Friedmanzahlen
Unter den Bedeutsamkeiten der Zahl 153 bleibt gele­gent­lich 153=3⋅51 nicht uner­wähnt. Es ist also möglich, aus den Ziffern der Zahl 153 einen arith­meti­schen Ausdruck zu bilden, der wieder diese Zahl ergibt. Das mag zunächst als Aller­welts­eigen­schaft ange­sehen werden, weil man doch aus drei oder gar noch mehr Ziffern sehr viele Aus­drücke bilden kann, von denen mit ansehn­licher Wahr­schein­lich­keit einer treffen sollte.

Genauer gesagt heißt eine Zahl Friedman­zahl, wenn man aus ihren Ziffern zwei oder mehr neue Zahlen bildet und diese unter Verwen­dung von Addition, Subtrak­tion, Multipli­kation, Divi­sion, Poten­zie­rung und Klammer­set­zung zu einem Ausdruck ver­bindet, dessen Wert wieder die Ausgangs­zahl ist. [1] Die Friedman­zahlen unter­halb von 1000 lauten:

 25 = 52
121 = 112
125 = 51+2
126 = 6⋅21
127 = 27−1
128 = 28−1
153 = 3⋅51
216 = 61+2
289 = (8+9)2
343 = (3+4)3
347 = 73+4
625 = 56−2
688 = 8⋅86
736 = 7+36

Es sind weniger als ich zunächst erwartet habe, doch die Anfangs­vermutung, es sei eine Aller­welts­eigen­schaft wurde 2013 bestätigt. Nicht alle Zahlen, aber 100% sind Friedman­zah­len. [2]

Unter den Friedman­zahlen bis 1000 sind nur drei, nämlich 126, 153 und 688, die auf das Poten­zieren verzich­ten können. [3] Und nur 127, 343 und 736 heißen nice, orderly, good oder gar deutsch geord­net, weil der Ausdruck die Ziffern in der richtigen Reihen­folge ent­halten kann, wobei ich 127=−1+2⁷ eigentlich nicht mit­zählen möchte, denn ein nega­tives Vorzei­chen ist keine Sub­traktion.

[1] The On-Line Ecyclopedia of Integer Sequences. Friedman­zahlen A036057, darunter A080035 geord­nete in der korrek­ten Reihen­folge.

[2] Michael Brand: Friedman numbers have density 1. Discrete Applied Mathe­matics 161(16-17), S. 2389-2395, 2003.

[3] Die nächsten sind 1206=6⋅201, 1255=5⋅251 und 1260=6⋅210. Alle drei Vampir­zahlen mit zwei ungleich großen Zähnen. Erst 1395=15⋅93 ist eine Vampir­zahl im engeren Sinne mit zwei gleich­großen Zähnen. Und 11439=9⋅31⋅41 ist die erste mit dreien. So geht es eine Weile weiter, doch nicht alle Friedman­zahlen ohne Poten­zierung sind auch Vampir­zahlen. So ist 1288957=(9+8)⋅75821 keine.

153 | Vampirzahlen

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