Zahlwort

Täglich lasse ich mir zusenden, was Google zum Stichwort Mathematik neu zu vermelden hat. Zumeist geht es um irgendwelche Schulsieger, gelegentlich aber auch um sog. Sportmathematik. Selten theoretischen Betrachtungen oder komplizierte Berechnungen, sondern zumeist irgendwelche Punkte­zählungen, vornehmlich zur Formel 1.

Da ist es schon interessanter, sich am letzten Spieltag einer Gruppe zur Fußball­welt­meister­schaft zu überlegen, welche Plätze unter welchen Umständen noch möglich sind. Zumeist ist es einfach, und es wird nicht wirklich Mathematik benötigt, doch stehen immerhin noch zwei Ergebnisse mit vier nicht­negativen ganzen Zahlen aus, daß die Gewinnzone nicht immer mit einem kurzen Satz umrissen werden kann.

In der Gruppe A sah es am Morgen des letzten Spieltages für Frankreich schlecht aus. Um das Achtelfinale zu erreichen, muß das Spiel gegen Südafrika nicht nur gewonnen werden. Zusätzlich dürfen Uruguay und Mexiko sich nicht unentschieden trennen. Es reicht auch nicht, wenn beide Spiele knapp ausgehen.

Frankreich verdrängt Mexiko, wenn sowohl Frankreich (g+d:g) als auch Uruguay (h+e:h) gewinnen und die gemeinsame Tordifferenz d+e>4 ist. Bei d+e=4 muß Frankreich mindestens vier Tore mehr schießen als Uruguay kassiert (g+d>h+3).

Frankreich verdrängt Uruguay, wenn sowohl Frankreich (g+d:g) als auch Mexiko (h+e:h) gewinnen und die gemeinsame Tordifferenz d+e>5 ist. Bei d+e=5 reicht es für Frankreich, vier Tore mehr zu schießen als Mexiko kassiert (g+d>h+3). Sollten es drei (g+d=h+3) sein, entscheidet das Los.

Für Südafrika standen die Aktien noch ein bißchen schlechter als für Frankreich. Um das Achtelfinale zu erreichen, muß das Spiel gegen Frankreich nicht nur gewonnen werden. Zusätzlich dürfen Uruguay und Mexiko sich nicht unentscheiden trennen. Es reicht auch nicht, wenn beide Spiele knapp ausgehen.

Südafrika verdrängt Mexiko, wenn sowohl Südafrika (g+d:g) als auch Uruguay (h+e:h) gewinnen und die gemeinsame Tordifferenz d+e>5 ist. Bei d+e=5 reicht es für Südafrika, drei Tore mehr zu schießen als Mexiko kassiert (g+d>h+2). Sollten es zwei sein (g+d=h+2) sein, entscheidet das Los.

Südafrika verdrängt Uruguay, wenn sowohl Südafrika (g+d:g) als auch Mexiko (h+e:h) gewinnen und die gemeinsame Tordifferenz d+e>6 ist. Bei d+e=6 muß Südafrika mindestens drei Tore mehr schießen als Uruguay kassiert (g+d>h+2).

Uruguay und Mexiko hätten sich auf unentschieden einigen können, um sicher ins Achtelfinale zu kommen. Dann wäre Uruguay Gruppensieger und Mexiko müßte voraussichtlich gegen Argentinien antreten. Hoffentlich auch fairneßhalber wurde richtig gespielt. Mexiko hat verloren (e=1,h=0), aber den zweiten Platz behalten, denn Südafrika hat mit d=1 das Ziel verfehlt.

In der Gruppe B konnte Griechenland am letzten Spieltag noch aus eigener Kraft gewinnen, wie man so schön und gerne sagt. Drei Tore mehr als der Gegner Argentinien hätten in jedem Falle ausgereicht. Auch mehr Punkte für Griechenland und Nigeria als für Argentinien und Südkorea jeweils zusammen. Im umgekehrten Falle reicht es nicht. Bleiben die drei Fälle, in der beide Parteien punktgleich enden.

Gewinnen Nigeria und Argentinien, liegt Nigeria auf dem zweiten Platz hinter Argentinien. Spielen alle unentschieden, so müssen Griechen und Argentinier mehr Tore schießen als die beiden anderen, wenn Griechenland auf den zweiten Platz kommen will. Bleibt der einzig komplizierte Fall, daß sowohl Griechenland (g+d:g) als auch Südkorea (h+e:h) gewinen. Mit d>2 hat Griechenland das Achtelfinale erreicht. Andernfalls muß d=2 und e=1 sein.

Rehakles hatte wohl eingesehen, daß offensives Spiel eher zum Verlust als zum Sieg führt. Sollte er aber aber ein torloses Spiel ermauern können, könnte ein Sieg Nigerias helfen. Es ist nicht geschehen.

In Gruppe C ist es einfacher als zuvor. Wer gewinnt, ist im Halbfinale, wenn ich einmal von der unwahrscheinlichen Möglichkeit absehe, daß Algerien (g+d:g) und England (h+e:h) gewinnen. Dann liegt England mit 5 Punkten auf dem ersten Platz, Slowenien und Algerien dahinter mit 4 Punkten. Ihre Tordifferenzen sind 1-e bzw. d-1. Bei e+d>2 ist Algerien weiter. Sind aber beide Tordifferenzen minimal (d=e=1), müssen die geschossenen Tore betrachtet werden. Es sind dann 3+h für Slowenien und g+d für Algerien. Da die Algerier die direkte Begegnung mit Slowenien verloren hatten, müssen sie in diesem Falle vier Tore mehr schießen als die Slowenen.

Der andere komplizierte Fall ist der zweier Unentschieden. Slowenien ist dann auf dem ersten Platz. Ob der zweite an England oder die USA fällt, entscheidet die Zahl der geschossenen Tore. Erzielen die Engländer drei mehr als die Amerikaner, so sind sie weiter, bei zweien entscheidet das Los, andernfalls fällt der zweite Platz an die USA.

Den Slowenen reicht auch unentschieden. Selbst bei Verlust kommen sie noch weiter, sofern die anderen sich unentschieden trennen. Die USA dürfen nicht verlieren. Bei einem Unentschieden müssen sie auf einen Sieg der Slowenen hoffen. Dann stehen die Chancen wie im zweiten Absatz beschrieben immer noch gut. Auch die Engländer dürfen nicht verlieren. Bei einem Unentschieden müssen sie nicht nur darauf hoffen, daß die anderen sich ebenso trennen, sondern auch wie im zweiten Absatz beschrieben zwei, besser drei Tore mehr schießen. Die Algerier müssen gewinnen, was aber wie im ersten Absatz beschrieben noch keine Garantie ist.

Keines der beiden Spiele ging unentschieden aus. Damit sind die beiden Sieger der letzten beiden Spiele punktgleich weiter, die USA vor England. Andere Tordiffrenzen oder Anzahlen geschossener Tore als die aus den beiden minmalen 1:0 hätten nur noch die Reihenfolge vertauschen können.

In Gruppe D interessiert vor allem Deutschland. Es reicht für das Achtelfinale, wenn wir gewinnen. Bei Verlust scheiden wir aus. Komplizierter ist es bei einem Unentschieden. Gewinnt dann Serbien, sind wir raus. Ein zweites Unentschieden zwischen Serbien und Australeien reicht uns.

Bleibt nur der komplizierte Fall: Wir spielen unentschieden (g:g) und Australien gewinnt (h+e:h). Ghana ist dann mit 5 Punkten auf dem ersten Platz, gefolgt von Deutschland und Australien mit 4 Punkten. Die Tordifferenz beträgt 3 bzw. e-4. Eine australische Tordifferenz e<7 bringt Deutschland ins Achtelfinale. Unwahrscheinliche e>7 lassen uns scheitern. Bei e=7 entscheiden die geschossenen Tore 4+g bzw. 8+h. Es reichen dann drei Tore mehr als Australien kassiert.

Da es lange dauerte, bis Deutschland das einzige Tor des Spieles gegen Ghana schoß, wurde immer auf den Stand des anderen geschielt, das ebenfalls lange torlos blieb. Die beiden australischen Tore nahmen den Deutschen dann die Angst, durch ein einziges Gegentor Ghanas doch noch zu scheitern.

Spielen am letzten Tag die beiden erst- und die beiden letztplazierten Mannschaften gegeneinander, verbleiben die Punkte aus den beiden Spielen in der jeweils eigenen Hälfte. Auch bei einer engen Lage (Spanne von 1 bis 4 Punkten) ist allenfalls damit zu rechnen, daß die beiden oberen oder die beiden unteren Plätze getauscht werden. Das ist in Gruppe A unten, in Gruppe D zweifach geschehen. Am Weiterkommen änderte sich deshalb nichts.

Treten die Mannschaften über kreuz an (1 gegen 3 und 2 gegen 4), können die Ergebnisse des jeweils anderen von großer Bedeutung sein können. Bei enger Lage (Spanne von 1 bis 4 Punkten) sind extreme Entwicklungen durchaus denkbar. So geschehen in der Gruppe C, in der Slowenien vom ersten auf den dritten Platz absackte und ausschied.

Der dritte und letzte Fall ist der übersichtliche, in dem die beiden äußeren und die beiden mittleren Mannschaften gegeneinander antreten. Letztere sollten dann unter sich ausmachen können, wer weiterkommt. Vor allem bei weiter Lage (Spanne von 0 bis 6 Punkten).

Das ist in Gruppe E der Fall. Die Niederlande sind bereits weiter, Kamerum schon ausgeschieden. Und im Mittelfeld ist es auch einfach. Gewinnt Dänemark, sind die Dänen weiter, andernfalls die Japaner. Und so ist es dann auch gekommen.

Nachdem ich die drei möglich Parungen 1-2/3-4 in Gruppen A und D, 1-3/2-4 in Gruppen B und C sowie 1-4/2-3 in der Gruppe E mit ihren im allgemeinen zu erwartenden Entwicklungen betrachtet habe, werde ich in der Gruppe F mit einer vierten Möglichkeit konfrontiert, nämlich Gleichheit zweier Mannschaften in jeder Beziehung. Sowohl Italien als auch Neuseeland haben zweimal 1:1 gespielt. Für mich ist es der Typ 1-3/2-4, denn ich sehe Italien vor Neuseeland, weil Italien den vermeintlich leichteren Gegner noch vor sich hat.

Obwohl der Typ 1-3/2-4 im allgemeinen verwickelte Punkt-, Differenz- und Torlagen erwarten läßt, kann in Gruppe F nur in zwei von neun Fällen das Weiterkommen nicht an den Punkten allein abgelesen werden. Gehen beide Spiele unentschieden aus, kommt von Italien und Neuseeland die Manschaft mit dem höhreren Ergebnis weiter. Bei Gleichheit entscheidet das Los. Gewinnen Neuseeland (g+d:g) und die Slowakei (h+e:h), ist Italien raus und Neuseeland drin. Ist e+d>4, wird Paraguay von der Slowakei verdrängt. Bei e+d=4 entscheiden die Toranzahlen. Das möge sich jeder selbst ausrechnen.

Paraguay ist bis auf den zuvor betrachteten unwahrscheinlich Fall weiter. Die Slowakei muß gewinnen und darf nicht dem eben beschriebenen Fall zum Opfer fallen (sie selbst und Neuseeland gewinnen nur knapp). Für Italien und Neuseeland reichen ein Sieg, eine Niederlage bedeutet das Ende. Daß Italien besser dasteht als Neuseeland, sieht man im Falle eines Unentschieden. Spielen die Italiener unentschieden, reicht ihnen ein Verlust der Neuseeländer. Spielen die Neuseeländer unentschieden, so müssen es die Italiener ebenfalls tun. Verlieren darf Italien in diesem Falle nicht, weil dann die Slowakei auf dem zweiten Platz landet.

Gruppe G ist die einfachste. Die beiden führenden Mannschaften spielen gegeneinander und haben sich bereits deutlich von den anderen beiden abgesetzt, die natürlich auch ein Spiel gemeinsam bestreiten müssen. Brasilien und Portugal sind weiter, Elfenbeinküste und Nordkorea sind ausgeschieden, wenn man von einem Extremfall absieht: Brasilien (g+d:g) und Elfenbeinküste (h+e:h) gewinnen, was noch nicht verwundern sollte, doch mit einer gemeinsamen Tordifferenz d+e>9. Wann auch d+e=9 reicht, kann sich der geneigte Leser selbst überlegen.

Zum einen gelang der Elfenbeinküste das erhoffte Schützenfest nicht, zum anderen legte Brasilien sich nicht ins Zeug. So blieb alles, wie es war.

In der letzten Gruppe H gibt es noch einige Problemfälle, nämlich wenn Spanien und die Schweiz gleich viele Punkte erzielen. Gehen beide Spiele unentschieden aus, benötigt die Schweiz ein Differenztor mehr als Spanien, zwei brächten sie auf die sichere Seite. Interessant wird es, wenn sowohl Spanien als auch die Schweiz gewinnen oder verlieren.

Verlieren sowohl Spanien (g:g+d) als auch die Schweiz (h:h+e), haben drei Mannschaften je drei Punkte. Dann entscheiden die Tordifferenzen. Für Spanien, die Schweiz und Honduras sind es 1-d, -e bzw. e-3. Ein Sieg mit zwei Toren Vorsprung reichen Honduras in diesem Falle für das Achtelfinale.

Gewinnen sowohl Spanien (g+d:g) als auch die Schweiz (h+e:h), haben drei Mannschaften sechs Punkte. Die Tordifferenzen für Chile, Spanien und die Schweiz lauten dann 2-d, 1+d bzw. e. Spanien ist weiter, weil in jedem Falle 1+d>2-d ist. Aber die Schweiz verdrängt den Tabellenführer Chile, wenn d+e>2 wird. Bei d+e=2, also d=e=1 entscheidet die Zahl der geschossenen Tore.

Beinahe ist es dazu gekommen. Spanien besiegt Chile mit 2:1 (d=1,g=1) und ist dank einer Tordifferenz von 1+d=2 weiter, denn die Chilenen verfügen nur über eine Tordifferenz von 2-d=1. Die Schweiz könnte beide überflügeln, doch nur Chile aus dem Achtelfinale verdrängen. Dazu muß sie natürlich gewinnen. Geschähe dies mit e>1 Toren Vosprung (d+e>2), hätte die Schweiz eine Tordifferenz von ebenfalls e>1 und wäre weiter. Schafft sie nur e=1 und spielt h+1:h, so hat sie mit 1 die gleiche Tordifferenz wie Chile. Dann entscheiden die geschossenen Tore. Für Chile sind es 3, für die Schweiz h+2 Treffer. Unzureichend für die Schweiz wären also die Siege 1:0 (h=0) und 2:1 (h=1). Doch dazu hat sie es nicht kommen lassen und sich mit unentschieden aus dem Turnier verabschiedet.