Zahlwort

Abgesehen von den Prim­zahlen erscheinen mir die Quadrat­zah­len [1] als die wich­tigsten. Denn wenn man eine andere Zahlenreihe hat, deren Vertreter ich einmal Ander­zahlen nennen möchte, dann fragt man sich allen­falls, welche von diesen Ander­zahlen auch Quadrat­zahlen sind, und nicht umge­kehrt, welche Quadrat­zahl eine Ander­zahl ist. Der Unter­schied liegt also nicht im Ergebnis, sondern in der Denk­weise. Doch damit genug der Vorrede und Ent­schul­digung, daß eine schlichte Zahlen­folge wie die der Quadrat­zahlen über­haupt erwähnt wird. Sie ist sogar so simpel und allge­mein bekannt, daß ich von ihr sprechen kann, bevor ich sie über­haupt defi­niert habe. Formal ist die n‑te Qua­drat­zahl einfach Q(n)=n·n. Anschau­lich ist das die Zahl der Punkte in quadra­tischer Anord­nung mit n Punkten in jeder Zeile und jeder Spalte oder die Fläche eines Qua­drates mit Kanten­länge n.

Die Differenz zweier aufeinander­folgender Quadrat­zahlen ist Q(n)−Q(n−1)=2n−1. Daraus folgt direkt, daß die Summe der ersten n unge­raden Zahlen Q(n), also die n‑te Quadrat­zahl ist. Veran­schau­licht sieht zum Beispiel 1+3+5+7=16 wie folgt aus:

1 3 5 7
3 3 5 7
5 5 5 7
7 7 7 7

Zu den Primzahlen scheint auf den ersten Blick keine Beziehung zu bestehen, es gibt natür­lich auch keine prime Quadratzahl, weil von n=1 abgesehen jede Quadrat­zahl Q(n) minde­stens 3 Teiler hat, nämlich 1, n und sich selbst. Trotzdem sind die Bezie­hungen uner­schöpf­lich und machen einen bedeu­tenden Teil der Zahlen­theorie aus. Divi­diert man die Quadrat­zahlen durch eine ungerade Prim­zahl p>2, so treten genau (p+1)/2 der p möglichen Reste auf. Im Fall p=7 sieht das wie folgt aus:

Q(n)   1   4   9  16  25  36  49  64  81 100 121 ...
Rest   1   4   2   2   4   1   0   1   4   2   2 ...

Die Abfolge 1, 4, 2, 2, 4, 1, 0 wiederholt sich wieder und wieder. Nicht so einfach ist es mit zusam­menge­setzten Zahlen. Der Mensch inter­essiert sich besonders für die Reste bei der Divi­sion durch q=10, also für die Einer­stelle der Quadrat­zahlen. Vier von zehn treten nicht auf. Es gibt deshalb keine auf 2, 3, 7 oder 8 endenden Quadrat­zahlen. Besonders schön ist es für q=8:

Q(n)   1   4   9  16  25  36  49  64  81 100 121 ...
Rest   1   4   1   0   1   4   1   0   1   4   1 ...

Die Quadrate der ungeraden Zahlen lassen bei Division durch 8 alle den Rest 1. Und weil selbst­verständ­lich eine Quadratzahl genau dann unge­rade ist, wenn sie Quadrat einer unge­raden Zahl ist, heißt dies schöner ausge­drückt: Ungerade Quadrat­zahlen sind von der Form 8m+1. Eine Veran­schau­lichung für 49=8·6+1:

3 3 3 2 2 1 1
3 3 3 2 2 1 1
4 4 4 2 2 1 1
4 4 4   8 8 8
5 5 6 6 8 8 8
5 5 6 6 7 7 7
5 5 6 6 7 7 7

Das Loch in der Mitte steht für den Rest 1. Die Zahlen 1 bis 8 kommen jeweils m=6 mal vor. Doch Vorsicht mit anschaulichen Beweisen. [2] Dieser hier geht nur für n=3,7,11,15…, für die übrigen unge­raden Zahlen muß man ihn etwas abwan­deln oder allge­meiner gestalten:

4 4 3 3 2 2 2 2 2   B B B B A A A A A   3 3 3 3 2 2 2 2 1
4 4 3 3 2 2 2 2 2   B B B B A A A A A   4 3 3 3 2 2 2 1 1
4 4 3 3 1 1 1 1 1   B B B B A A A A A   4 4 3 3 2 2 1 1 1
4 4 3 3 1 1 1 1 1   B B B B A A A A A   4 4 4 3 2 1 1 1 1
4 4 3 3   7 7 8 8   B B B B   D D D D   4 4 4 4   8 8 8 8
5 5 5 5 5 7 7 8 8   C C C C C D D D D   5 5 5 5 6 7 8 8 8
5 5 5 5 5 7 7 8 8   C C C C C D D D D   5 5 5 6 6 7 7 8 8
6 6 6 6 6 7 7 8 8   C C C C C D D D D   5 5 6 6 6 7 7 7 8
6 6 6 6 6 7 7 8 8   C C C C C D D D D   5 6 6 6 6 7 7 7 7

Für n=5,9,13,17,… kann man die um den Mittel­punkt angeord­neten vier Recht­ecke (12, 34, 56 und 78) längs statt quer teilen. Das ist im linken Quadrat für n=9 darge­stellt. Zusammen­fassen kann man beide Fälle wie im mittleren Quadrat. Hier sind nur die vier Rechtecke A bis D gekenn­zeichnet. Dieses Bild gilt zwar für alle ungeraden n, doch ‚beweist‘ es nur, daß jede ungerade Quadrat­zahl von der Form 4k+1 ist. Erst das Zusatz­wissen darüber, daß die Kanten aller vier gleich­großen Rechtecke sich stets um 1 unter­scheiden und sie deshalb einen geraden Flächen­inhalt k=2m haben, führt zum Ergebnis 8m+1.

Das rechte Teilbild veranschau­licht, wie man die vier Rechtecke A bis D in jeweils zwei gleiche Dreiecke 1 bis 8 teilen kann. Darin ist zu ‚sehen‘, was man leicht nach­rechnen kann: Q(2n+1)=8·D(n)+1, worin D(n)=m die n‑te Drei­ecks­zahl ist.

[1] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. A000290.

[2] Bilder, Animationen, Modelle, Maschinen und andere Hilfsmittel können aber den richtigen Weg weisen und einen Sachverhalt interessant machen.

Dreieckszahlen