Zahlwort

Wer die Verarscheraufgabe 8÷2(2+2) stellt, will zumeist mit dem Ergeb­nis 16 glän­zen, weil Multi­plika­tionen und Divi­sionen stur von links nach rechts auszu­führen seien, während mein Taschen­rechner und ich die 1 bevor­zugen. Wie kann ich das begrün­den? Wann geht es von links nach rechts, wann umkehrt?

Selbst in der Stein­zeit war nicht nur klar, wo oben und unten sowie vorne und hinten ist. Man unter­schied auch die rechte, starke, geschickte Hand von der unge­schick­teren linken. Damit war das Gute, der Rex rechts, die andere Seite links. Wie Jesus zur Rechten Gottes, saßen die Königs­treuen rechts, die Aufmüp­figen links.

Die meisten Menschen schreiben von links nach rechts. Nicht weil sie mit der guten rechten Hand schreiben und das Geschrie­bene sofort sehen möchten, sondern weil unsere Vor­fahren links den Meißel hielten und mit der Rechten zuschlu­gen. Deshalb hing das Schwert links, weshalb Männer links der Frau gingen und aufs Pferd stie­gen, dem Vor­gänger des Fahr­rades.

Da es nahelag, die höher­wer­tigen Zahl­wörter oder Zahl­zeichen zuerst zu nennen und die Baby­lonier von links nach rechts schrieben, stehen in der ganzen Welt die höher­wer­tigen Ziffern links. In der Folge werden mathe­matische Ausdrücke von links nach rechts geschrieben und gelesen.

Wie beim Schwert kommt auch in der Mathe­matik das Gegen­teil ins Spiel. [1] Noch vor gar nicht langer Zeit schrieb man Zahlen aus und formu­lierte Opera­tionen sprach­lich. So sagte man „fünfmal drei“ und nicht „drei fünfmal“, wodurch die zu verviel­fachende Zahl (Multi­pli­kand 3) nach hinten (rechts) und die Verviel­fachung (Multi­plika­tor 5) nach vorne (links) kam (5⋅3=3+3+3+3+3).

Das könnte einem am Arsch vorbei­gehen, ist die Multi­plika­tion doch kommu­tativ (5⋅3=3⋅5). Doch wurde und wird ganz allge­mein der Operator vorzugs­weise links vom Ope­randen geschrie­ben. So steht f(x) für „f von x“, die Anwen­dung von f auf x, so sehr manch einer auch xf (wende auf x die Funk­tion f an) für besser mag. [2]

Wer in der Schule zu den Vektor­räumen vorge­stoßen ist, wird sich viel­leicht an an a(bv)=(ab)v erinnern. Nur wenige werden sich gefragt haben, warum man nicht umgekehrt (vb)a=v(ba) geschrie­ben hat, was einen echten Unter­schied macht, wenn ab≠ba ist. [3]

Kurz: Man erhält keine neue Mathe­matik, wenn man links und rechts ver­tauscht oder hier oder da einer anderen Nota­tion frönt. Man ist aber gut beraten, sich an Konven­tionen zu halten, wenn man sich nicht im stillen Kämmer­lein eine eigene, von anderen nur mit Mühen zu verste­hende Welt schaffen will.

Deshalb ist es meines Erach­tens gerecht­fertigt und sinn­voll, in arith­meti­schen Aus­drücken die Multi­plika­tionen vor den Divi­sionen auszu­führen. Dann wäre selbst 8÷2×(2+2) als 8/(2⋅4)=8/8=1 zu sehen.

[1] Bevor hier keiner schreibt, aber mancher denkt, die Römer hätten nicht nur in alten Film­schinken ihr Schwert rechts getragen, der möge beachten, daß dies nur für den ein­fachen Kämpfer galt, der oftmals in der Linken ein Schild zu bän­digen hatte. Außer­dem war sein Gladius recht kürz.

[2] Saunders Mac Lane: Kategorien. Springer, 1972. „Sind Abbil­dungen f: X→Y und g: Y→Z gegeben, so wird die Kompo­sition g∘f: X→Z defi­niert ver­möge (g∘f)x=g(fx) für alle x∈X. […] Es sei jedoch ange­merkt, daß viele Autoren die ent­gegen­gesetzte Reihen­folge benut­zen.“ (S. 8)

[3] B. L. van der Waerden: Algebra I. Springer, 1971. Für viele viel­leicht befremd­lich beginnt er mit dem Rechts­vektor­raum, der eben­mäßi­ger zu den bevor­zugten Dar­stel­lungen in Schule und Physik führt.

Ich habe gehört und gelesen, dass es etwas mit der "Denkweise", bzw. der überwiegenden oder "Haupt"-Nutzung von der rechten oder linken Hirnhälfte zu tun hat, ob man mit der linken oder rechten Hand schreibt.

Und bei mir "Superhirn" *hihi* sind sogar beide Hände talentiert. ;)

Vorgänger *hihi* ist gut.

Nicht bloß, dass die Römer bei ihren Landsern das Kurzschwert rechts trugen, sie traten auch bei Monty Python auf. Mit dem Ergebnis, dass ein gewisser Brian zwischen lauter Spitzbuben gekreuzigt wurde. Soundtrack: Always look on the bright side of life.

In der Literaturvorlage davon wird Jesus gekreuzigt mit einem Spitzbuben zu seiner Linken und einem zu seiner Rechten. In einem von vier Evangelien bereut einer der Spitzbuben seine Tat, und zwar der zur Rechten von Jesus, "der reuige Schächer", und hast du nicht gesehen, kriegt er ein Upgrade: "Wahrlich, ich sage dir, noch heute wirst du mit mir im Paradies sein!" Der zu seiner Linken kriegt kein Upgrade und fährt pfeilgrad zur Hölle.

Ich gehe davon aus, daß von rechts nach links schrei­bende Araber, Israelis und Japaner „eins – zwei – drei“ im Text „drei – zwei – eins“, eigentlich „ierd – iewz – snie“ schreiben, doch beim Über­gang zu Ziffern eben­falls „1 – 2 – 3“, zumin­dest wie wir in den meisten Fällen „1+2=3“ und nicht „3=1+2“, weil ein­tausend­fünf­hundert ja auch nicht als 0051 notiert wird. Aus diesem Grunde geht auch dort der sog. Zahlen­strahl vorzugs­weise von links nach rechts.

Spätestens mit der zweiten Dimen­sion zeichnen wir die sog. x‑Achse zumeist ‚waage­recht‘ und zwar von links nach rechts. Für die darauf senk­recht ste­hende y‑Achse kommen auf dem Papier zwei Rich­tungen infrage. Wir zeichnen und denken sie zumeist nach oben, gleich­wohl wir doch aus nahe­liegen­den Gründen nach unten hin die Zeile wechseln und auch in Zahlen­aufstel­lungen wie Matrizen oder Excel-​Tabel­len nach unten fort­setzen, die höheren Zeilen­nummern weiter unten stehen.

Man muß nicht lange nachdenken: Das liegt daran, daß in einem Bild unserer Welt die Berge nach oben zeigen, was auch der Fall wäre, hätten wir die Augen an den großen Zehen oder lebten wir inner­halb einer Kugel. Für die luftatmenden Wale im Wasser, ist es viel­leicht umge­kehrt. Für uns aber weist die y‑Achse nach oben.

Und da ein Ball von selbst den Berg nicht rauf, sondern runter rollt, ist die in einem Poten­tial V auf ein punkt­förmi­ges Objekt ausge­übte Kraft propor­tional zu −gradV. Rechnerisch wäre es ohne Minus­zeichen schöner, doch über die Rich­tung ent­scheiden vor allem die Sache, die Überein­kunft, die Rea­lität und unsere beschei­dene Lebens­welt, weniger reli­giöse Vor­stel­lungen oder das Bedürf­nis, anders zu sein. Gleich­macherei wie die von männ­lich und weib­lich scheidet zumeist eben­falls aus.

In welche der beiden Richtungen ein Drehwinkel vorzugs­weise zu messen ist, kann man den berühmten Geo­drei­ecken nur bedingt ent­nehmen. Ich habe ledig­lich drei altmo­dische Winkel­messer. Der schönste als Voll­kreis von 0 bis 360 Grad im Uhr­zeiger­sinn. Zwei andere im Halb­kreis mit zwei Skalen. Die im Uhrzeiger­sinn auf dem einen außen, dem anderen innen.

Zur Entschei­dung erneut die Welt der Berge: Steige ich Δy bergan und lege in der Projektion Δx zurück, ent­spricht das einer Stei­gung von m=Δy/Δx oder einem Anstiegs­winkel von arctanm links herum gegen den Uhr­zeiger­sinn, der damit dem posi­tiven Dreh­sinn ent­spricht, auch wenn Zeiger­instru­mente im allgemeinen rechts herum aus­schlagen. Sie zeigen mehr eine gebogene x-Achse.