Zahlwort

Die einen verfolgen das Auf und Ab der Fußball­vereine, die anderen das der Schlager und ich eben die 25 meist­gele­senen meiner Beiträge. Und ich freue mich, vermelden zu können, daß nunmehr die Schall­mauer von 1000 durch meine Ein­las­sungen zur Quadrat­zahl durch­brochen wurde. Vor einem halben Jahr hätte ich nicht gedacht, eine vier­stellige Zahl vor dem Jahre 2008 zu errei­chen, auch wenn andere darüber ange­sichts ihrer Mil­lionen­leser­schaft nur müde lächeln können.

Die absolute Höhe ist auch gar nicht so sehr von Bedeu­tung, 1000 ist nur der Anlaß, dies hier zu schreiben. Viel interes­santer finde ich die Ent­wick­lung der Beiträge zuein­ander. So dümpelte die 1729 zwei Jahre mit zuletzt 300 Aufrufen auf dem ersten Platz vor sich hin. Ihr folgten für jeweils einen Monat die 13 und die 7. Letz­tere wurde dann bei 500 Aufru­fen von den Quadrat­zahlen abgelöst, die sich mit 1000 inner­halb kürze­ster Zeit einen unauf­hol­baren Vor­sprung erar­beitet haben.

Schon lange Zeit frage ich mich, woran das liegt, denn mein zwei Wochen nach den Quadrat­zahlen geschrie­bener Beitrag über Drei­ecks­zahlen war bereits auf Platz 7 als die Quadrat­zahlen erst­mals unter den 25 Besten sichtbar wurden. Warum holten die Quadrat­zahlen die Drei­ecks­zahlen so spät und dann so brutal ein? Für die ersten 200 Aufrufe benötig­ten sie 140 Tage, und in weiteren 70 Tagen folgen dann 800. Mit den Bloggern, die sich nur für aktuelle Einträge interes­sieren, hat das nichts zu tun. Viel­leicht haben sich die Schüler nach den Herbst­ferien auf die Quadrat­zahlen einge­googelt.

Fütterung der Hommingberger Gepardenforelle
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[1] 18.07.2024: Die Analyse meiner Homming­berger Geparden­forelle funkti­oniert natür­lich nicht mehr, denn es handelte sich nur um einen kurz­lebigen Spaß. Aber das Ergebnis der Auswer­tung ist noch in einem Kommentar zu lesen.

Setzt man in das Eulersche Primpolynom n(n−1)+41 eine Zahl nach der anderen ein, so erhält man lauter Primzahlen:

n:          1  2  3  4  5  6  7  8   9  10  11  12  13  14  15  16 ...
n(n-1)+41: 41 43 47 53 61 71 83 97 113 131 151 173 197 223 251 281 ...

Das geht so weiter bis n=40 mit der Prim­zahl 1601, doch für n=41 kommt wegen n(n−1)+41=41⋅40+41=41⋅41 eine Quadrat­zahl heraus. Wie findet man solche Folgen ohne Computer und ohne viel Zahlen­theorie?

Die im Eulerschen Primpolynom enthal­tenen Recht­eck­zah­len n(n−1) sind gerade und lassen bei Divi­sion durch 3 nur die Reste 0 und 2. Deshalb enthalten die Folgen n(n+1)+6k+5 keine durch 2 oder 3 teil­baren Zahlen. Und für k=0,1,2,3,6 erge­ben sich tatsäch­lich Poly­nome n(n−1)+a mit a=5,11,17,41, die bis n=a−1 Prim­zahlen sind. Hinzu kommen a=2,3. Weitere habe ich bis 1000 nicht gefunden und gibt es wohl auch nicht, wenn ich [1] über­flie­gend recht ver­standen habe.

[1] Candy Walter: Das Gauss'sche Klassen­zahl-​Eins-​Problem. 2012.

Ulam-Spirale | Eszett

So mancher hat vielleicht schon aus Langeweile die Zahlen auf kariertem Papier in der Form einer rechtwinkligen Spirale

15--14--13--12
             |
 4---3---2  11
 |       |   |
 5   0---1  10
 |           |
 6---7---9---9

aufgemalt. Auch Stanislav Ulam fand neben dem Bau der Wasser­stoff­bombe Zeit dazu. Und viel­leicht war er wirklich der erste, der eine Klumpung der Primzahlen entlang der Diago­nalen bemerkte, die ich im nach­folgenden Diagramm blau darge­stellt habe. [1]

99 98 97 96 95 94 93 92 91 90
64 63 62 61 60 59 58 57 56 89
65 36 35 34 33 32 31 30 55 88
66 37 16 15 14 13 12 29 54 87
67 38 17  4  3  2 11 28 53 86
68 39 18  5  0  1 10 27 52 85
69 40 19  6  7  8  9 26 51 84
70 41 20 21 22 23 24 25 50 83
71 42 43 44 45 46 47 48 49 82
72 73 74 75 76 77 78 79 80 81

Ulam-Spirale, ungerade Primzahlen blau, Quadrat­zahlen rot, Rechteck­zahlen grün (htm, png)

In der Hauptdiagonalen stehen die grünen Rechteck­zahlen Rₙ=n(n+1), abwech­selnd vom Zentrum nach rechts oben und links unten. Nicht ganz so schön ordnen sich die roten Quadrat­zahlen an. Die geraden gehen auf der Nebendiagonalen nach links, die ungeraden um eine Position versetzt nach rechts unten etwas versetzt von der 1 aus. Sowohl die Rechteck- als auch die Quadratzahlen stehen an den Ecken der Spirale. [2]

Jede von einer Zahl a nach außen weisende Diagonale besteht aus Zahlen 2n(2n+b)+a, ist also eine aufstei­gende quadra­tische Progres­sion. Zum Beispiel 4n²+12n+7 für die nach rechts unten weisende Folge 7,23,47,79,… Die recht langen Strecken von diagonal liegenden Prim­zahlen sind also nichts anderes als eine Veran­schau­lichung der Tatsache, daß in quadra­tischen Progres­sionen Prim­zahlen offen­sicht­lich leichter aufein­ander folgen als in line­aren, wenn auch selten so hart­näckig wie im Euler­schen Prim­polynom n(n−1)+41.

[1] Ursprünglich hatte ich die die Ulam-Spirale in einer ordent­lichen Tabelle darge­stellt und die Prim­zahlen zur besseren Erkennung mit gelben Hinter­grund versehen, doch zunächst fiel unter blogger.de bgcolor in Tabellen­feldern aus, später wurden Tabellen gänzlich unter­drückt.

[2] Dieses Hin und Her macht deutlich, daß eine Spirale nicht die ideale Art und Weise ist, die Zahlen anzu­ordnen, um Reihungen zu erkennen.

[3] Wolfram Mathworld. Prime Spiral.

[4] T. Goddard: Ulam Spiral

41 | Primzahlkreuz

Nachdem alle Parteien sich „gut aufgestellt“ hatten, wech­selten sie von der geblähten Sprache der Öko­nomie zu Versatz­stücken aus der Mathe­matik. Sie suchten nach den „gemein­samen Schnitt­mengen“, die auf einmal mächtiger waren als im Wahlkampf zuge­geben, gleich­wohl es zu einer regie­rungs­fähigen Verei­nigungs­menge noch nicht reicht. Den Schnitt­mengen folgten die „gemeinsamen Nenner“, von denen sich der kleinste gegen­über dem größten durch­gesetzt hat. Nur Sigmar Gabriel sollte von Angela Merkel noch einmal gesagt bekommen, daß bei­spiels­weise bei der Addition

CDU + SPD = 7/20 + 12/35 = 49/140 + 48/140 = 97/140

die Zahl 140 den kleinsten gemein­samen Nenner bildet, weil 140 das kleinste gemein­same Viel­fache von 20 und 35 ist.

Eine Beziehung zwischen der Schnittmenge und dem kleinsten gemeinsamen Nenner kann man wie folgt herstellen: Besteht die Menge jeder Partei aus den Vielfachen ihres Nenners

CDU = {20,40,60,80,100,120,140,160,180,200,240,160,280,…}
SPD = {35,70,105,140,175,210,245,280,315,350,385,420,…}

dann sind in der Schnittmenge

CDU ∩ SPD = {140,280,420,560,…}

genau die Vielfachen des kleinsten gemeinsamen Nenners enthalten.

Wenn des öfteren im Leben aus mehreren Rich­tungen ähnliche Hinweise kommen, dann ist das keine den Zufall aus­trick­sende höhere Macht. Am Werke sind viel­mehr unbe­kannte Zusammen­hänge und das Bedürf­nis des Menschen, durch Zusammen­fassung das Gehirn zu entla­sten. So wird es wohl auch mit den drei Kleinig­keiten der letzten Woche sein, die mich auf die sog. Blogroll auf­merk­sam machten:

1. Alpha-Blogger Donalphons wendet sich gegen die These eines Prof. Dr. Neu­berger, der die Auffas­sung vetrete, es gäbe nur wenige A‑List-​Blogger, die vornehm­lich auf sich selbst verwiesen und um die herum die übrigen Blogger vege­tierten. [1] Donal­phons hält entgegen, daß nur wenige diesen Links folgen würden und auch er nur in einem Prozent aller Fälle über eine sog. Blogroll erreicht würde. Beide werden halbwegs recht haben: Blog­rolls sind für den Erst­kontakt von hoher Bedeu­tung, danach nicht mehr. In dieser Bezie­hung sind Blogs wie Poesie­alben: Man regi­striert durchaus, wie voll sie sind und in welcher Reihen­folge wer darin zu finden ist. Man fragt aber später keinen: Wo wohnt denn der, wo in Dein Poesie­album „In meinem Zimmer rußt der Ofen, in meinem Herzen ruhst nur Du“ geschrie­ben hat?

2. Die wenigen Leser meiner Beiträge kommen vornehm­lich über Suchan­fragen bei Google. In letzter Zeit wollen sie alle wissen, was eine Quadrat­zahl ist. Um ihnen und letzt­lich auch mir einen Über­blick über inter­essan­tere Einlas­sungen zu geben, habe ich ein paar Über­sichts­seiten erstellt. Und im nächsten Schritt habe ich Links auf diese Über­sichten unter „Favorite Items“ einge­tragen, wo sich jahre­lang nur Werbung tummelte und in letzter Zeit ein Hinweis auf Server­über­lastung. Bisher bin ich in meinem Blog-​Layout keinen Zenti­meter vom Standard abge­wichen. Das geschah aus Faul­heit und der Lebens­erfah­rung, daß ver­bogene Soft­ware nur schlecht zu pflegen ist.

3. Den wenigen sog. Backlinks, die nicht auf Suchan­fragen zurück­gehen und auch nicht von der Blogger‑de-​Start­seite kommen, folge ich gelegent­lich. Zumeist sehe ich dort auf mich einen kleinen Hinweis, und sei er von mir selbst. Doch gestern fand ich keinen im Text, daß ich auch einmal links und rechts davon schaute. Und tatsäch­lich hatte mich Herr Kid37 in sein Stationen­drama aufge­nommen, nachdem ich mich schon bei Herrn Mark793 unter Goethes letzten Worten gesehen hatte. Deshalb gehe ich nun einen Schritt weiter, verweise nicht nur auf mich selbst, sondern nehme auch andere auf: Damit folge ich dem im normalen Leben so erfolg­reichen Vitamin‑B-​Prinzip und berück­sich­tige eine aus der mensch­lichen Liebe über­tragene Erkennt­nis: Surfen ist nicht so wichtig wie gesurft zu werden.

[1] Donalphons: Die kleine A-List-Verschwö­rungs­theorie. 27.09.2005.

Heute ist der letzte Tag, um meine 40 Treue­herzen bei Tengel­mann einzu­lösen. Dafür bekomme ich eine Müsli­schale oder unter Zuzahlung von 9,99 Euro ein fünf­teiliges Gedeck. Stünde mir der Sinn nach mehr Geschirr, könnte ich zusätz­lich eine Müsli­schale für 9,99 Euro und ein Gedeck für 39,99 Euro erwerben. Was soll ich tun? Das ist die einfa­chere von zwei Fragen. Da mir ein einzelnes Gedeck keine 9,99 wert ist und zwei nicht 49,98 Euro, ist die Entscheidung klar: Ich werde heute die Müsli­schale abholen. Eigent­lich wollte ich das schon gestern tun, doch gab es natür­lich keine mehr.

Die zweite Frage treibt mich schon eine Weile um und muß nun endlich beant­wortet werden. Wie kalku­liert Tengel­mann den Wert der Herzen, um wieviel Prozent Rabatt handelt es sich da eigent­lich? In meiner Kind­heit gab es einfach 3 Pro­zent. Ein Rabatt­marken­buch zu 50 DM erbrachte eins-​fuffzig. Heutzu­tage geht es nicht mehr ohne Verwir­rung: Es gibt nur für voll­stän­dige 5 Euro ein Herz und auch kein direkt ver­rechen­bares Geld zurück, sondern irgend­welche über­bewer­teten Sachen. Der Wert ist unklar, über­zählige Herzen verfallen, und es wird der Eindruck erweckt, man könne durch Zuzah­lung ein Schnäpp­chen machen. Vielen Kunden ist das zu blöd. Sie nehmen keine Herzen mit oder holen die Prämien nicht ab.

Nun aber zurück zu einer hypothe­tischen Kalku­lation im Falle der Tengel­mann-​Treue­herzen, die heute noch einge­löst werden können. Es gibt:

1. eine Müslischale zu 9,99 Euro
2. eine Müslischale für 40 Herzen
3. ein Gedeck für 39,99 Euro
4. ein Gedeck für 40 Herzen und 9,99 Euro
5. ein Gedeck für 120 Herzen

Zunächst dachte ich daran, die späteren Herzen könnten mehr wert sein als die ersten, damit die Leute viel Umsatz machen nach dem Motto: Nimm drei, zahl zwei. Doch so scheint es nicht zu sein. Die Müsli­schale bekommt man für 40 Herzen oder 9,99 Euro, beim Gedeck benötigt man aber 80 Herzen zur Vermeidung von 9,99 Euro Zuzahlung.

Aus den fünf genannten Fakten leite ich drei Gleichungen ab, in die ich drei Unbe­kannte ein­fließen lassen kann, die wahren Werte t des Treue­herzens, m der Müsli­schale und g des Gedecks.

aus 2. ergibt sich: m = 40t
aus 4. ergibt sich: g = 40t + 10
aus 5. ergibt sich: g = 120t

Zur Vereinfachung habe ich mir erlaubt, die optische Täuschung rückgängig zu machen und alle Preise um einen Cent erhöht, um das zu können, was Geschäfte vermeiden wollen, nämlich im Kopf zu rechnen. Es wären zwei Gleichun­gen (zu 1. und 3.) mehr möglich, doch geht es ja darum zu über­prüfen, inwieweit m=10 und g=40 reali­stisch sind. Das Ergebnis lautet wenig über­raschend g=15, m=5 und t=1/8. Das Geschirr ist nach dieser Rechnung also höchstens die Hälfte wert. Ein Treue­herz von 1/8 Euro oder 12,5 Cent auf 5 Euro ergibt einen beschei­denen Rabatt von 2,5 Pro­zent.

In jedem Fall sollte man seine Herzen einlösen, zuzahlen aber nur, wenn einem die Sachen mehr als die Hälfte des Kauf­prei­ses wert sind, weil man sie benö­tigt oder teurer weiter­ver­kaufen kann. Voll­kauf wird sich kaum lohnen, auch wenn man ganz scharf auf das Geschirr ist, denn woanders wird es nicht unbe­dingt teurer sein. Am liebsten wäre mir ein Handel mit Treue­herzen an der Börse. Es würde mich nicht wundern, wenn sie dort mit 15 Cent über den Tresen gingen, ab 5 Cent würde ich verkaufen und auf Geschirr ver­zichten. Dann hätte ich 2,50 Euro für alle meine 50 Herzen.