Zahlwort

In einer Periode von 28 Jahren mit 7 Schaltjahren fällt der 29. Fe­bru­ar genau einmal auf jeden Wochen­tag, die übrigen Tage des Jahres je viermal. Somit fällt der 1. März der 84 Jahre 2000 bis 2083 je 12 mal auf jeden der sieben Wochentage. Im Jahre 2084 ist es dann wie im Jahre 2000 wieder ein Mittwoch. Damit ergeben sich für den 1. März in den restlichen 16 Jahren des Jahr­hunderts:

2084 Mi   2085 Do   2086 Fr   2087 Sa
2088 Mo   2089 Di   2090 Mi   2091 Do
2092 Sa   2093 So   2094 Mo   2095 Di
2096 Do   2097 Fr   2098 Sa   2099 So

Donnerstag und Samstag fallen in diesem Jahrhundert also 15 mal auf den 1. März, die übrigen Wochen­tage nur 14 mal. Da das Jahr 2100 kein Schalt­jahr ist, fällt der 1. März des Jahres 2100 auf einen Montag. Im nächsten Jahr­hundert liegt also alles zwei Wochentage früher. So setzt sich das fort, womit sich für den 1. März die folgenden Anzahlen ergeben:

            Mo  Di  Mi  Do  Fr  Sa  So
2000-2099   14  14  14  15  14  15  14
2100-2199   14  15  14  15  14  14  14
2200-2299   14  15  14  14  14  14  15
2300-2399   14  14  14  14  15  14  15
2000-2399   56  58  56  58  57  57  58

Das überrascht, denn bei einem Durch­schnitt von 400/7=57,14 war nicht zu erwarten, daß Montag und Mitt­woch nur 56 mal auf den 1. März fallen. Im 400-​jähri­gen Mittel ist das nicht jedes siebte Jahr, sondern nur einmal in 7,14 Jahren. Das gleicht sich auch nicht in den näch­sten Jahr­hunder­ten aus, denn der 1. März 2400 ist wie der 1. März 2000 wieder ein Mittwoch.

Hat man erst einmal den Wochentag für den 1. März, ist es für die anderen Tage des Jahres kein Problem mehr. Für die 13. Tage der 12 Mo­na­te nach dem 1. März ergeben sich die folgen­den Anzahlen:

           t  w  Mo  Di  Mi  Do  Fr  Sa  So
13. Mrz   12  5  56  58  57  57  58  56  58  
13. Apr   43  1  58  56  58  56  58  57  57
13. Mai   73  3  57  57  58  56  58  56  58
13. Jun  104  6  58  56  58  57  57  58  56
13. Jul  134  1  58  56  58  56  58  57  57
13. Aug  165  4  58  57  57  58  56  58  56
13. Sep  196  0  56  58  56  58  57  57  58
13. Okt  226  2  57  58  56  58  56  58  57
13. Nov  257  5  56  58  57  57  58  56  58
13. Dez  287  0  56  58  56  58  57  57  58
13. Jan  318  3  57  57  58  56  58  56  58
13. Feb  349  6  58  56  58  57  57  58  56
                685 685 687 684 688 684 687

Darin ist t die Zahl der Tage nach dem 1. März und w der Rest der Division von t durch 7, woraus sich die Verschie­bung der Anzahlen 56 bis 58 ergibt. Die Summen 684 bis 688 streuen um den Mittel­wert (12⋅400)/7=685,7 wiederum stärker als erwartet. Einsamer Spitzen­reiter ist der Freitag, der in jedem Block von 400 Jahren genau 688 mal vorkommt. Damit fällt der 13. im lang­jährigen und auch ewigen Mittel nicht alle 7, sondern alle (12⋅400)/688=​6,9767 Monate auf einen Freitag. Der Lieb­lings­wochen­tag des 13. ist eindeutig der Freitag.

Fr,13.

Nachdem klar ist, daß vom 13. der Freitag bevor­zugt wird, entsteht die gleiche Frage für die übrigen Tage. Für den 1. bis 28. kommt natürlich eine analoges Ergebnis heraus. Bleiben die schwierigen Fälle 30, 31 und vor allem 29. Wie verteilen sich die Wochentage auf diese drei?

Die einfachste Frage ist die nach den Wochentagen für den 30. des Monats, weil wir schon die Ergebisse für Freitag den 13. zu allen kennen. Es muß nur die Differenz zwischen der Jahressumme und den Februarwerten betrachtet werden:

               Mo  Di  Mi  Do  Fr  Sa  So
13. alle Mon  685 685 687 684 688 684 687
13. Februar    58  56  58  57  57  58  56
13. Mrz-Jan   627 629 629 627 631 626 631
30. liegt am   Do  Fr  Sa  So  Mo  Di  Mi

Der 30. hat also keinen einzelnen bevor­zugten Tag, vermeidet aber den Dienstag, der im lang­jährigen Mittel nur alle 7,67 Monate vorkommt, was etwas mehr als das Mittel von 7⋅12/11=7,64 ist.

Mit dem 31. ist es etwas mühsamer. Vom Ergebnis für den 30. sind zusätzlich die Werte für die Monate April, Juni, September und November abzuziehen:

               Mo  Di  Mi  Do  Fr  Sa  So
13. Mrz-Jan   627 629 629 627 631 626 631
13. April      58  56  58  56  58  57  57
13. Juni       58  56  58  57  57  58  56
13. Septem.    56  58  56  58  57  57  58
13. Novem.     56  58  57  57  58  56  58
13. 31er Mon  399 401 400 399 401 398 402
31. liegt am   Fr  Sa  So  Mo  Di  Mi  Do

Ausgesprochen häufig ist am 31. ein Donnerstag anzutreffen, nämlich einmal in 11,94 Monaten. Selten ist der Mittwoch mit 12,06 und völlig durchschnittlich der Sonntag mit genau 12 Monaten, also einmal im Jahr.

Es bleibt der kompli­zierte Fall für den 29. Tag eines Monates, der dank der Vorar­beit auch nicht mehr schwer ist. Ein Zykus von 400 Jah­ren hat 400⋅365+97=​146097 Tage, wovon 20871 auf jeden der sieben Wochentage entfallen. Die ersten 28 Tage aller Monate dieser 400 Jahre umfassen 400⋅12⋅28=​134400 Tage, die sich gleich­mäßig auf die Wochen­tage verteilen, das sind 19200 für jeden. Somit bleibt für die restlichen drei Tage vom 29. bis zum 31. eine Diffe­renz von 20871−19200=1671 für jeden der sieben Wochen­tage. Von diesen 1671 sind nur noch die Anzahlen für den 30. und den 31. abzu­ziehen, um die für den 29. zu erhalten:

       Mo   Di   Mi   Do   Fr   Sa  So
ges  1671 1671 1671 1671 1671 1671 1671
30.   631  626  631  627  629  629  627
31.   399  401  398  402  399  401  400
29.   641  644  642  642  643  641  644

Im Mittel wiederholen sich die Wochen­tage am 29. alle 7⋅12⋅400/(11⋅400+97)=​7,47 Monate. Auf 7,49 bringen es Montag und Samstag, auf nur 7,45 Dienstag und Sonntag.

Doch des Rechnens ist kein Ende, denn der 29. Februar tritt nur in Schaltjahren auf, und die brennende Frage ist die nach der Verteilung der Wochentage auf diesen Schalttag. Auch das leitet sich schnell aus den bisherigen Ergebnissen ab. So ergibt sich die Anzahl der Montage, die auf den 29. Februar fallen, einfach aus allen Montagen am 29. abzüglich der auf den 30. fallenden Dienstage:

           Mo  Di  Mi  Do  Fr  Sa  So
alle 29.  641 644 642 642 643 641 644
vor 30.   626 631 627 629 629 627 631
29. Feb    15  13  15  13  14  14  13

Wieder gibt es keine eindeutigen Verlierer, doch ist damit klar, daß Dienstag, Donnerstag und Sonntag, der 29. Februar die selten­sten für einen Geburts­tag am 29. Fe­bruvar sind. Sie kommen nur alle 30,8 Jahre vor. Häufig mit 26,7 Jah­ren sind Montag und Mittwoch. Das Mittel liegt natürich bei 7⋅400/97=​28,9 Jahren.

Stimmen diese Rechnungen auch? Ein Computer­programm könnte alles nach­zählen. Für Schüler reicht die Probe. Sie besteht darin, auf einem anderen Weg die Anzahlen für den 29. Februar zu bestimmen: Für die 21 Schalt­jahre von 2001 bis 2084 kommt am 29. Fe­bru­ar jeder Wochen­tag genau dreimal vor. Der 29. Fe­bru­ar des Jahres 2088 fällt auf den gleichen Tag wie im Jahre 2004. Es ist ein ein Sonntag. Damit ist es im Jahre 2092 ein Freitag und in 2096 ein Mittwoch, weil in einer vier­jährigen Schalt­periode sich alles um zwei Tage nach vorne verschiebt. Auch von Jahr­hundert zu Jahr­hundert sind es zwei Tage. Vergißt man Dienstag, den 29. Fe­bru­ar des Jahres 2000 nicht, so ergibt sich:

            Mo  Di  Mi  Do  Fr  Sa  So
29.2.2000    0   1   0   0   0   0   0
2004-2096    3   3   4   3   4   3   4
2104-2196    4   3   4   3   4   3   3
2204-2296    4   3   4   3   3   4   3
2304-2396    4   3   3   4   3   4   3
2000-2399   15  13  15  13  14  14  13

Es besteht also eine gute Aussicht, daß alles stimmt. Wenn nicht, wird es schon irgend­wann einer merken.