518616
wuerg, 30.07.2018 00:35
Die metrologische Näherung von 518616 Mikrometern liegt im Vertrauensbereich von einem Promille der empirisch gefundenen Länge der mesopotamischen Nippurelle von 0,51835 Metern. Zur Begründung wird angegeben, daß n=0,518616 eine 7-glatte Zahl sei. Das stimmt, ist aber nicht die ganze Wahrheit, denn von einer solchen Zahl ist noch mehr zu fordern oder zu wünschen.
Eine Zahl heißt p-glatt, wenn sie sich als Produkt aus Potenzen von Primzahlen bis p darstellen läßt. [1] Nur die Zweierpotenzen ..., 1/4, 1/2, 1, 2, 4, ... sind 2-glatt. Dagegen kann jede positive Zahl beliebig genau durch eine 3-glatte genähert werden. Weniger systematisch, dafür aber musikalisch gelangt man zu einer 3-glatten Näherung von e=0,51835:
Das ist aber nicht, was der Metrologe sich wünscht. Da bei der Ableitung antiker Maße oftmals durch 7 zu teilen ist, beschränkt er sich auf 7-Glattheit. Dafür soll es sich aber um eine Dezimalzahl mit möglichst wenig Stellen handeln, die mehrfach durch 7 und auch 3 zu teilen ist, um Periodizitäten in der Dezimaldarstellung zu vermeiden. Also Zahlen der beiden Formen:
Für den im Rahmen der Genauigkeit kleinsten Exponenten d=3 ist nur z=518=2·7·37 möglich. Zwar mit Glück ein Faktor 7, doch leider nicht durch 3 teilbar. Außerdem ist ein nutzloser Faktor 37 mitzuschleppen. Für d=4 darf z von 5183,5 höchstens um 5,2 abweichen. Verlangt man Teilbarkeit durch 7, so kann y=z/7 nur 740 oder 741 sein. Im ersten Falle erhält man nichts neues gegenüber d=3. Und 741=3·247 ist nicht besser, zumal ein Faktor 247 mitgeschleppt werden muß. Für d=5 darf z von 51835 nur um 52 abweichen. Verlangt man zweifache Teilbarkeit durch 7, so kann y=z/49 nur 1057 oder 1058 sein, bei leichter Grenzüberschreitung auch 1059. In allen drei Fällen ergeben sich zu große mitzuschleppende Faktoren 151, 529 bzw. 353. Deshalb nun d=6 mit z im Bereich von 517832 bis 518868. Bei dreifacher Teilbarkeit durch 7 ergeben sich für y=z/343 die Werte 1510, 1511 und 1512. Der erste ist durch 10 teilbar, also schon bei d=5 berücksichtigt, der zweite enthält leider keinen Faktor 2, 3, 5 oder 7. Doch y=1512=2·2·2·3·3·3·7 erweist sich als perfekt:
[1] Sloane: A002473. Liste der ersten 10000 humble numbers, also 7-glatte natürliche Zahlen. Ich lasse für glatte Verhältnisse auch negative Exponenten, also rationale Zahlen mit glattem Nenner und Zähler zu.
[2] Man mag nun einwenden, es ginge auch mit kleineren Exponenten, denn 5184=2^6·3^4. Doch 0,5184=2^2·3^4/5^4 ist keine 3-glatte Zahl, sie ist lediglich 5-glatt. Wenn es einem nur um die Dezimalziffernfolge geht, dann darf man wegen 10=2·5 nicht unter 5-glatt gehen.
[3] Ebenfalls 7-glatt mit maximal einem Promille Abweichung von 518350 ist 518400, die nicht gefunden wurde, weil aus metrologischer Sicht Teilbarkeit durch 7 gefordert war. Andere gibt es nicht. Laut [1] ist die 1080. ganze 7-glatte Zahl 516096 zu klein und die 1083. mit 524288 zu groß. Dieser Tabelle ist auch zu entnehmen, daß eine Dezimalstelle mehr (d=7) nichts bringt. Mit einer weiteren Dezimalen liegt die 3020. Zahl 51883209=3^2·7^8 gerade noch im Vertrauensbereich von 5183500. Doch jede in der Antike so beliebte Zweiteilung lieferte noch eine Stelle mehr. Und nur der Vollständigkeit halber: Die 6831. Zahl lautet 5184974592=2^8·3^10·7^3, eine 11. Dezimale bringt nichts mehr.
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Eine Zahl heißt p-glatt, wenn sie sich als Produkt aus Potenzen von Primzahlen bis p darstellen läßt. [1] Nur die Zweierpotenzen ..., 1/4, 1/2, 1, 2, 4, ... sind 2-glatt. Dagegen kann jede positive Zahl beliebig genau durch eine 3-glatte genähert werden. Weniger systematisch, dafür aber musikalisch gelangt man zu einer 3-glatten Näherung von e=0,51835:
(1) 5 Quinten ≈ 3 Oktaven: 2^8/3^5 = 1 + 0,0535 (2) 12 Quinten ≈ 7 Oktaven: 2^19/3^12 = 1 - 0,0135 (3) 53 Quinten ≈ 31 Oktaven: 2^84/3^53 = 1 - 0,0021Als 0. Näherung von e=0,51835 kann e0=1/2 gewählt werden. Es ist e=e0·(1+0,0367). Diese Abweichung korrigiert man gut durch die Kombination von (1) und (2). Damit wird die 1. Näherung e1 erreicht:
e1 = e0·(2^8/3^5)·(2^19/3^12) = 2^26/3^17 = 0,51966 e = (2^26/3^17)·(1-0,0025)Die Abweichung von zu großen 2,5 Promille kann größtenteils durch (3) beseitigt werden:
e2 = e1·(2^84/3^53) = 2^110/3^70 = 0,51858 e = (2^110/3^70)·(1-0,0004)Mit e2 ist also eine hinreichend genaue Näherung durch eine 3-glatte Zahl erreicht. [2]
Das ist aber nicht, was der Metrologe sich wünscht. Da bei der Ableitung antiker Maße oftmals durch 7 zu teilen ist, beschränkt er sich auf 7-Glattheit. Dafür soll es sich aber um eine Dezimalzahl mit möglichst wenig Stellen handeln, die mehrfach durch 7 und auch 3 zu teilen ist, um Periodizitäten in der Dezimaldarstellung zu vermeiden. Also Zahlen der beiden Formen:
n = z / 10^d = 2^a·3^b·7^c·x / 10^d n = z / 10^d = 5^a·3^b·7^c·x / 10^dDie Exponenten dürfen nicht negativ sein, b und c sollten mindestens 2, besser noch größer sein. Der Faktor x ist ein nicht durch 2, 5 und 7 teilbarer mitzuschleppender ganzzahliger Rest, der am besten einfach 1 ist.
Für den im Rahmen der Genauigkeit kleinsten Exponenten d=3 ist nur z=518=2·7·37 möglich. Zwar mit Glück ein Faktor 7, doch leider nicht durch 3 teilbar. Außerdem ist ein nutzloser Faktor 37 mitzuschleppen. Für d=4 darf z von 5183,5 höchstens um 5,2 abweichen. Verlangt man Teilbarkeit durch 7, so kann y=z/7 nur 740 oder 741 sein. Im ersten Falle erhält man nichts neues gegenüber d=3. Und 741=3·247 ist nicht besser, zumal ein Faktor 247 mitgeschleppt werden muß. Für d=5 darf z von 51835 nur um 52 abweichen. Verlangt man zweifache Teilbarkeit durch 7, so kann y=z/49 nur 1057 oder 1058 sein, bei leichter Grenzüberschreitung auch 1059. In allen drei Fällen ergeben sich zu große mitzuschleppende Faktoren 151, 529 bzw. 353. Deshalb nun d=6 mit z im Bereich von 517832 bis 518868. Bei dreifacher Teilbarkeit durch 7 ergeben sich für y=z/343 die Werte 1510, 1511 und 1512. Der erste ist durch 10 teilbar, also schon bei d=5 berücksichtigt, der zweite enthält leider keinen Faktor 2, 3, 5 oder 7. Doch y=1512=2·2·2·3·3·3·7 erweist sich als perfekt:
z = 7^3·y = 343·1512 = 518616 = 2·2·2·3·3·3·7·7·7·7Deshalb gilt 0,518616 Meter als der metrologische Wert der Nippurelle. Er ist nur ein halbes Promille größer als der mittlere Wert und liegt deutlich im Rahmen der Meßgenauigkeit. [3] Wegen der vielen Teilbarkeiten ergeben sich für fast alle antiken Maße in Metern endliche Dezimalzahlen: Drei 7er-Potenzen verbrät der ägyptische Königsfuß von 200/343 Nippurellen, metrologisch exakt 0,3024m. Der reale Gudeafuß benötigt mit 0,2646m ebenfalls nur 4 Nachkommastellen. Beim römischen Fuß bleibt es mit 0,296352m bei sechs Stellen.
[1] Sloane: A002473. Liste der ersten 10000 humble numbers, also 7-glatte natürliche Zahlen. Ich lasse für glatte Verhältnisse auch negative Exponenten, also rationale Zahlen mit glattem Nenner und Zähler zu.
[2] Man mag nun einwenden, es ginge auch mit kleineren Exponenten, denn 5184=2^6·3^4. Doch 0,5184=2^2·3^4/5^4 ist keine 3-glatte Zahl, sie ist lediglich 5-glatt. Wenn es einem nur um die Dezimalziffernfolge geht, dann darf man wegen 10=2·5 nicht unter 5-glatt gehen.
[3] Ebenfalls 7-glatt mit maximal einem Promille Abweichung von 518350 ist 518400, die nicht gefunden wurde, weil aus metrologischer Sicht Teilbarkeit durch 7 gefordert war. Andere gibt es nicht. Laut [1] ist die 1080. ganze 7-glatte Zahl 516096 zu klein und die 1083. mit 524288 zu groß. Dieser Tabelle ist auch zu entnehmen, daß eine Dezimalstelle mehr (d=7) nichts bringt. Mit einer weiteren Dezimalen liegt die 3020. Zahl 51883209=3^2·7^8 gerade noch im Vertrauensbereich von 5183500. Doch jede in der Antike so beliebte Zweiteilung lieferte noch eine Stelle mehr. Und nur der Vollständigkeit halber: Die 6831. Zahl lautet 5184974592=2^8·3^10·7^3, eine 11. Dezimale bringt nichts mehr.
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