Zahlwort

Meine Einlassungen zur Zahl 73 samt ihren Bezie­hungen zur 37 begin­nen mit

  A B
+ A B
-   1
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  B A
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als einer leicht zu lösen­den Aufgabe. Aus der Zehner­stelle folgt B>A, weshalb die Addi­tion einen Über­trag haben muß. Damit ist A=B−11 für die Einer­stelle und B=2A+1 für die Zehner­stelle. Die einzige Lösung ist A=3 und B=7. Wie aber sieht es mit einer größe­ren Auf­gabe wie

  A B C D E F G H
+ A B C D E F G H
-               1
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  H G F E D C B A

aus? Erneut folgt aus der vorder­sten Stelle H>A, weshalb wiederum aus der Einerstelle ein Übertrag entstehen muß und A=2H−9 gilt. Nur weiß man nun nicht sofort, ob auch ein Über­trag in die vor­derste Stelle erfolgt. Deshalb sind die beiden Fälle H=2A und H=2A+1 zu unter­schei­den. Glück­licher­weise hat nur der letztere Fall mit dem Über­trag eine Lösung, daß wieder A=3 und H=7 sein muß. Damit können wir uns zur Mitte hin vorar­beiten: Für für die zweite Stelle gilt 2B=G+10 oder 2B+1=G+10, für die zweit­letzte 2G+1=B oder 2G+1=B+10. Nur die beiden rech­ten Mög­lich­keiten, die einen Über­trag durch­reichen, liefern eine Lösung B=G=9. Mit der gleichen Argu­menta­tion folgt C=F=9 und schließlich D=E=9. Auch bei unge­rader Stel­len­zahl gibt es keine Pro­bleme. Damit sind die einzigen Lösun­gen für y=2x−1 mit gespie­gelten Zahlen x und y zu n Zif­fern:

x = 4 ⋅ 10n−1 − 3 = 4 ⋅ (10n−1−1) + 1 = 36⋅(10n−1−1)/9 + 1
  = 4 ⋅ 10..0 − 3 = 4 ⋅ 999..999  + 1 = 36 ⋅ 111..111  + 1
  = 3999...9997   = 3999...9996   + 1 =  6 ⋅ 666..666  + 1

y = 8 ⋅ 10n−1 − 7 = 8 ⋅ (10n−1−1) + 1 = 72⋅(10n−1−1)/9 + 1
  = 8 ⋅ 10..0 − 7 = 8 ⋅ 999..999  + 1 = 72 ⋅ 111..111  + 1
  = 7999...9993   = 7999...9992   + 1 = 12 ⋅ 666..666  + 1

Abermals ist über 7993=12⋅666+1 die Zahl 666 im Geschäft. Das sind alles nette Ziffern­spiele­reien, die nur von Wert sein können, wenn weitere schöne Eigen­schaf­ten hinzu­treten. Man kann sie zur Ver­wunde­rung arg­loser Menschen miß­brauchen. So folgt allein aus y=2x−1 bereits, daß x⋅y die x‑te Sechs­eck­zahl und die y‑te Drei­ecks­zahl ist. Im zwei­stel­ligen Falle (x=37 und y=73) ergibt sich H₃₇=D₇₃=37⋅73=2701, die Summe der ersten sieben Wörter der Bibel, wenn den hebrä­ischen Buch­staben die übli­chen Zahlen zuge­ordnet werden.

Und so man schon bei den Poly­gonal­zahlen ist, können die fol­gen­den denk­würdi­gen Bezie­hun­gen auf­fallen:

x = 37 = 36 + 1 =  6⋅6 + 1 =  6⋅D(3) + 1 = h(4)
y = 73 = 72 + 1 = 12⋅6 + 1 = 12⋅D(3) + 1 = z(4) 

x = 397 =  6⋅66 + 1 =  6⋅(12⋅11)/2 + 1 =  6⋅D(11) + 1 = h(11)
y = 793 = 12⋅66 + 1 = 12⋅(12⋅11)/2 + 1 = 12⋅D(11) + 1 = z(11)

x = 3997 =  6⋅666 + 1 =  6⋅(36⋅37)/2 + 1 =  6⋅D(36) + 1 = h(36)
y = 7993 = 12⋅666 + 1 = 12⋅(36⋅37)/2 + 1 = 12⋅D(36) + 1 = z(36)

Darin ist h(k) die k‑te zentrierte Sechs­eckzahl und z(k) die k‑te zen­trierte Zwölf­eck­zahl, die zugleich k‑te Stern­zahl sechs­zacki­ger Sterne ist. Zu Ehren von Mit­blogger y=mark793 (x=397kram) stelle ich den dreistelligen Fall bild­lich dar:

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Stern mit 793 Punkten um ein Sechseck mit 397 und darin rot ein Stern mit 73 Punkten um ein Sechseck mit 37 (png) [1]

Dieser Stern (n=3) besteht aus ins­gesamt 793 Punk­ten. Abzüglich seiner sechs Zacken zu je 66 ver­bleibt innen ein Sechs­eck aus 397 Punk­ten. In dieses Sechs­eck hinein habe ich einen klei­neren roten Stern (n=2) gezeich­net. Er hat 73 Punkte. Abzüg­lich seiner sechs Zacken zu je 6 Punk­ten ver­bleibt innen gleich­falls ein Sechseck der Größe 37.

Was abseits der Bildchen bleibt, ist die Frage, ob die Zahlen x=3999…9997 und y=7999…9993 für mehr als 4 Stellen eben­falls Sechs­ecke und Sterne bilden. Für n=5 trifft das nicht zu, denn D₁₁₄=6555<6666<6670=D₁₁₅. Da Robert Israel [2] sich die Mühe machte, die klein­sten Drei­ecks­zahlen mit bis zu 500 Sechsen am Ende zu berechnen, ist wohl abseits von 6, 66 und 666 noch keine aus lauter Sech­sen gefun­den oder gar bewie­sen worden, daß es keine mehr gibt.

[1] Mark793: Ich seh Sterne und denk an Sechs­sechs­sechs. Darin eine alte Version meines Sternes, der mir aller­dings zu breit geriet und nunmehr auch bunt und mit runden Kullern schöner aussieht.

[2] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. A227220, A036523, A119091.

37 | 73

meine Kinnlade einige Stockwerke nach unten klappen zu lassen. Wow. Den Punkt mit der Sechseck- oder Sternzahl hatten Sie ja schon im Zusammenhang mit den Querverbindungen von 37 und 793 angesprochen. Aber jetzt, wo ich dieses wunderbar wohlproportionierte Ascii-Artefakt sehe, habe ich wirklich Sternchen vor Augen. Vielleicht finde ich eine versierte Strickbloggerin, die mir dieses schöne Muster in einen Norwegerpulli strickt. Oder ein schönes Häkeldeckchen für die Heckablage.

Nebenbei bemerkt: Daß es nicht ewig so weitergehen kann, war mir ohne Rechnung nicht so klar. Ich habe zu danken für diesen erhellenden Beitrag.

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Man kann sie zur Verwunderung argloser Menschen mißbrauchen.

Ich als argloser Mensch bin wieder einmal schwer beeindruckt. Im nächsten Leben studiere ich doch Mathematik, wie es mein Vater gerne gewollt hätte. Da steckt Magie drin.

cos(666)   =  0,58778525229247312916870595463907
sin(6⋅6⋅6) = -0,58778525229247312916870595463907
sin(6⋅6)   =  0,58778525229247312916870595463907

10/89 = 0,11235955056179775280898876404494...
      = 0,1
      + 0,01
      + 0,002
      + 0,0003
      + 0,00005
      + 0,000008
      + 0,0000013
      + 0,00000021
      + 0,000000034
      + ...........

wtf...?

ich bin mehr als begeisert und eingeschüchtert. nicht schlecht. ich liebe mathematische spielchen, auch wenn ich selbst dafür keinerlei ader aufweise.

liebe grüße
~bonds

Ich habe es bisher weitgehend vermieden, eine Zahl­besonder­heit darin zu sehen, daß sie mit einem Ereignis des zuge­hörigen Jahres in Bezie­hung gebracht werden kann. Nun aber muß ich mit Schrecken lesen (der­einst Beitrag 2666387 von moham­meda.­blog­ger.de), daß der erste dokumen­tierte Über­fall der Wikinger auf Britan­nien am Samstag, den 8. Juni 793 statt­fand. Das ist der 22. Safar 177.

Wegen 7999…9993=2⋅3999…9997−1 hatte ich bereits zum Spaß 397kram als Umkehrung zu mark793 erwähnt. Das gleiche Vor­gehen hätte die bösen Wikin­ger des Jahres 793 in den 397 gestor­benen St. Mar­tin gewan­delt, der am heutigen Tage wieder zu allerlei Umzügen führt.

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