518616
wuerg, 30.07.2018 00:35
Antike Längenmaße bezieht man gerne auf eine metrologische Elle von 518616 Mikrometern. Diese Zahl ist 7‑glatt und übersteigt den Bestwert der mesopotamischen Urelle von 518350 Mikrometern nur um ein halbes Promille. Das ist weit weniger als die Genauigkeit, mit der man alte Längenmaße ermitteln kann und die in dieser Präzision wohl nie existierten.
Eine Zahl heißt p‑glatt, wenn sie sich als Produkt aus Potenzen von Primzahlen bis p darstellen läßt. [1] Nur die Zweierpotenzen …, 1/4, 1/2, 1, 2, 4, … sind 2‑glatt. Sie hinterlassen große Lücken und sind als Näherung natürlich ungeeignet. Dagegen kann jede positive Zahl beliebig genau durch eine 3‑glatte genähert werden. Wenig systematisch, dafür aber musikalisch gelangt man zu einer 3‑glatten Näherung der Urelle in Metern von e=0,51835 dank:
e1 = e0⋅(28/35)⋅(219/312) = 226/317 = 0,51966 = e⋅(1+0,0025)
erreicht. Die Abweichung von vielleicht noch als zu groß empfundenen 2,5 Promille kann größtenteils durch (3) beseitigt werden:
e2 = e1⋅(284/353) = 2110/370 = 0,51858 = e⋅(1+0,0004)
Damit ist eine hinreichend genaue Näherung durch eine 3‑glatte Zahl gefunden. [1]
Das ist aber nicht, was der Metrologe sich wünscht. Da bei der Ableitung antiker Maße oftmals nicht nur durch 5, 10 und 12, sondern auch durch 7 zu teilen ist, sind 7‑glatte Zahlen sinnvoller. Dafür soll es sich aber um eine Dezimalzahl mit möglichst wenig Stellen handeln, die mehrfach durch 7 und auch 3 zu teilen ist, ohne auf Periodizitäten zu führen. Also Zahlen der beiden Formen:
n = z / 10d = 2a⋅3b⋅7c⋅x / 10d
n = z / 10d = 5a⋅3b⋅7c⋅x / 10d
Die Exponenten dürfen nicht negativ sein, b und c sollten mindestens 2, besser noch größer sein. Der Faktor x ist ein nicht durch 2, 5 und 7 teilbarer mitzuschleppender ganzzahliger Rest, der am besten einfach 1 ist.
Für den im Rahmen der Genauigkeit kleinsten Exponenten d=3 ist nur z=518=2·7·37 möglich. Zwar mit Glück ein Faktor 7, doch leider nicht durch 3 teilbar. Außerdem ist ein nutzloser Faktor 37 mitzuschleppen.
Für d=4 darf z von 5183,5 höchstens um 5,2 abweichen, um auf ein Promille genau zu sein. Verlangt man Teilbarkeit durch 7, so kann z/7 nur 740 oder 741 sein. Im ersten Falle erhält man nichts neues gegenüber d=3. Und 741=3·247 ist nicht besser, zumal ein Faktor 247 mitgeschleppt werden muß.
Für d=5 darf z von 51835 nur um 52 abweichen. Verlangt man zweifache Teilbarkeit durch 7, so kann z/49 nur 1057 oder 1058 sein, bei leichter Grenzüberschreitung auch 1059. In allen drei Fällen ergeben sich zu große mitzuschleppende Faktoren 151, 529 bzw. 353.
Deshalb nun d=6 mit z im Bereich von 517832 bis 518868. Bei dreifacher Teilbarkeit durch 7 ergeben sich für z/343 die Werte 1510, 1511 und 1512. Der erste ist durch 10 teilbar, also schon bei d=5 berücksichtigt, der zweite enthält leider keinen Faktor 2, 3, 5 oder 7. Doch z/343=1512=2·2·2·3·3·3·7 erweist sich als perfekt. Deshalb lautet die metrologische Näherung des Nippurelle in Mikrometern
z = 343·1512 = 518616 = 2⋅2⋅2⋅3⋅3⋅3⋅7⋅7⋅7⋅7
Sie ist nur ein halbes Promille größer als der sog. Bestwert von 518350 Mikrometern und liegt damit deutlich im Rahmen der Meßgenauigkeit. Wegen der vielen Teilbarkeiten ergeben sich für die meisten antiken Maße in Metern endliche Dezimalzahlen: Drei 7er‑Potenzen verbrät der ägyptische Königsfuß von 200/343 Nippurellen, metrologisch exakt 0,3024 m. Der reale Gudeafuß benötigt mit 0,2646 m ebenfalls nur 4 Nachkommastellen. Beim römischen Fuß bleibt es mit 0,296352 m bei sechs Stellen.
[1] Das ist natürlich nicht nur wegen der hohen Potenzen metrologisch wertlos, sondern auch deshalb, weil 0,51835 die Länge in Metern ist. In Millimetern oder gar den üblichen Mikrometern 518350 kommen natürlich ganz andere Exponenten heraus, weil unsere Basis 10 eben nicht 3 glatt ist. Am schönsten ist 2⁶⋅3⁴=5184 für zehntel Milimeter. Das ist zwar ausreichend genau, doch wegen fehlender Faktoren 5 und 7 metrologisch uninteressant. Aber der Schlenker über die Oktavteilung mußte sein.
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Eine Zahl heißt p‑glatt, wenn sie sich als Produkt aus Potenzen von Primzahlen bis p darstellen läßt. [1] Nur die Zweierpotenzen …, 1/4, 1/2, 1, 2, 4, … sind 2‑glatt. Sie hinterlassen große Lücken und sind als Näherung natürlich ungeeignet. Dagegen kann jede positive Zahl beliebig genau durch eine 3‑glatte genähert werden. Wenig systematisch, dafür aber musikalisch gelangt man zu einer 3‑glatten Näherung der Urelle in Metern von e=0,51835 dank:
(1) 5 Quinten ≈ 3 Oktaven: 28/35 = 1 + 0,0535 (2) 12 Quinten ≈ 7 Oktaven: 219/312 = 1 - 0,0135 (3) 53 Quinten ≈ 31 Oktaven: 284/353 = 1 - 0,0021Als Startnäherung kann e₀=1/2=0,5 gewählt werden. Es ist e₀=e⋅(1−0,0354). Diese Abweichung korrigiert man gut durch die Kombination von (1) und (2). Damit wird eine bessere Näherung
e1 = e0⋅(28/35)⋅(219/312) = 226/317 = 0,51966 = e⋅(1+0,0025)
erreicht. Die Abweichung von vielleicht noch als zu groß empfundenen 2,5 Promille kann größtenteils durch (3) beseitigt werden:
e2 = e1⋅(284/353) = 2110/370 = 0,51858 = e⋅(1+0,0004)
Damit ist eine hinreichend genaue Näherung durch eine 3‑glatte Zahl gefunden. [1]
Das ist aber nicht, was der Metrologe sich wünscht. Da bei der Ableitung antiker Maße oftmals nicht nur durch 5, 10 und 12, sondern auch durch 7 zu teilen ist, sind 7‑glatte Zahlen sinnvoller. Dafür soll es sich aber um eine Dezimalzahl mit möglichst wenig Stellen handeln, die mehrfach durch 7 und auch 3 zu teilen ist, ohne auf Periodizitäten zu führen. Also Zahlen der beiden Formen:
n = z / 10d = 2a⋅3b⋅7c⋅x / 10d
n = z / 10d = 5a⋅3b⋅7c⋅x / 10d
Die Exponenten dürfen nicht negativ sein, b und c sollten mindestens 2, besser noch größer sein. Der Faktor x ist ein nicht durch 2, 5 und 7 teilbarer mitzuschleppender ganzzahliger Rest, der am besten einfach 1 ist.
Für den im Rahmen der Genauigkeit kleinsten Exponenten d=3 ist nur z=518=2·7·37 möglich. Zwar mit Glück ein Faktor 7, doch leider nicht durch 3 teilbar. Außerdem ist ein nutzloser Faktor 37 mitzuschleppen.
Für d=4 darf z von 5183,5 höchstens um 5,2 abweichen, um auf ein Promille genau zu sein. Verlangt man Teilbarkeit durch 7, so kann z/7 nur 740 oder 741 sein. Im ersten Falle erhält man nichts neues gegenüber d=3. Und 741=3·247 ist nicht besser, zumal ein Faktor 247 mitgeschleppt werden muß.
Für d=5 darf z von 51835 nur um 52 abweichen. Verlangt man zweifache Teilbarkeit durch 7, so kann z/49 nur 1057 oder 1058 sein, bei leichter Grenzüberschreitung auch 1059. In allen drei Fällen ergeben sich zu große mitzuschleppende Faktoren 151, 529 bzw. 353.
Deshalb nun d=6 mit z im Bereich von 517832 bis 518868. Bei dreifacher Teilbarkeit durch 7 ergeben sich für z/343 die Werte 1510, 1511 und 1512. Der erste ist durch 10 teilbar, also schon bei d=5 berücksichtigt, der zweite enthält leider keinen Faktor 2, 3, 5 oder 7. Doch z/343=1512=2·2·2·3·3·3·7 erweist sich als perfekt. Deshalb lautet die metrologische Näherung des Nippurelle in Mikrometern
z = 343·1512 = 518616 = 2⋅2⋅2⋅3⋅3⋅3⋅7⋅7⋅7⋅7
Sie ist nur ein halbes Promille größer als der sog. Bestwert von 518350 Mikrometern und liegt damit deutlich im Rahmen der Meßgenauigkeit. Wegen der vielen Teilbarkeiten ergeben sich für die meisten antiken Maße in Metern endliche Dezimalzahlen: Drei 7er‑Potenzen verbrät der ägyptische Königsfuß von 200/343 Nippurellen, metrologisch exakt 0,3024 m. Der reale Gudeafuß benötigt mit 0,2646 m ebenfalls nur 4 Nachkommastellen. Beim römischen Fuß bleibt es mit 0,296352 m bei sechs Stellen.
[1] Das ist natürlich nicht nur wegen der hohen Potenzen metrologisch wertlos, sondern auch deshalb, weil 0,51835 die Länge in Metern ist. In Millimetern oder gar den üblichen Mikrometern 518350 kommen natürlich ganz andere Exponenten heraus, weil unsere Basis 10 eben nicht 3 glatt ist. Am schönsten ist 2⁶⋅3⁴=5184 für zehntel Milimeter. Das ist zwar ausreichend genau, doch wegen fehlender Faktoren 5 und 7 metrologisch uninteressant. Aber der Schlenker über die Oktavteilung mußte sein.
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