Zahlwort

Unter der Voraus­setzung, daß stets der Bessere gewinnt, sollte ein Turnier­plan selbst­verständ­lich den Besten an die Spitze bringen. Bei n Teil­nehmern sind dazu n-1 Zwei­kämpfe erfor­derlich und ausrei­chend. Soll auch der Zweit­beste ermit­telt werden, so reicht es, den Besten unter den m Teil­nehmern zu suchen, die gegen den Aller­besten unter­lagen. Ein normales KO-System mit n=2,4,16,256,... Mann­schaften erzeugt m=ldn=1,2,4,8,... dem Besten unter­legene Teil­nehmer, womit in k=n+m-2=1,4,18,262,... Kämpfen der erste und der zweite Platz ermit­telt werden können.

Die Fußball-Europa­meister­schaft leistet sich bei n=16 Mann­schaften statt der k=18 Spiele mit 4·6+(4·2-1)=24+7=31 deut­lich mehr und verweist dennoch die zweit­besten Teil­nehmer gelegent­lich auf den dritten bis vierten Platz, läßt sie also nicht ins Endspiel vor­dringen. Verteil­ten sich die Mann­schaften völlig zufällig auf die vier Gruppen, so lag die Endspiel-Wahr­schein­lichkeit für die zweit­beste Mannschaft im Jahre 2004 noch bei 11/15=73%. Im Jahre 2008 ist sie auf 8/15=53% gesunken.

Diese Merk­würdig­keit fiel mir erst auf, als mein tür­kischer Kollege von einem Sieg seiner Lands­leute träumte, die dann den nächsten deutschen Gegner abgäben. Wie selbst­verständ­lich dachte ich, er müsse sich irren, denn die Sieger aus den A-B-Spielen hätten nach meinem Ver­ständ­nis zunächst gegen die aus den C-D-Spielen anzu­treten. Doch dem ist nicht so. Der eine Endspiel­gegner kommt aus der Gruppe A oder B, der andere aus C oder D. Ein Endspiel Deutsch­land-Türkei war von Anfang an nicht möglich!

Warum bleiben die Sieger der Viertel­finale für das Halb­finale nicht einfach an ihrem Spiel­ort? Warum sind die Schweiz und Öster­reich so plaziert worden, daß ein Endspiel zwischen ihnen auch theore­tisch nicht möglich gewesen ist? Wollte man vermeiden, daß wie 2004 zwei Mann­schaften im Endspiel erneut aufein­ander treffen? Sollen die Griechen auf ewig die ein­zigen bleiben, die sowohl im Eröff­nungs- als auch im End­spiel den Gast­geber demü­tigten?

Heute bin ich dreißig Minuten früher nach Hause gefahren, doch die Hälfte davon vernich­tete ein Vertreter des indischen Subkon­tinentes, der auf den Straßen­bahn­schienen parkte, nicht versehent­lich über­stehend, sondern schön in Fahrt­richtung. Nach reich­lichem Klingeln kam er lustig ange­sprungen, fuhr in eine der zahl­reichen Park­lücken, grinste weiter rum und winkte der Straßen­bahn hinterher, als verab­schiede er sich von seiner Sippe. Leider konnte ich nicht wählen, sonst hätte ich der äußer­lichen Freund­lichkeit die verinner­lichte Zivili­sation vorge­zogen.

Die Erderwärmung ist für kurze Zeit abgesagt! Wußten wir nicht schon lange, daß es natür­liche Schwan­kungen in den Schwan­kungen der Tempe­ratur­schwan­kungen gibt, es an der eine Stelle warm und an einer anderen kalt werden kann. Aber die gefühlte Rea­lität ist vielen wich­tiger. Nun fühlen einige zumin­dest für die nähere Zukunft eine Stag­nation. Und wenn sich eines Tages die Natur den mensch­lichen Empfin­dungen anpaßt, dann kommt es zu einer drama­tischen Aufholjagd.

Auch an der Tankstelle ist das Gefühl wichtig. Schon weit vor Pfingsten hat man den Benzin­preis steigen sehen, obgleich ich nur 1,479 erblickte, wo in früheren Zeiten bereits 1,499 Euro pro Liter standen. Und bestä­tigend lese ich heute in der Zeitung, nach Pfingsten seien die Preise prompt gefallen. Umso größer mein Jubel, soeben mit 1,519 erstmals mehr als andert­halb Euro zu sehen. Haben die Jammer­lappen noch nichts von Angebot und Nach­frage gehört, oder gar von der Eindäm­mung sinn­losen Individual­verkehrs zur Bekämpfung des Klima­wandels?

gefühlte Temperatur

oder andere Einkaufsmeilen haben mich heute zum letzten­mal gesehen, zumin­dest im Sommer und am Samstag. Zwar bin ich auch einer von tau­senden Idio­ten, die da rum­laufen und an der Kasse Schlange stehen, aber ich habe wenig­stens keine Block­flöte und schon gar keine Trom­mel dabei.

Gestern muß ich auf der ersten Seite der Frankfurter Rundschau lesen:

Köhler hat die Wiederwahl

[1] FR

Zu jeder Zahl kann ermittelt werden, auf wieviele Arten sie als Summe aufein­ander­folgender Prim­zahlen geschrieben werden kann. Und es liegt die Frage auf der Hand, welche die kleinste Zahl zu einer vorge­gebenen Anzahl von Zerle­gungen ist. [1] So kann die 41 auf drei­fache Art als Summe von Prim­zahlen in Folge geschrie­ben werden, nämlich als 3+5+7+11+13, als 11+13+17 und als 41 allein. Und 41 ist die kleinste Zahl mit dieser Eigen­schaft. Für exakt 1, 2, 3, 4 und 5 Sum­manden erhält man als kleinste Summe 2, 5, 41, 1151 und 311:

1    2    3              4                      5                   
2    5    41             1151                   311
     2+3  11+13+17       379+383+389            101+103+107
          2+3+5+7+11+13  223+227+229+233+239    53+59+61+67+71
                         7+11+13+...+89+97+101  31+37+41+43+47+53+59
                                                11+13+17...+41+43+47

Darunter ist die Zahl 311 deshalb bemer­kenswert, weil sie mit fünf Zerle­gungen deut­lich kleiner ist als 1151 mit nur vieren.

Das ist zwar keine Eigenschaft mit irgend­einem prak­tischen Nutzen, dennoch aber eine von allge­meiner Bedeutung, daß sie Besuchern aus dem Welt­raum zwar nicht geläufig, aber bekannt sein wird. Das unter­scheidet von irdi­schen Belie­big­keiten: Der 311 als ameri­kanische Nicht-​Notruf-​Nummer im Gegen­satz zur 911. Dem Anschlag in Madrid (3/11/2004) im Gegen­satz zu dem in New York (9/11/2001). Oder der Verdrei­fachung des 11. Buch­stabens K zu KKK, nicht für „Kinder, Küche, Kirche“ sondern für den Ku Klux Klan.

[1] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. Anzahl der Zer­legun­gen A054845 einer Zahl als Summe aufein­ander­fol­gender Prim­zahlen und klein­ste Zahl A054859 einer vorge­gebenen Anzahl von Zerle­gungen.

soll die letzte gewesen sein, die ich mir um die Ohren geschlagen habe, damit am nächsten Morgen kaum einer den Rechnerausfall bemerkt. Deshalb gehe ich jetzt ins Bett.