Pizzazahlen
wuerg, 07.06.2026 18:31
Ein normaler Pizzabäcker teilt seine Pizza mit vier Schnitten in 8 Teile. Trifft er die Mitte nicht genau, so entstehen im Mittenmatsch bis zu drei weitere Stücke. Die Frage lautet nun: Wieviele Stücke sind mit 4 geraden Schnitten möglich? Es sind diese D₄+1=11, die vierte Dreieckszahl plus 1. Ganz allgemein sind es für n Schnitte Dₙ+1 Stücke. [1,2,3]
Der erste Schnitt teilt die Pizza in zwei Teile, der zweite erhöht auf vier, wenn er den ersten Schnitt kreuzt. Der dritte Schnitt kann beide vorangehenden kreuzen und somit drei Stücke durchschneiden, mehr aber auch nicht. Der vierte Schnitt kreuzt maximal die drei vorangehenden. Sie teilen den neuen Schnitt in bis zu vier Strecken, die höchstens vier Stücke durchschneiden. So geht es weiter bis zum n‑ten Schnitt, der höchstens n neue Stücke erzeugen kann. Deshalb sind mit n geraden Schnitten nicht mehr als
1 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + n = 1+Dₙ
Stücke möglich. Erreicht man die aber diese Zahl? Ist es möglich, mit jedem neuen Schnitt alle bereits vorhandenen zu kreuzen? Es geht, wenn die Stücke auch recht unterschiedlich ausfallen. In der Ebene, also der randlosen unendlichen Pizza, ist das einfach. Man vermeidet parallele Schnitte und mehr als zwei durch einen Punkt, so kreuzt jeder jeden genau einmal in insgesamt Dₙ Punkten und es entstehen Dₙ+1 Teile. Findet dieses Muster nicht im Inneren der Pizza Platz, kann es einfach verkleinert werden. Damit sind auch auf ihr Dₙ+1 Teile möglich. [3]
Natürlich kann man auch gleich die Schnitte systematisch anlegen. Schön finde ich, für ungerades n einfach einen n‑zackigen maximal spitzen Stern in die Mitte zu zeichnen und dessen Linien zum Rand der Pizza hin als Schnitte zu verlängern. Für gerades n wählt man einen (n+1) zackigen Stern und läßt einen Schnitt weg. Im Falle n=8 sieht das wie folgt aus:
Teilung einer Pizza mit 8 Schnitten in 37 Stücke (png) [4]
Wem das zu kompliziert ist, der verfolge einfach die Methode der Pizzabäcker und teile eine Runde Pizza mit n geraden Schnitten jeweils unter einem um 180°/n wachsenden Winkel in einem kleinen Abstand d von der Mitte durch. Wählt man d>0 klein genug, so schneiden sich alle Geradenpaare innerhalb der Pizza, und durch keinen Punkt gehen mehr als zwei Geraden. Es müssen also Dₙ+1 Stücke entstanden sein, so klein und unförmig sie im Mittenmatsch auch sein mögen.
[1] Wolfram Mathworld. Circle Division by Lines.
[2] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. A000124.
[3] Stillschweigend ist vorausgesetzt, daß jeder gerade Schnitt den Rand nur an zwei Stellen durchtrennt, wie es bei einer runden oder rechteckigen, zumindest konvexen Pizza der Fall ist. Eine Pizza in Form eines Elefantenarsches mit Loch in der Mitte gestattet bereits mit zwei Schnitten fünf Stücke, eine E-förmige sogar vier mit einen Schnitt. Von Pizzatas aus mehreren Stücken ganz zu schweigen.
[4] Ich konnte mich nicht aufraffen, für ein ordentliches Bild Mathematica zu reanimieren oder mich mit irgendeinem anderen Geometrie-Programm anzufreunden. Deshalb bleibe ich bei einer halbwegs ordentlichen Zeichnung, wie ich auch vorzugsweise mit Bargeld zahle.
Der erste Schnitt teilt die Pizza in zwei Teile, der zweite erhöht auf vier, wenn er den ersten Schnitt kreuzt. Der dritte Schnitt kann beide vorangehenden kreuzen und somit drei Stücke durchschneiden, mehr aber auch nicht. Der vierte Schnitt kreuzt maximal die drei vorangehenden. Sie teilen den neuen Schnitt in bis zu vier Strecken, die höchstens vier Stücke durchschneiden. So geht es weiter bis zum n‑ten Schnitt, der höchstens n neue Stücke erzeugen kann. Deshalb sind mit n geraden Schnitten nicht mehr als
1 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + n = 1+Dₙ
Stücke möglich. Erreicht man die aber diese Zahl? Ist es möglich, mit jedem neuen Schnitt alle bereits vorhandenen zu kreuzen? Es geht, wenn die Stücke auch recht unterschiedlich ausfallen. In der Ebene, also der randlosen unendlichen Pizza, ist das einfach. Man vermeidet parallele Schnitte und mehr als zwei durch einen Punkt, so kreuzt jeder jeden genau einmal in insgesamt Dₙ Punkten und es entstehen Dₙ+1 Teile. Findet dieses Muster nicht im Inneren der Pizza Platz, kann es einfach verkleinert werden. Damit sind auch auf ihr Dₙ+1 Teile möglich. [3]
Natürlich kann man auch gleich die Schnitte systematisch anlegen. Schön finde ich, für ungerades n einfach einen n‑zackigen maximal spitzen Stern in die Mitte zu zeichnen und dessen Linien zum Rand der Pizza hin als Schnitte zu verlängern. Für gerades n wählt man einen (n+1) zackigen Stern und läßt einen Schnitt weg. Im Falle n=8 sieht das wie folgt aus:
Teilung einer Pizza mit 8 Schnitten in 37 Stücke (png) [4]
Wem das zu kompliziert ist, der verfolge einfach die Methode der Pizzabäcker und teile eine Runde Pizza mit n geraden Schnitten jeweils unter einem um 180°/n wachsenden Winkel in einem kleinen Abstand d von der Mitte durch. Wählt man d>0 klein genug, so schneiden sich alle Geradenpaare innerhalb der Pizza, und durch keinen Punkt gehen mehr als zwei Geraden. Es müssen also Dₙ+1 Stücke entstanden sein, so klein und unförmig sie im Mittenmatsch auch sein mögen.
[1] Wolfram Mathworld. Circle Division by Lines.
[2] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. A000124.
[3] Stillschweigend ist vorausgesetzt, daß jeder gerade Schnitt den Rand nur an zwei Stellen durchtrennt, wie es bei einer runden oder rechteckigen, zumindest konvexen Pizza der Fall ist. Eine Pizza in Form eines Elefantenarsches mit Loch in der Mitte gestattet bereits mit zwei Schnitten fünf Stücke, eine E-förmige sogar vier mit einen Schnitt. Von Pizzatas aus mehreren Stücken ganz zu schweigen.
[4] Ich konnte mich nicht aufraffen, für ein ordentliches Bild Mathematica zu reanimieren oder mich mit irgendeinem anderen Geometrie-Programm anzufreunden. Deshalb bleibe ich bei einer halbwegs ordentlichen Zeichnung, wie ich auch vorzugsweise mit Bargeld zahle.
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