Zahlwort

Als vor einiger Zeit unter den heisigen Bloggern über Erst­kontakte mit Computern, Betriebs­systemen, Pro­grammen und Spielen disku­tiert wurde, nahm ich mir vor, einen unver­fäng­lichen Ausschnitt meiner Palette erst-einzig-letzt aufzu­listen:

erster programmierter Rechner LOCI-2
erstes beherrschtes Computerspiel Adventure

einzig verstandenes Betriebssystem CP/M
einzig beherrschte Textverarbeitung Wordstar

letzter Besuch bei IKEA

einmal ist keinmal | dutzendemal | zum x-ten Male | 539. mal

Heute war ich das letztemal bei IKEA.

Um 18 Uhr 37 geht hier die Sonne unter, und es endet der Geburts­tag des Pro­pheten. Wenn er wirklich am 12. Rabi-I des Jahres 54 vor der isla­mischen Zeit­rechnung, also am 3. Mai 570 geboren wurde, dann ist es sein 1482. Geburts­tag. Zumin­dest in Äthio­pien, Afgha­nistan, Alge­rien, Benin, Brunei, ..., wo er heute als Feier­tag begangen wird.

Obwohl der islamische Kalender seit über 1000 Jahren sehr präzise mit dem Mond läuft, kommt es dennoch immer wieder zu Uneinig­keiten. Sie beruhen auf der unter­schied­lichen Mond­sichtung an verschie­denen Orten, den mehr oder minder radi­kalen Anschau­ungen und unein­heitlichen Vorgaben, wo eine astro­nomische Berech­nung vorge­sehen ist.

So feierte man den Geburtstag in Bahrain, Irak, Jemen, Kuwait, ... bereits gestern, am 19. März. Auf den Fidschi-Inseln und Indo­nesien hat er vor wenigen Stunden begonnen. Dort wird dieses Jahr am 21. März gefeiert, was noch halb­wegs verständ­lich ist, da eine Sichtung der ersten Mond­sichel im Osten erst deutlich später als im Westen möglich ist. Unklar aber bleibt mir, warum der Prophet in Ägypten, Jorda­nien, Libyen, Sudan und Palästina erst am 22. März Geburts­tag hat.

Fast alle Zahlen lassen sich als Summe von 16 oder weniger Biqua­draten darstellen. Nur endlich viele benötigen mehr Sum­manden, sieben davon die Höchst­zahl von 19. Die Zahl 319 ist eine von ihnen, und zwar die kleinste, die auf zwei­fache Art zerlegt werden kann.

319 = 256+16+16+16+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1
319 = 81+81+81+16+16+16+16+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1

Wenn man sich die Palett 1, 16, 81, 256, 625, … der vierten Potenzen ansieht, erkennt man, daß für Zahlen bis 80 die hexa­dezimale Quer­summe die Zahl der erfor­derlichen Sum­manden angibt. Das Maximum wird offen­sichtlich bei 79 (hexadezima 4F) mit der Quersumme 4+15=19 (hexadezimal 4+F=13) erreicht, alle anderen gehen mit weniger Summanden.

Enthält eine Zerlegung der Zahl n einen Sum­manden 1, kann diese 1 gegen 81 ausgetauscht werden, um eine gleich lange Zerlegung der Zahl 80+n zu erhalten. Es verwundert deshalb nicht, die Zahlen mit der maximalen Summan­denzahl in der Reihe 79, 159, 239, 319, … zu finden.

 79 =        4·16 + 15·1
159 =   81 + 4·16 + 14·1
239 = 2·81 + 4·16 + 13·1
319 = 3·81 + 4·16 + 12·1
399 = 4·81 + 4·16 + 11·1
479 = 5·81 + 4·16 + 10·1
559 = 6·81 + 4·16 +  9·1

Mit 256 kommt ein viertes Biquadrat ins Spiel, das ab 319 eine zweite Zerle­gung gestattet:

319 = 256 +        3·16 + 15·1
399 = 256 +   81 + 3·16 + 14·1
479 = 256 + 2·81 + 3·16 + 13·1
559 = 256 + 3·81 + 3·16 + 12·1

Wieder erkennt man in dieser Viererreihe den Austausch einer 1 gegen eine 81. Vergleicht man dagegen die jeweils zwei Zerle­gungen der Zahlen 319, 399, 479 und 559, sieht man einen Austausch von 256+1+1+1 gegen 81+81+81+16. Bei 559 kann man das auch zweimal machen, womit sich eine dritte Zerle­gung ergibt:

559 = 2·256 + 2·16 + 15·1

Leicht überlegt man sich, daß es keine weiteren und vor allem keine kürzeren Darstel­lungen der sieben Zahlen 79, 159, 239, 319, 399, 479 und 559 gibt und daß alle Zahlen unterhalb des nächsten Biquadrates 625 kürzere Zerle­gungen haben, insbesondere das nächste Glied 559+80=639 der Reihe sich einfach als 625+14·1 schreiben läßt. Man kann die Über­prüfung auch sehr großer Zahlen natürlich einem Computer überlassen, doch am Nachweis, daß es auch in weiter Ferne keine Zahl mit 19 erforder­lichen Sum­manden gibt, beißen sich die heutigen Rechner noch die Zähne aus, weil sie wie die Praktiker gut arbeiten, doch leider noch nicht wie die Theo­retiker gut denken können.

[1] A046050

Gestern (3/17) erwähnte ich See­schlachten, die im Abstand von 317 Jahren auftreten sollen, heute (3/18) finde ich in der Frank­furter Rund­schau einen großen Bericht über den Kampf zweier Schiffe, Kormoran und Sydney. Letzteres sank mit Mann und Maus, nachdem es ersteres versenkt hatte, von dessen Besat­zung genau 318 überlebten. Kann das alles noch ein Zufall sein?

Gewiß nicht zufällig ist von der 318 im 1. Buch Mose, Kapitel 14, Vers 14 die Rede: "Als nun Abram hörte, daß sein Bruder gefangen war, wappnete er seine Knechte, drei­hundert­undacht­zehn, in seinem Hause geboren, und jagte ihnen nach bis gen Dan ..."

Es wird wohl kaum die genaue Anzahl gemeint sein. Und da auch keine runde Zahl wie 300 genannt wird, ist in der Zahl 318 eine beson­dere Bedeu­tung zu vermuten. Die 318 Tage des Jahres, an denen der Mond zu sehen sein soll, werden es wohl nicht sein. Dagegen leuchtet es mir durchaus ein, wenn 318 nicht nur für alle Knechte, sondern auch für den einen Knecht Elieser von Damas­kus steht:

318 = 1 + 30 + 10 + 70 + 7 + 200
    = Aleph + Lamed + Jod + Ajin + Sajin + Resch
    = 'lj'sr = Elieser

Für diese Interpretation spricht auch der Barnabas­brief. Dort wird die Zahl 318 unge­wöhnlich detail­liert erklärt und neu gedeutet:

"Verstehet also, Kinder der Liebe, in allem reichlich, daß Abraham, welcher im Geiste voraus­schauend auf Jesus zuerst die Beschnei­dung einführte, sie vollzog, nachdem er die Lehre von drei Buch­staben erhalten hatte. Er sagt nämlich: Und Abraham beschnitt aus seinem Hause achtzehn und drei­hundert Männer. Wel­ches ist nun die ihm verlie­hene Erkenntnis? Wisset, daß er zuerst die Achtzehn nennt, dann erst nach einem Zwischen­raum die Drei­hundert. Acht­zehn sind gleich Jota, zehn, und Eta, acht; damit hast du Jesus. Weil aber das Kreuz im Tau die Gnade sinn­bilden sollte, nennt er auch die Drei­hundert. Er offen­bart nun in den zwei Buch­staben Jesus, in dem einen das Kreuz."

Es bereitet dem Schreiber keine Probleme, einfach anzunehmen, daß es bei der Massen­beschnei­dung in Kapitel 17, Vers 23 des 1. Buches Mose ebenfalls 318 gewesen sind, obgleich dort auch die zugekauften Knechte, Abra­ham selbst und sein Sohn Ismael unters Messer kamen. Solche Kleinig­keiten scheinen nicht wichtig zu sein. Auch nicht, ob am Konzil von Nicäa wirklich genau 318 Bischöfe teilnahmen. In jedem Falle stehen seit fast 2000 Jahren die (griechischen) Buch­staben TIH und die Zahl 318 für den gekreu­zigten (T) Jesus (IHSOYS).

Bemerkens­werter ist, daß die Zahl aus 317 Einsen eine Prim­zahl ist. Sie ist die kleinste nach den weit­gehend bekannten mit 2, 19 und 23 Einsen. Auch zur Basis 12 gelesen stehen 317 Einsen für eine Prim­zahl. [2]

Weitgehend bekannt ist, wie Euklid nachwies, daß es unend­lich viele Prim­zahlen gibt: Gäbe es nur endlich viele 2, 3, 5, …, pₙ, so wäre ihr um eins vermehrtes Produkt selbst prim oder hätte einen Primteiler oberhalb von pₙ, da durch 2, 3, 5, ,…, pₙ ja nicht geteilt werden kann. Diese Über­legung ist auch mit eins weniger statt mehr möglich. Die Pro­dukte 2·3·5·…·pₙ heißen Prim­fakul­täten (primo­rials) und werden mit n# abge­kürzt. Mit einem Zuschlag von eins heißen sie Euklid-​Zahlen, mit einem Abschlag von eins Kummer-​Zahlen. Für n≤6 sind die n#±1 gerne prim, danach nur noch selten:

 n   pn  2·3·5·7·...·pn  =  n#           n#+1                n#-1              
 0    -  -                            1  prim                0
 1    2  2                            2  prim                1
 2    3  2·3                          6  prim                prim
 3    5  2·3·5                       30  prim                prim
 4    7  2·3·5·7                    210  prim                11·19
 5   11  2·3·5·7·11                2310  prim                prim
 6   13  2·3·5·7·11·13            30030  59·509              prim
 7   17  2·3·5·7...17            510510  19·97·277           61·8369
 8   19  2·3·5·7...19           9699690  347·27953           53·197·929
 9   23  2·3·5·7...23         233092870  317·703763          37·131·46027
10   29  2·3·5·7...29        6469693230  331·571·34231       3·11·47·61·69439
11   31  2·3·5·7...31      200560490130  prim                228737·876817
12   37  2·3·5·7...37     7420738134810  181·60611·676421    229·541·1549·38669
13   41  2·3·5·7...41   304250263527210  61·450451·11072701  prim
24   89  2·3·5·7...89   ...............  zusammengesetzt     prim
66  317  2·3·5·7...317  ...............  zusammengesetzt     prim
75  379  2·3·5·7...379  ...............  prim                zusammengesetzt

Das um eins verminderte Produkt aller Prim­zahlen bis 317, also

( 2 · 3 · 5 · 7 · … · 313 · 317 ) - 1.

ist prim. Für andere Zahlen ist das nur selten der Fall, doch nicht außer­gewöhn­lich. [3]

Das alles ist nicht so bedeutend. Doch nicht nur deshalb tummeln sich bei Google vorne ganz andere Treffer, belang­lose Listen, irgend­welche Spinne­reien oder Lite­ratur. So ist die Rede von einem franzö­sischen Schrift­steller Jacques Roubaud, der gerne 317 schrieb und einen Hund mit 317 Meter pro Sekunde in einen Fluß fallen läßt, offen­sichtlich ohne zu erklären, was er sich wohl dabei gedacht hat oder wie das ginge. An anderer Stelle wird der Russe Welimir Chleb­nikow erwählt, der zwischen wich­tigen See­schlachten einen Abstand von 317 Jahren bzw. Viel­fachen davon festge­stellt haben will und darin einen höheren Plan sieht.

Man sollte also aufgeben und akzep­tieren, daß hinter 317 kein Gedanke von Bedeu­tung steckt, allen­falls ein privater Bezug. Doch mit etwas Glück habe ich noch weitere Kleinig­keiten gefunden: Zehn hoch zehn Sekun­den dauern fast genau 317 Jahre. Und schlägt ein Hund mit 317 Metern pro Sekunde auf, dann fliegt er mit 10 Millionen Kilo­metern im Jahr. Das ent­spricht einer Fall­höhe leicht über 5 Kilo­metern.

[1] Dank Taschenrechner geht es natürlich auch einfacher: Wegen √10=3,162277… ist 32² die kleinste vier­stellige, 317² die kleinste sechsstellige, 3163² die kleinste achstellige Quadratzahl und so fort. Merken sollte man sich nur 32²=1024=2¹⁰ für Kilo binary (Kibi).

[2] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. Stellen­zahl primer Repunits zur Basis 10 (A004023) und zur Basis 12 (A004064).

[3] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. Euklid-Zahlen A006862, darunter A018239 prim zu den Produkten mit A014545 Faktoren. Kummer-Zahlen A057588, darunter A057705 prim zu den Produkten mit A057704 Faktoren.

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Da Herr Mark [1] gestern bereits auf die Iden des März hinge­wiesen hat, will ich heute etwas zur Zahl 315 (gemäß 3/15) schreiben, nicht über Cäsar, der nach seinem Kalender am 28. März seit 2051 Jah­ren tot ist. Über die andere Zahl 153 des heu­tigen Tages (gemäß 15.3.) hatte ich mich bereits ausge­lassen. Sie kommt in der Bibel vor, nicht aber 315. Und weil 3 mal 15 auch nichts herzugeben scheint, bleibt neben dem Spiel mit den gün­stigen Ziffern 1, 3 und 5 zunächst nur noch die Zerle­gung 315=3·3·5·7 in Faktoren.

Die Zahl 315 gehört zu den drei­stelligen Zahlen abc, die sich als (x+a)(x+b)(x+c) schreiben lassen [2]:

120 = (4+1)(4+2)(4+0) 
210 = (5+2)(5+1)(5+0)
315 = (4+3)(4+1)(4+5)
450 = (5+4)(5+5)(5+0)
780 = (5+7)(5+8)(5+0)
840 = (6+8)(6+4)(6+0)

Sie ist die interes­santeste unter ihnen, weil nur sie kein Viel­faches von 10 ist. Außerdem ist

315 = (3+1+5)(32+12+52)

3·3·7·5 = 315
3 3 7 5 = 153

Ein magischer Würfel ist ein magisches Quadrat in drei Dimen­sionen, also eine Anord­nung der Zahlen 1 bis n³ in einem n×n×n-Raster. In alle drei Rich­tungen und auch längst der Diago­nalen muß sich die gleiche Summe ergeben. Abge­sehen vom tri­vialen Würfel, der nur aus der 1 besteht, hat der kleinste magi­sche Würfel eine Kanten­länge von n=5. Die magi­sche Zahl ist

M(n) = n(n³+1)/2 = 5(5³+1)/2 = 315

Sonst scheint es nur noch Kleinig­keiten zu geben. So teilt nicht nur die Quer­summe 3+1+5=9, sondern auch das Quer­produkt 3·1·5=15 die Zahl 315. Und das Quadrat 99225 von 315 ist das kleinste, das mit zwei Neunen beginnt.

[1] Mark793: Pi mal Daumen plus Datum mal Schuhgröße. Die dunkle Seite, 14.03.2008.

[2] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. A055482

[3] Eric W. Weisstein: Perfect Magic Cube of Order 5 discovered. Wolfram Mathworld.

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