Zahlwort

In einer stillen Stunde hatte ich einmal ermittelt, welche Zahlen Summe der k-ten Potenzen ihrer Ziffern sind. Mit k=7 habe ich aufgehört, und er ergab sich das folgende Ergebnis:

­	n=1	n=2	n=3	n=4	n=5	n=6	n=7	n=8
k=1	1-9	­	­	­	­	­	­	­
k=2	1	­	­	­	­	­	­	­
k=3	1	­	153 370 371 407	­	­	­	­	­
k=4	1	­	­	1634 8208 9474	­	­	­	­
k=5	1	­	­	4150 4151	54748 92727 93084	194979	­	­
k=6	1	­	­	­	­	548834	­	­
k=7	1	­	­	­	­	­	1741725 4210818 9800817 9926315	14459929

Wenn man einmal die trivialen einstelligen Zahlen (n=1) wegläßt, dann sind es vor allem die k-stelligen Zahlen, die Summe der k-ten Potenzen ihrer Ziffern sind. Maximal ist n=k+1 möglich, da für mehr selbst lauter Neuner nicht ausreichen. Auch Zahlen mit weniger Ziffern (n<k) sind dünn gesät. Das Gros aller Zahlen scheint auf der Diagonalen (n=k) zu liegen. Solche Zahlen heißen Armstrongzahlen.

Eine n-stellige Zahl heißt Armstrongzahl, wenn sie gleich der Summe der n-ten Potenzen ihrer Ziffern ist. Es gibt nur 88 solcher Armstrongzahlen, denn irgendwann kann selbst mit lauter Neunen keine genügend große Potenzsumme mehr erzielt werden. Hier eine Auszug aus der Liste:

...
153
370
371
407
1634
8208
9474
54748
92727
93084
548834
1741725
4210818
9800817
9926315
24678050
........
115132219018763992565095597973971522400
115132219018763992565095597973971522401

Die größte Armstrongzahl hat 39 Stellen, und die kleinste nicht-triviale lautet 153, denn zweistellige gibt es nicht und einstellige sind bedeutungslos.

Armstrongzahlen kann man natürlich auch zu anderen Zahldarstellungen in anderen Basen betrachten. Bis zur Basis 16 sind sie alle in einer Liste im Internet ausgeführt.

Liste

ich versteh's nich wirklich ...

153 = 1*1*1 + 5*5*5 + 3*3*3
370 = 3*3*3 + 7*7*7 + 0*0*0
371 = 3*3*3 + 7*7*7 + 1*1*1
407 = 4*4*4 + 0*0*0 + 7*7*7

1634 = 1*1*1*1 + 6*6*6*6 + 3*3*3*3 + 4*4*4*4
8208 = 8*8*8*8 + 2*2*2*2 + 0*0*0*0 + 8*8*8*8