅4 = (2⋅3)⋅4 = (2+2+2)⋅4 = 6⋅4 = 6+6+6+6 = 24
Es soll auch vorwitzige Schüler geben, die auf die Frage, was denn 5 mal 3 sei, antworten: 5 mal 3 ist 3 mal 5, da ja das Kommutativgesetz für die Multiplkation gilt. Lustig wäre auch die Antwort 5⋅3=1+2+3+4+5.
[1] Warum 5+5+5=15 nicht immer richtig ist. Welt, 29.10.2015.
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wuerg,
31.01.2026 20:28
Ich habe mich entschieden, diesen Kommentar nicht unter Spieltheorie anzufügen, obgleich er sich mit den Einlassungen von Prof. Rieck beschäftigt. Unter dem Schlagwort Untertanenmathematik beschäftigt er sich mit der Schulaufgabe [1]
Wer nach der achten Klasse mit dem Rechnen geistig-moralisch abgeschlossen hat, dem mag die Bewertung der Lösungen ungerecht erscheinen. Ich aber gehe davon aus, daß im Unterricht lang und breit über Multiplikator und Multiplikand geredet wurde. [2] Und hätte der Schüler zunächst die ‚Plus‘aufgabe gelöst, wäre wahrscheinlich auch seine ‚Mal‘aufgabe richtig als 4⋅5 ausgefallen. [3] Es handelt sich wohl nicht um Spitzfindigkeiten, vielmehr sollte die Gewöhnung an mathematische Konventionen überprüft werden. [4] Die sind wie sprachliche und alltägliche nicht willkürlich, sondern geschichtlich gewachsen, sozial vereinbart. Das zu lernen schadet nicht.
Herr Rieck betrachtet drei Ebenen: Auf der mathematischen weist er im wesentlichen auf das Kommutativgesetz hin, hält also 5⋅4 für richtig. Auf der physikalischen Ebene verrennt er sich mit Zeilen wie 4 [Hände] × 5 [Finger/Hand] = 20 [Finger] auf ein Gebiet, das die Grundschule übersteigt. [5] Und in der dritten didaktischen Ebene sagt er zurecht, daß gute Didaktik darin besteht, Sachverhalte gut zu erklären. So darf man meines Erachtens in der dritten Klasse schon einmal sagen, daß 4⋅5 für 5+5+5+5 und 5⋅4 für 4+4+4+4+4 steht. Und in der 4. Klasse, daß es trotz dieser Auffassung einfacher und üblich ist, im schriftlichen Multiplikationsverfahren den linken Multiplikator mit dem rechten Multiplikanden zu verhackstücken.
[1] Christian Rieck: Untertanenmathematik: Grundschule auf Abwegen. Youtube, 14.10.2023. Wer keine keine Hände angezeigt bekommt, der möge sich vier linke denken. Falls doch, vom Daumen auf der falschen Seite abstrahieren, da es für die Aufgabe keine Rolle spielt, gleichwohl es letztlich um links und rechts geht.
[2] Man mag alles wegen der Vertauschbarkeit für richtig halten, doch ist es üblich, den Multiplikator links zu sehen als ‚wirke‘ er auf den Multiplikanden wie bei f(x) die Funktion f auf das Argument x.
[3] Originellerweise weist Herr Rieck darauf hin, daß der Schüler ‚entgehen‘ der Aufgabenstellung zunächst die Mal- und dann die Plusaufgabe zu lösen versuchte. Im Sprachbereich durfte also die Vertauschbarkeit ausgenutzt werden. Auch kleine Schwächen des Lehrers wie Punkt statt Ausrufezeichen und “Plus -“ statt “Plus-“ waren wohl unerheblich.
[4] Was ist h□=ℵ□﬩γ□? Der Satz des Pythagoras mit den Längen h, ℵ und γ für die Hypotenuse und die beiden Katheten sowie einem hochgestellten Quadrat als zweite Potenz und dem alternativen hebräischen Pluszeichen.
[5] Richtig ist 4 Hand × 5 Finger/Hand = 20 Finger, also ohne eckige Klammern. Das altertümliche s[m] steht allenfalls für s/m, also die Strecke s in Metern. Demnach wären 4 [Hand] (Maßeinheiten immer im Singular) nicht vier Hände, sondern die Anzahl der Hände, die in 4 stecken. In den Gleichungen des Herrn Rieck sind die eckigen Klammer wohl reine Dekoration.
Schreibe die dazugehörige Plus - und Malaufgabe.
4⋅5
🖐 🖐 🖐 🖐 5⋅4 𝒻
5+5+5+5=20 ✓
Er beklagt, daß über solche Mätzchen mit gleicher Vehmenz und apodiktischer Selbstgefälligkeit wie im derzeitigen politischen Leben gestritten wird. Nur sehe ich keine Untertanen-Mathematik, allenfalls einen Wettstreit der Taschenrechner-Mathematik gemäß PEMDAS von links nach rechts und der nicht nur in der Grundschule, sondern auch der Universität umgekehrten Tradition.Wer nach der achten Klasse mit dem Rechnen geistig-moralisch abgeschlossen hat, dem mag die Bewertung der Lösungen ungerecht erscheinen. Ich aber gehe davon aus, daß im Unterricht lang und breit über Multiplikator und Multiplikand geredet wurde. [2] Und hätte der Schüler zunächst die ‚Plus‘aufgabe gelöst, wäre wahrscheinlich auch seine ‚Mal‘aufgabe richtig als 4⋅5 ausgefallen. [3] Es handelt sich wohl nicht um Spitzfindigkeiten, vielmehr sollte die Gewöhnung an mathematische Konventionen überprüft werden. [4] Die sind wie sprachliche und alltägliche nicht willkürlich, sondern geschichtlich gewachsen, sozial vereinbart. Das zu lernen schadet nicht.
Herr Rieck betrachtet drei Ebenen: Auf der mathematischen weist er im wesentlichen auf das Kommutativgesetz hin, hält also 5⋅4 für richtig. Auf der physikalischen Ebene verrennt er sich mit Zeilen wie 4 [Hände] × 5 [Finger/Hand] = 20 [Finger] auf ein Gebiet, das die Grundschule übersteigt. [5] Und in der dritten didaktischen Ebene sagt er zurecht, daß gute Didaktik darin besteht, Sachverhalte gut zu erklären. So darf man meines Erachtens in der dritten Klasse schon einmal sagen, daß 4⋅5 für 5+5+5+5 und 5⋅4 für 4+4+4+4+4 steht. Und in der 4. Klasse, daß es trotz dieser Auffassung einfacher und üblich ist, im schriftlichen Multiplikationsverfahren den linken Multiplikator mit dem rechten Multiplikanden zu verhackstücken.
[1] Christian Rieck: Untertanenmathematik: Grundschule auf Abwegen. Youtube, 14.10.2023. Wer keine keine Hände angezeigt bekommt, der möge sich vier linke denken. Falls doch, vom Daumen auf der falschen Seite abstrahieren, da es für die Aufgabe keine Rolle spielt, gleichwohl es letztlich um links und rechts geht.
[2] Man mag alles wegen der Vertauschbarkeit für richtig halten, doch ist es üblich, den Multiplikator links zu sehen als ‚wirke‘ er auf den Multiplikanden wie bei f(x) die Funktion f auf das Argument x.
[3] Originellerweise weist Herr Rieck darauf hin, daß der Schüler ‚entgehen‘ der Aufgabenstellung zunächst die Mal- und dann die Plusaufgabe zu lösen versuchte. Im Sprachbereich durfte also die Vertauschbarkeit ausgenutzt werden. Auch kleine Schwächen des Lehrers wie Punkt statt Ausrufezeichen und “Plus -“ statt “Plus-“ waren wohl unerheblich.
[4] Was ist h□=ℵ□﬩γ□? Der Satz des Pythagoras mit den Längen h, ℵ und γ für die Hypotenuse und die beiden Katheten sowie einem hochgestellten Quadrat als zweite Potenz und dem alternativen hebräischen Pluszeichen.
[5] Richtig ist 4 Hand × 5 Finger/Hand = 20 Finger, also ohne eckige Klammern. Das altertümliche s[m] steht allenfalls für s/m, also die Strecke s in Metern. Demnach wären 4 [Hand] (Maßeinheiten immer im Singular) nicht vier Hände, sondern die Anzahl der Hände, die in 4 stecken. In den Gleichungen des Herrn Rieck sind die eckigen Klammer wohl reine Dekoration.
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