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Fortpflanzung
wuerg, 29.09.2005 19:38
Vor allem den kleinen Zahlen werden gerne menschliche Eigenschaften zugeordnet. So gelten die geraden als weiblich, die ungeraden als männlich. Und wie Menschen sich mehr oder minder stark fortpflanzen, so ist es mit den Zahlen. Die Ziffer 5 pflanzt sich zu 50% fort, weil jedes zweite Vielfache einer auf 5 endenden Zahl wieder eine 5 am Schluß aufweist, sozusagen jeder zweite Vermehrungsversuch gelingt. Besser ist nur noch die triviale 0, die stets erhalten bleibt. Mit 20% mäßig setzen sich die geraden Ziffern 2, 4, 6 und 8 durch. Ganz schlecht sind die verbleibenden vier Ziffern 1, 3, 7 und 9, die es nur auf 10% bringen. Im zweistelligen Bereich haben 25 und 75 eine Rate von 25%, denn
5⋅25=125 9⋅25=225 13⋅25=325 17⋅25=425 …
5⋅75=375 9⋅75=675 13⋅75=975 17⋅75=1275 …
Besser sind mit 100% bzw. 50% nur die triviale Fälle 00 und 50. Nicht tiefschürfender sind 20, 40, 60 und 80 mit 20% Fortpflanzungsrate und 10, 30, 70 und 90 mit 10%. Es verbleiben 5% für 05, 15, 35, … und 4% für 04, 08, 12, 16, 24, … sowie 2% für 02, 06, 14, 18, 22, … und 1% für den Rest. Damit sind 25 und 75 die sich am besten fortpflanzenden, nicht-trivialen zweistelligen Endungen.
Dieser Wiederholung und der damit verbundenen Vierteilung ist die Beliebtheit der auf 25 und 75 endenden Jubiläumszahlen geschuldet [1]. Dennoch sollte man daraus nicht vorschnell eine eigenständige Bedeutung für die Zahl 25 ableiten, denn ohne unsere weltweite Basis 10 wäre sie nicht gegeben. In anderen Basen b pflanzen sich andere Zahlen gut fort. Man überlegt sich leicht, daß
r(b,n,a) = ggT(a,bn) / bn = a / kgV(a,bn)
die n-stellige Fortpflanzungsrate einer n‑stelligen Endung mit Zahlwert a von 0 bis bⁿ−1 ist. [2]. Darin steht ggT für den größten gemeinsamen Teiler und kgV für das kleinste gemeinsame Vielfache. Für den zweiten Paradefall a=75, b=10 und n=2 ergibt sich ggT(75,100)=25 und kgV(75,100)=300, also r(10,2,75)=25/100=75/300=25%.
Ein komplizierteres Beispiel zur Basis 60, in der Menschen wegen der Uhrzeit noch einigermaßen rechnen können: Für a=126, b=60 und n=2 ergibt sich ggT(126,3600)=18 und kgV=(126,3600)=25200, also r=18/3600=126/25200=1/200=0,5%. Zur Kontrolle die Vielfachen von a=126=2:06 (126 Sekunden sind 2 Minuten und 6 Sekunden):
Mit diesem Rüstzeug lassen sich schnell alle Zahlen hoher Fortpflanzungsrate zu irgendeiner Basis und irgendeiner Stellenzahl bestimmen. Für eine 100‑prozentige Fortpflanzung muß a=0 sein. Sie ist damit die einzige, und zwar zu jeder Basis und zu jeder Stellenzahl. Wer hätte das gedacht?
Die nächstkleinere Fortpflanzungsrate ist 50%. Sie wird bei 2a=0 mod bⁿ mit a>0 erreicht. Nur gerade Basen b erlauben eine Rate von 50%. Unter ihnen gibt es zu jeder Stellenzahl n genau eine Fortpflanzungszahl a=bⁿ/2. Insbesondere hat jede Zahl a eine einstellige Fortpflanzungsrate von 50% zur Basis b=2a. Die einstellige 5 zu unserer Basis 10 ist also einfach nur 10/2. Zu den Basen 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, … pflanzen sich 2, 8, 18, 32, 50, 72, 98, 128, … zu 50% zweistellig fort. Zur eigenen Basis b geschrieben sehen sie mit 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, … schon ebenmäßiger aus.
Die nächste mögliche Rate ist 1/3 (etwa 33%), die nur für durch 3 teilbare Basen b möglich ist. In dem Falle gibt es zu jeder Stellenzahl n genau zwei Fortpflanzungszahlen a=bⁿ/3 und das Doppelte davon. Wieder hat jede Zahl a eine einstellige Fortpflanzungsrate von 1/3, nämlich zur Basis 3a. Die zweistelligen sind 3 und 6 zur Basis 3, 12 und 24 zur Basis 6, 27 und 54 zur Basis 9 usw. Damit ist die Fortpflanzungsrate 1/3 auch nicht gerade interessanter als die von 1/2. Und das gleiche gilt für alle Raten 1/p mit einer Primzahl p. Nur durch p teilbare Basen b gestatten eine Rate 1/p zu den Endungen k⋅(bⁿ/p) für k=1,2,…,p−1. Schreibt man die sich mit 1/p fortpflanzenden Zahlen in ihrer Basis b selbst, so erkennt man die Trivialität sofort. Als Beispiel diene wieder die Basis b=60 und die Stellenzahl n=2:
Nun kommt der erste interessante Aspekt: Bei mehrstelliger Fortpflanzung zu 25% muß die Basis b nicht durch 4 teilbar sein, es reicht auch 2. Das liegt einfach daran, daß n‑stellige Fortpflanzung zur Basis b eigentlich nur eine einstellige zur Basis bⁿ ist. Ungerade Basen lassen keine Rate von 25% zu, wohl aber alle geraden. Wieder trifft es genau zwei Zahlen, nämlich a=bⁿ/4 und das Dreifache davon. Zur Basis 10 sind es 100/4=25 und das Dreifache 75 davon. Hexadezimal 100/4=40 und 3⋅40=C0 (Dezimal 256/4=64 und 3⋅64=192).
Zur Basis 10 ist also wie erwartet 25 die kleinste unter den Zahlen mit der stärksten nicht-trivialen zweistelligen Fortpflanzung. Doch leider ist das nichts besonderes, denn jede Quadratzahl a=x² und ihr Dreifaches haben eine Fortpflanzungsrate von 25% in der Basis 2x. Was also zeichnet die 25 vor den anderen aus? Daß 25 sich mit 25% fortpflanzt, die übrigen 1, 4, 9, 16, 36, 49, … aber nicht mit 1%, 4%, 9%, 16%, 49%, …? Das ist natürlich nur ein Spaß, auch wären ab Basis 22 die 100% übertroffen. Warum erwähne ich das? Weil 25pro100 für die Endung 25 eigentlich auch keine Besonderheit ist, denn in der eigenen Basis ist es für alle das gleiche: Zum Beispiel zur Basis b=6: Es ist b²=100 (dezimal 36), damit a=100/4=13 (dezimal 36/4=9) mit einer Rate von 13pro100 (dezimal 9pro36). Um das einfache Schema zu sehen, hier eine Übersicht zu weiteren Basen:
[1] 12.07.2024: Das stieß mir auf, als man den Westfälischen Frieden von 1648 nach sage und schreibe 375 Jahren groß rausbrachte. An einen ähnlichen Hype 1998 oder gar 2008 kann ich mich nicht erinnern, obwohl 360 ja auch eine schöne Zahl ist, zumindest für Babylonier. Das mag auch an der seinerzeit nicht im Vordergrund stehenden Instrumentalisierung als Migrationsgipfel gelegen haben.
[2] Offensichtlich ist r(b,n,a)=r(bⁿ,1,a). Auf diese Reduktion habe ich aber verzichtet, um das Verständnis nicht zu überfordern. Wer möchte schon 4711 als zweistellige Zahl mit den Ziffern 47 und 11 zur Basis 100 sehen?
5⋅25=125 9⋅25=225 13⋅25=325 17⋅25=425 …
5⋅75=375 9⋅75=675 13⋅75=975 17⋅75=1275 …
Besser sind mit 100% bzw. 50% nur die triviale Fälle 00 und 50. Nicht tiefschürfender sind 20, 40, 60 und 80 mit 20% Fortpflanzungsrate und 10, 30, 70 und 90 mit 10%. Es verbleiben 5% für 05, 15, 35, … und 4% für 04, 08, 12, 16, 24, … sowie 2% für 02, 06, 14, 18, 22, … und 1% für den Rest. Damit sind 25 und 75 die sich am besten fortpflanzenden, nicht-trivialen zweistelligen Endungen.
Dieser Wiederholung und der damit verbundenen Vierteilung ist die Beliebtheit der auf 25 und 75 endenden Jubiläumszahlen geschuldet [1]. Dennoch sollte man daraus nicht vorschnell eine eigenständige Bedeutung für die Zahl 25 ableiten, denn ohne unsere weltweite Basis 10 wäre sie nicht gegeben. In anderen Basen b pflanzen sich andere Zahlen gut fort. Man überlegt sich leicht, daß
r(b,n,a) = ggT(a,bn) / bn = a / kgV(a,bn)
die n-stellige Fortpflanzungsrate einer n‑stelligen Endung mit Zahlwert a von 0 bis bⁿ−1 ist. [2]. Darin steht ggT für den größten gemeinsamen Teiler und kgV für das kleinste gemeinsame Vielfache. Für den zweiten Paradefall a=75, b=10 und n=2 ergibt sich ggT(75,100)=25 und kgV(75,100)=300, also r(10,2,75)=25/100=75/300=25%.
Ein komplizierteres Beispiel zur Basis 60, in der Menschen wegen der Uhrzeit noch einigermaßen rechnen können: Für a=126, b=60 und n=2 ergibt sich ggT(126,3600)=18 und kgV=(126,3600)=25200, also r=18/3600=126/25200=1/200=0,5%. Zur Kontrolle die Vielfachen von a=126=2:06 (126 Sekunden sind 2 Minuten und 6 Sekunden):
2a = 00:04:12 3a = 00:06:18 ... 10a = 00:21:00 11a = 00:23:06 12a = 00:25:12 13a = 00:27:18 ... 20a = 00:42:00 21a = 00:44:06 22a = 00:46:12 23a = 00:48:18 ... 30a = 01:03:00 31a = 01:05:06 .............. 92a = 03:03:12 93a = 03:05:18 ... 100a = 03:30:00 101a = 03:32:06 .............. 192a = 06:33:12 193a = 06:35:18 ... 200a = 07:00:00 201a = 07:02:06Nach 200 Schritten endet 201a wieder mit 02:06. Vorher ist das nicht der Fall, denn hinter den Punkten verstecken sich keine Treffer.
Mit diesem Rüstzeug lassen sich schnell alle Zahlen hoher Fortpflanzungsrate zu irgendeiner Basis und irgendeiner Stellenzahl bestimmen. Für eine 100‑prozentige Fortpflanzung muß a=0 sein. Sie ist damit die einzige, und zwar zu jeder Basis und zu jeder Stellenzahl. Wer hätte das gedacht?
Die nächstkleinere Fortpflanzungsrate ist 50%. Sie wird bei 2a=0 mod bⁿ mit a>0 erreicht. Nur gerade Basen b erlauben eine Rate von 50%. Unter ihnen gibt es zu jeder Stellenzahl n genau eine Fortpflanzungszahl a=bⁿ/2. Insbesondere hat jede Zahl a eine einstellige Fortpflanzungsrate von 50% zur Basis b=2a. Die einstellige 5 zu unserer Basis 10 ist also einfach nur 10/2. Zu den Basen 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, … pflanzen sich 2, 8, 18, 32, 50, 72, 98, 128, … zu 50% zweistellig fort. Zur eigenen Basis b geschrieben sehen sie mit 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, … schon ebenmäßiger aus.
Die nächste mögliche Rate ist 1/3 (etwa 33%), die nur für durch 3 teilbare Basen b möglich ist. In dem Falle gibt es zu jeder Stellenzahl n genau zwei Fortpflanzungszahlen a=bⁿ/3 und das Doppelte davon. Wieder hat jede Zahl a eine einstellige Fortpflanzungsrate von 1/3, nämlich zur Basis 3a. Die zweistelligen sind 3 und 6 zur Basis 3, 12 und 24 zur Basis 6, 27 und 54 zur Basis 9 usw. Damit ist die Fortpflanzungsrate 1/3 auch nicht gerade interessanter als die von 1/2. Und das gleiche gilt für alle Raten 1/p mit einer Primzahl p. Nur durch p teilbare Basen b gestatten eine Rate 1/p zu den Endungen k⋅(bⁿ/p) für k=1,2,…,p−1. Schreibt man die sich mit 1/p fortpflanzenden Zahlen in ihrer Basis b selbst, so erkennt man die Trivialität sofort. Als Beispiel diene wieder die Basis b=60 und die Stellenzahl n=2:
01:00:00/2=30:00 mit Rate 1/2 (3⋅30:00=01:30:00, 5⋅30:00=02:30:00) 01:00:00/3=20:00 mit Rate 1/3 (4⋅20:00=01:20:00, 7⋅20:00=02:20:00) 2⋅20:00=40:00 mit Rate 1/3 (4⋅40:00=02:40:00, 7⋅40:00=04:40:00) 01:00:00/5=12:00 mit Rate 1/5 (6⋅12:00=01:12:00,11⋅12:00=02:12:00) 2⋅12:00=24:00 mit Rate 1/5 (6⋅24:00=02:24:00,11⋅24:00=04:24:00) 3⋅12:00=36:00 mit Rate 1/5 (6⋅36:00=03:36:00,11⋅36:00=06:36:00) 4⋅12:00=48:00 mit Rate 1/5 (6⋅48:00=04:48:00,11⋅48:00=08:48:00)Die mehrstelligen Fortpflanzungen mit Raten 1/p sind also nichts anderes als mit Nullen aufgeblähte einstellige. Interessant sind dagegen Zahlen a mit nicht-trivialer Fortpflanzung hoher Rate. Die sind zunächst bei 25% zu suchen. Dafür muß 4a=0 mod bⁿ sein, nicht aber schon 2a=0 mod bⁿ. Für eine einstellige Fortpflanzung muß die Basis b durch 4 teilbar sein. Und dann sind a=b/4 und das Dreifache davon die einzigen Zahlen mit 25‑prozentiger Fortpflanzung. Zur Basis 10 gibt es sie deshalb nicht, wohl aber wieder zur Basis 60, nämlich 15 und 45. Hexadezimal sind es 4 und C.
Nun kommt der erste interessante Aspekt: Bei mehrstelliger Fortpflanzung zu 25% muß die Basis b nicht durch 4 teilbar sein, es reicht auch 2. Das liegt einfach daran, daß n‑stellige Fortpflanzung zur Basis b eigentlich nur eine einstellige zur Basis bⁿ ist. Ungerade Basen lassen keine Rate von 25% zu, wohl aber alle geraden. Wieder trifft es genau zwei Zahlen, nämlich a=bⁿ/4 und das Dreifache davon. Zur Basis 10 sind es 100/4=25 und das Dreifache 75 davon. Hexadezimal 100/4=40 und 3⋅40=C0 (Dezimal 256/4=64 und 3⋅64=192).
Zur Basis 10 ist also wie erwartet 25 die kleinste unter den Zahlen mit der stärksten nicht-trivialen zweistelligen Fortpflanzung. Doch leider ist das nichts besonderes, denn jede Quadratzahl a=x² und ihr Dreifaches haben eine Fortpflanzungsrate von 25% in der Basis 2x. Was also zeichnet die 25 vor den anderen aus? Daß 25 sich mit 25% fortpflanzt, die übrigen 1, 4, 9, 16, 36, 49, … aber nicht mit 1%, 4%, 9%, 16%, 49%, …? Das ist natürlich nur ein Spaß, auch wären ab Basis 22 die 100% übertroffen. Warum erwähne ich das? Weil 25pro100 für die Endung 25 eigentlich auch keine Besonderheit ist, denn in der eigenen Basis ist es für alle das gleiche: Zum Beispiel zur Basis b=6: Es ist b²=100 (dezimal 36), damit a=100/4=13 (dezimal 36/4=9) mit einer Rate von 13pro100 (dezimal 9pro36). Um das einfache Schema zu sehen, hier eine Übersicht zu weiteren Basen:
Basis Zahlen mit Rate 25% b dezimal Basis b 2 1 3 01 11 (1=3⋅0+1) 4 4 12 10 30 (3=3⋅1) 6 9 27 13 43 (4=3⋅1+1, 3=6/2) 8 16 48 20 60 (6=3⋅2) 10 25 75 25 75 (7=3⋅2+1, 5=10/2) 12 36 108 30 90 (9=3⋅3) 14 49 147 37 A7 (A=3⋅3+1, 7=14/2) 16 64 192 40 C0 (C=3⋅4) 18 81 243 49 D9 (D=3⋅4+1, 9=18/2)Für die doppeltgeraden Basen b=4,8,12,16,… ist die Einerstelle der Zahlen mit einer Rate von 25% stets 0 und die ‚Zehnerstelle‘ b/4. Das Produkt aus beiden ist also 0. Warum erwähne ich diese Trivialität? Weil es für die einfachgeraden n=2,6,10,14;… schöner ist: Die Einerstelle ist b/2, die ‚Zehnerstelle‘ (b−2)/4, das Produkt beider also b⋅(b−2)/8. Und wann ist das gleich der Basis b? Man wird es vermuten: Nur für b=10 mit 2⋅5=10. Es ist also doch noch eine Besonderheit unserer Basis gefunden.
[1] 12.07.2024: Das stieß mir auf, als man den Westfälischen Frieden von 1648 nach sage und schreibe 375 Jahren groß rausbrachte. An einen ähnlichen Hype 1998 oder gar 2008 kann ich mich nicht erinnern, obwohl 360 ja auch eine schöne Zahl ist, zumindest für Babylonier. Das mag auch an der seinerzeit nicht im Vordergrund stehenden Instrumentalisierung als Migrationsgipfel gelegen haben.
[2] Offensichtlich ist r(b,n,a)=r(bⁿ,1,a). Auf diese Reduktion habe ich aber verzichtet, um das Verständnis nicht zu überfordern. Wer möchte schon 4711 als zweistellige Zahl mit den Ziffern 47 und 11 zur Basis 100 sehen?
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