Zahlwort

Soll ein Mensch eine Farbe, ein Werkzeug und eine zweistellige Zahl nennen, die keine Schnapszahl oder ein Vielfaches von zehn ist, dann soll zumeist „rot, Hammer und 37“ geantwortet werden. Dabei wird sich kaum einer von den Beziehungen zur 73 und zur 666 leiten lassen, auch nicht von Sechs­ecken und Sternen aus 37 Punk­ten. Ich erkläre mir das wie folgt: Wann immer man um eine solche Zahl gebeten wird, droht die Gefahr eines Zahlen­tricks, dem man unwill­kür­lich durch die Auswahl einer schweren Zahl begeg­nen möchte. Diesen Ein­druck erweckt die Prim­zahl 37, deren Ziffern beide wiederum Prim­zahlen sind.

Warum dann nicht eine andere Zahl wie 13, 23, 31, 53 oder 73? Weil 2 und 5 nicht so recht prim aussehen, denn hinten stehend erzwingen sie Teilbarkeit durch sich selbst. Insbe­sondere sind die Umkehrungen 32 und 35 von 23 und 53 keine Prim­zahlen, wohl aber die von 13, 31, 37 und 73. Formal könnte man 13 und 31 ausscheiden lassen, weil 1 keine Primzahl ist. Doch wer weiß das schon? Und in manchen Frage­stel­lungen heißt es durchaus „nicht zusammengesetzt“ oder „keinen echten Teiler“. Trotzdem scheiden 13 und 31 aus, denn die 1 gibt ihnen ein zu einfaches Aussehen. So bleibt als einziger Konkurrent der 37 die Zahl 73, die schon wegen ihrer Größe das Nach­sehen hat.

Nach diesen Vorbemer­kungen ist es nicht ver­wunder­lich, wenn in Prim­zahl­spiele­reien gerne die Ziffern 3 und 7 vor­kommen. Eine davon gipfelt in folgendem Diagramm:

     7
    7 3
   7 3 9
  7 3 9 3
 7 3 9 3 9
7 3 9 3 9 7
 3 9 3 9 7
  9 3 9 7
   3 9 7
    9 7
     7

Alle 11 Zahlen sind prim, und es gibt kein größeres Diagramm dieses Typs, alle anderen sind sogar wesent­lich kleiner:

   3         3
  3 7       3 1       7       3       3       3
 3 7 9     3 1 3     7 9     3 7     3 1     3 1
3 7 9 7   3 1 3 7   7 9 7   3 7 3   3 1 7   3 1 3
 7 9 7     1 3 7     9 7     7 3     1 7     1 3
  9 7       3 7       7       3       7       3
   7         7

Und das sind auch schon alle mit mehr als zwei Stellen. Primzahlen, von denen man beständig die niederwertigste (rechte) Ziffer entfernen kann und stets ein Primzahl bleiben, heißen rechts(seitig) stutzbar. [1] Geschieht das mit der höchstwertigen Ziffer, so heißen sie links(seitig) stutzbar. [2] Und man kann es sich denken: Zahlen, die von links und rechts stutzbar sind, heißen beidseitig oder einfach nur stutzbar. Es sind gerade einmal 15 Stück:

2,3,5,7,23,37,53,73,313,317,373,797,3137,3797,739397

Bemerkenswert ist, daß es zwar eine sechs-, aber keine fünfstellige beidseitig stutzbare Zahl gibt, insbesondere sind die beiden Stutzungen von 739397, nämlich 73939 und 39397 nur noch einseitig stutzbar, weil 3939=39⋅101 ist.

Bei laxer Auslegung könnte „von links und rechts stutzbar“ auch meinen, es müsse nicht immer von der gleichen Seite gestutzt werden, vielmehr könne es in beliebiger Abfolge vorne und hinten geschehen. Dann entfallen aus der so und so schon kurzen Liste schon einmal alle mit Ziffer 1 oder 9. Es bleiben

2,3,5,7,23,37,53,73,373

die auch wirklich alle in beliebiger Abfolge stutzbar sind. Das ist gleichbedeutend mit der Forderung, daß alle Teilketten (substrings) prim sein müssen.

Um all diese Zahlen zu finden, kann man mit Hilfe eines Computers mit den einstelligen Primzahlen beginnen, jede Ziffer hinten bzw. vorne anfügen und auf Primalität prüfen, um sodann den entstandenen primen Zahlen eine weitere Ziffer anzufügen oder voranzu­stellen und so fort. So erhält man eine Liste der rechts bzw. links stutzbaren Zahlen, aus denen man dann die vorstehend genannten beidseitiger Abschneidung gewinnen kann. Das ist nicht sehr aufwendig, denn es gibt nur 83 rechts stutzbare Zahlen bis 73939133, von denen man unter den 4260 links stutz­baren Zahlen bis 357686312646216567629137 die bereits genannten 15 findet. [3]

[1] Wenn man sich mit Mathe­matik beschäftigt, kann es lange dauern, bis man zu den englischen die deutschen Begriffe findet, denn schon lange ist Deutsch nicht mehr die führende Wissen­schafts­sprache und Begriffs­bildung findet zunächst englisch statt. So benötigte ich eine Weile, bis ich für die „trunca­table numbers“ auf den Begriff stutzbar stieß. Zuvor nannte ich sie verkürz­bar oder abschneid­bar, doch stutzbar ist viel schöner.

[2] Von links könnte ein Problem mit der 0 auftreten, weshalb sie als Ziffer nicht zugelassen ist. So ist 103 nicht links stutzbar, gleich­wohl 03 und 3 ja prim sind.

[3] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. A024785 links, A024770 rechts, A020994 beidseitig stutzbar, A085823 auch abwechselnd.

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