Zahlwort

Aus der Schule wissen wir hoffent­lich:

1½ zum Quadrat gleich 1⋅2+¼ gleich  2¼ gleich  2,25;
2½ zum Quadrat gleich 2⋅3+¼ gleich  6¼ gleich  6,25;
3½ zum Quadrat gleich 3⋅4+¼ gleich 12¼ gleich 12,25;
4½ zum Quadrat gleich 4⋅5+¼ gleich 20¼ gleich 20,25;

Damit ist 45²=2025. Und wem die 9. Drei­ecks­zahl D₉=45 auf­fällt, weil er das sog. Sudoku-​Geheim­nis kennt, der weiß viel­leicht auch, daß Dₙ² die Summe der ersten n Kubik­zahlen ist. Insbe­sondere also

(1+2+3+4+5+6+7+8+9)² = 45² = 2025 = 1³+2³+3³+4³+5³+6³+7³+8³+9³

für n=9. Eine Eigen­schaft der Zahl 2025, von der man mit dem Jahres­wechsel allent­halben lesen kann.

Das heilige Jahr 2025 hat der Papst schon mit dem Geburts­tag Jesu, also im Inkar­nations­stil am Vor­abend des 25. De­zem­ber begin­nen lassen, nicht im Circum­cisi­ons­stil am 1. Ja­nuar mit der Beschnei­dung. Und es endet erst mit den Hei­ligen drei Königen am 6. Ja­nuar, umfaßt also zweimal die zwölf Rauh­nächte zwi­schen den Jahren.

Nicht unerwähnt bleiben soll das Dia­schisma genannte Inter­vall 2048/2025, das zwi­schen dem (ersten) Tri­tonus (45/32, 590 Cent) und dem zweiten Tri­tonus (64/45, 610 Cent) liegt.

45 | Dreieckszahlen | 25 | Diaschisma

Das Eingängigste, bei dem sogar Lieschen Müller sich noch verwundert die Augen reibt, ist auch hübsch: (20+25)² = 2025.

Daß es nicht so leicht ist, neben dem Satz des Niko­machos wenig­stens etwas Verwir­rendes zu 2025 zu kon­stru­ieren, sieht man auch an der Frage, ob 2024²⁰²⁵ größer oder kleiner als 2025²⁰²⁴ ist. Wer Lust auf lange Rech­nungen hat, sehe sich das Film­chen an. [1] Nur muß er dann glauben, daß ln(2025/2024) genü­gend nahe an 1/2024 liegt. [2]

Es reicht aber auch zu wissen, daß für e<a<b einfach der höhere Expo­nent gewinnt, erwar­tungs­gemäß also a hoch b größer als b hoch a ist. [3] Und wer brutal rechnet, stellt dank 2025⋅lg2024≈6695 und 2024⋅lg2025≈6692 fest, daß 2024 hoch 2025 fast tau­sendmal größer ist als 2025 hoch 2024.

[1] Eine Mathe-Aufgabe zu Neujahr: Was ist größer?. Entwurzler, Youtube, Januar 2025.

[2] Es wird ln(2025/2024)≈1/2024 verwendet, was ohne Beweis­kraft bleibt. Ein­facher und rich­tiger wäre ln(2025/2024)<1/2024 gewesen. Eine Schwäche die ich als „Euler's formula (1+1/n)ⁿ=e“ hier bereits bemerkte.

[3] Weil lnx/x im Bereich von x>e streng monoton fällt.

Presh Talwalkar [1] nennt fünf Fakten zur Jahres­zahl 2025. Zunächst, daß 2025=45² eine Quadrat­zahl ist und die 1980 Gebo­renen dieses Jahr 45 werden. Danach, daß 2025 nach 81 erst die zweite Zahl ist, deren Ziffern man in der Mitte spalten und addie­ren kann (8+1=9, 20+25=45), um ihre Wurzel zu erhalten. [2] Erst an dritter Stelle bemerkt er, daß das Quadrat der Summe der ersten n Zahlen (hier 45 für n=9) gleich der Summe der ersten n Kuben (hier 2025) ist [3] und zeigt dazu eine Anima­tion, wie man die n Kuben in Scheiben schneidet und als Quadrat aus­legt. Und er bemerkt, daß demzu­folge die Zahlen in der Multi­plika­tions­tabelle des kleinen Einmal­eins sich zu 2025 addieren.

Der Rest ist konstruierter: An vierter Stelle erweitert er 2025=3⁴⋅5² zu 2025=1⁶⋅3⁴⋅5²⋅7⁰, um die Zahlen 0 bis 7 zu verbraten, die geraden abste­igend in den Expo­nenten, die unge­raden aufstei­gend in den Basen. Ergän­zend nennt er 2025=12⋅3+(4+5)(6+7)(8+9)​=9⋅8+76+5⁴⋅3+2⋅1, worin alle neun Ziffern von 1 bis 9 auf- bzw. abstei­gend je einmal vor­kommen. Ich lasse es als Übung, solche Darstel­lungen auch für 2024 zu finden, ohne zu wissen, ob es sie gibt.

Und zum Schluß eine Variante mit der neunten Drei­eckszahl. Schreibt man einmal die 1, zweimal die 2, dreimal die 3 und so fort bis 45 mal die 45 hinter­einander, erhält man eine Zahl mit 2025 Zif­fern. Warum? Notiert man auch 1 bis 9 zwei­stellig mit füh­ren­der 0, so erhält man eine Zeichen­kette mit 2D₄₅=45⋅46 Ziffern. Entfernt man die D₉=45 führen­den Nullen, so ver­bleiben 45⋅46−45=45²=2025 Zif­fern stehen. So gebiert eine Eigen­schaft eine weitere.

Natürlich gilt 2Dₙ−n=n² für alle n, insbe­sondere also für n=D₉=45. Aber wir leben nun einmal unter dem Dezimal­system, was die genannte Darstel­lung mit der Dreiecks­zahl aus unserer größten Ziffer n=9 schön macht. Oktale Menschen mit n=7 hätten das bereits im Jahre D₇²=1420=34²=28²=784=D₇² feiern können und wie wir ebenfalls nebenbei 14+20=34=D₇ erzielt. Dazu sogar mit der vollkommenen D₇=28=34.

[1] Presh Talwalkar: 5 Fun Facts About 2025 You Probably Don't Know. MindYour­Decision, Youtube, Januar 2025.

[2] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. A238237.

[3] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. A000537.

Um zu sehen, daß die Oktal- neben den Dezimal­zahlen kein wei­terer Glücks­fall sind, habe ich eine allge­meine Basis n>3 betrach­tet. [1] Zahlen darin schreibe ich nicht nur als Zeichen-, sondern auch als Zeichen­ketten rot. Es sei

i = D_n−1 = 1+2+…+(n−2)+(n−1) = 1+2+…+(10−2)+(10−1) = D₁₀₋₁ = kl
j = i² = 1³+2³+…+(n−2)³+(n−1)³ = 1³+2³+…+(10−2)³+(10−1)³ = abcd
x = an+b = 10a+b = ab     y = cn+d = 10c+d = cd     z = x+y
i = kn+l = 10k+l = kl     p = k+l     q = a+b+c+d

Darin ist j=abcd die Jahres­zahl (2025), i=kl die Wurzel daraus (45), x=ab die linke Hälfte (20) der Jahres­zahl j und y=cd die rechte (25). Beide addieren sich zu z (45). Die Quer­summe der Jahres­zahl ist q, die der Wurzel p.

Ungerade Basen n sind uninter­essant. Für sie ist l=0, k=(n−1)/2, c=d=y=0 und z=x=(n−1)²/4. Die Jahres­zahl j=ab00 endet mit zwei Nullen und ist das Quadrat von i=k0, also ab=k².

Für eine gerade Basis n ist l=n/2, k=l−1, x=2Dₖ, y=l²=100/4 und z=ab+cd=kl=i. Die beiden Quer­summem sind p=q=n−1. Es verhält sich also wie in unserer Basis 10: Man nimmt die mitt­lere Ziffer l=n/2, zieht ½ ab und qua­driert diese Zahl I=j−½ zu J=(l−1)⋅l+¼. Dann ist die Jahres­zahl j=100⋅J und deren Wurzel i=10⋅I. Die beiden hin­teren Stellen cd der Jahres­zahl sind dann einfach das Quadrat von l=n/2, die beiden vor­deren ab die Recht­eckzahl (l−1)⋅l. Sie addieren sich zur Wurzel i aus der Jahres­zahl.

Wenn man sich nicht nur für ab und cd, sondern auch für die ein­zelnen vier Ziffern inter­essiert, ist es am ein­fach­sten zwei Fälle zu unter­scheiden: Für eine einfach gerade Basis n ist b=0, d=n/2 und c=a=k/2. Für doppelt gerades n ergibt sich b=l, d=0, c=l/2 und a=c−1.

 n    i=kl=Dn−1     j=abcd   x=ab=k⋅l=2Dk   y=cd=l2    z=ab=cd=kl
----------------------------------------------------------------
 2    1=01=D1       1=0001   0=00=0⋅1=2D0   1=01=12    1=00+01=01
 4    6=12=D3      36=0210   2=02=1⋅2=2D1   4=10=22    6=02+10=12
 6   15=23=D5     225=1013   6=10=2⋅3=2D2   9=13=32   15=10+13=23
 8   28=34=D7     784=1420  12=14=3⋅4=2D3  16=20=42   28=14+20=34
10   45=45=D9    2025=2025  20=20=4⋅5=2D4  25=25=52   45=20+25=45
12   66=56=D11   4356=2630  30=26=5⋅6=2D5  36=30=62   66=26+30=56
14   91=67=D13   8281=3037  42=30=6⋅7=2D6  49=37=72   91=30+37=67
16  120=78=D15  14400=3840  56=38=7⋅8=2D7  64=40=82  120=38+40=78
18  153=89=D17  23409=4049  72=40=8⋅9=2D8  81=49=92  153=40+49=89

[1] Um nicht über Exponenten 2 und 3 sowie Ziffern und Zahlen disku­tieren zu müssen, lasse ich die Fälle n=2 und n=3 außen vor.

Vielleicht hat irgendeiner bemerkt, daß es in tausend Jahren mit 3025=55² nebst 30+25=55 noch schöner sein wird. So ist es auch in anderen Basen. Es wird ein n=10. Kubus von n³=1000 Jahren hinzu­genom­men, und die Wurzel erhöht sich um 10 auf die näch­ste Drei­ecks­zahl. Ich verwende für die abge­lei­teten Größen die glei­chen Buch­staben wie zuvor, nur groß:

I = D_n = 1+2+…+(n−1)+n = 1+2+…+(10−1)+10 = D₁₀ = KL
J = I² = 1³+2³+…+(n−1)³+n³ = 1³+2³+…+(10−1)³+10³ = ABCD
X = An+B = 10A+B = AB     Y = Cn+D = 10C+D = CD     Z = X+Y
I = Kn+L = 10K+L = KL     P = K+L     Q = A+B+C+D

Wieder ist J=ABCD die Jahres­zahl (3025), I=KL die Wurzel daraus (55), X=AB die linke Hälfte (30) der Jahres­zahl J und Y=CD die rechte (25). Beide addieren sich zu Z (55). Die Quer­summe der Jahres­zahl ist Q, die der Wurzel P. Offensichtlich gilt:

I = i+n = KL = kl+10     J = j+n³ = ABCD = abcd+1000
K = k+1     L = l     A = a+1     B = b     C = c     D = d
X = x+n = ab+10     Y = y     Z = z+n    P = p+1     Q = q+1

Erneut interessieren ungerade Basen n wenig. Für sie ist L=0, K=(n+1)/2, C=D=Y=0 und Z=X=(n+1)²/4. Die Jahres­zahl J=AB00 endet mit zwei Nullen und ist das Quadrat von I=K0, also AB=K².

Für eine gerade Basis n ist K=L=l=n/2, X=2Dₗ, Y=l²=100/4 und Z=ll=i. Die beiden Quer­summem sind P=Q=n=10. Wieder verhält es sich im allgemeinen wie zur Basis 10: Man nimmt die mitt­lere Ziffer L=n/2, schlägt ½ hinzu und qua­driert diese Zahl I′=L+½ zu J′=L⋅(L+1)+¼. Dann ist die Jahres­zahl J=100⋅J′ und deren Wurzel I=10⋅I′. Die beiden hin­teren Stellen CD der Jahres­zahl sind L², die beiden vor­deren AB die Recht­eckzahl L⋅(L+1). Sie addieren sich zur Wurzel I.

Für eine einfach gerade Basis n ist wieder B=0, D=n/2 und C=(n−2)/4, aber A=(n+2)/4. Für doppelt gerades n ergeben sich B=n/2, D=0, A=C=n/4. In der folgenden Übersicht steht M für L+1:

 n    I=KL=Dn       J=ABCD   X=AB=L⋅M=2DL   Y=CD=l2    Z=AB=CD=KL
----------------------------------------------------------------
 2    3=11=D2       9=1001   2=10=1⋅2=2D1   1=01=12    3=10+01=11
 4   10=22=D4     100=1210   6=12=2⋅3=2D2   4=10=22   10=12+10=22
 6   21=33=D6     441=2013  12=20=3⋅4=2D3   9=13=32   21=20+13=33
 8   36=44=D8    1296=2420  20=24=4⋅5=2D4  16=20=42   36=24+20=44
10   55=55=D10   3025=3025  30=30=5⋅6=2D5  25=30=52   55=30+25=55
12   78=66=D12   6084=3630  42=36=6⋅7=2D6  36=42=62   78=36+30=66
14  105=77=D14  11025=4037  56=40=7⋅8=2D7  49=37=72  105=40+37=77
16  136=88=D16  18496=5840  72=48=8⋅9=2D8  64=40=82  136=48+40=88
18  171=99=D18  29241=5049  90=50=9⋅A=2D9  81=49=92  171=50+49=99

Nach (20+25)(20+25)=2025 bemüht sich [1] darum, die Einma­ligkeit von 2025 auch unab­hängig von der Basis 10 zu zeigen. Zunächst gelingst es ihm mit den 2025 Recht­ecken im 9×9‑Schach­brett bzw. 10×10‑Go‑Linien­gitter und auch dem kleinen Einmal­eins nicht. Doch bevor er zur Kuben­summe und dem Quadrat von Drei­ecks­zahlen zur größten Ziffer (besser: ein­stel­ligen Zahl) kommt, erreicht er eine gewisse Basen­frei­heit, indem er Folgen betrach­tet, die mit einer kleinen Zahl begin­nen und dann durch Bil­dung von Drei­ecks- und Quadrat­zahlen im Wechsel auf­steigen, also

a₀=a   a_n+1=a_n² (n gerade)   a_n+1=D_n (n ungerade)
b₀=b   b_n+1=b_n² (n ungerade)   b_n+1=D_n (n gerade)

Ich habe eine Über­sicht der inter­essanten Werte (maximal vier­stellig und Start nicht über 10) ange­fertigt:

a0   a1    a2    a3    a4      b0  b1    b2    b3    b4
-------------------------      ------------------------
 2    4    10   100  5050       2   3     9    45  2025      
 3    9    45  2025             3   6    36   666         
 4   16   136                   4  10   100  5050       
 5   25   325                   5  15   225             
 6   36   666                   6  21   441             
 7   49  1225                   7  28   784           
 8   64  2080                   8  36  1296            
 9   81  3240                   9  45  2025            
10  100  5050                  10  55  3025           

Natürlich kommen alle Summen der ersten n Kuben samt ihren Wurzeln als b₂ und b₁ zum Start­wert b₀=n vor, doch 45 und 2025 erschei­nen bereits für Start­werte 2 und 3. Dieser Glücks­fall beruht darauf, daß für die Basis n=10 die Zahl n−1=9 das Quadrat einer Drei­ecks­zahl ist.

Neben diesen beiden roten Zahlen 45 und 2025 sind 36 und 1225 blau hervor­gehoben, die Drei­ecks- und Quadrat­zahl zugleich sind. [2] Fett geschrie­ben habe ich die beliebte Zahl 666 des Bösen, die von Gauß flink addierte Summe 5050 der ersten hundert Zahlen und die voll­kom­mene 28.

Auch [3] beginnt mit (20+25)²=2025 und bemerkt über die Summe der ersten neun Kuben hinaus, daß 2025+1000=3025=55² und 2025+1111=3136=56² ist. Doch das zeichnet die neun Kuben und die Basis 10 nicht vor den anderen aus, denn es gelten für alle n diese beiden Bezie­hungen:

D_n−1²+n³=D₁₀₋₁²+1000=D₁₀²=D_n²
D_n²+n²+n+1=D₁₀²+111=(D₁₀+1)²=(D_n+1)²

Auch wenn es Augustus De Morgan, bekannt durch die De-morganschen Gesetze und geboren im Jahre 1806, wichtig gewesen sein mag, daß er im Jahre 43²=1849 seinen 43. Geburts­tag feiern konnte, so handelt es sich dennoch nur um eine recht konstru­ierte abge­lei­tete Bezie­hung. Aber gut: Der Jahrgang Rₙ₋₁=2Dₙ₋₁ möchte im Jahre n² gerne n Jahre alt werden. Nach De Morgan also Luis Trenker (*1892) 44 in 1936 und Anna­lena Baer­bock (*1980) 45 in 2025.

Nach diesen Mätz­chen erwähnt [3] aber doch noch eine neue Beziehung zu bipar­titen Graphen. Die bestehen aus zwei Gruppen zu m und n nume­rierten Knoten, die voll­ständig unge­richtet mit jeweils allen der anderen Gruppe verbun­den sind, also m⋅n Kanten auf­weisen. Die Anzahl span­nender Bäume darin ist mⁿ⁻¹⋅nᵐ⁻¹. [4] Für m=3 und n=5 Knoten ergeben sich 3⁴⋅5²=2025 Bäume.

Zwei abgeleitete Kleinig­keiten werden von [5] erwähnt: Zum einen ist 2025 eine Harshad­zahl, da sie durch ihre Quer­summe teilbar ist, was aber wie zuvor gezeigt in allen Basen n gilt, da die Quer­summe n−1 ein Teiler von Dₙ₋₁ und damit auch Dₙ₋₁² ist. Zum anderen ist 2025 Summe der ersten 89 unge­raden Zahlen. Auch das ist nicht neu, denn die Summe der unge­raden Zahlen von 1 bis 2k−1 ist einfach k². Für k=45 ergeben sich 2k−1=89 und k²=2025.

[1] Verrückte Fakten über die Zahl 2025. Combo Class, Youtube, Januar 2025.

[2] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. A001110.

[3] 2025 is an Strange Number. Wrath of Math, Youtube, Januar 2025.

[4] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. A072590 (alle), A069996 (m=3).

[5] Mohammed Ammar: 7 Beautiful Patterns Behind the Unique Mathematical Year 2025! LOGICAL YOURS, Youtube, Januar 2025.

Und nun [1], die um drei beautiful patterns erweiterte Kopie von [5] meines voran­gehenden Kommen­tares

 1. 2025 is a PERFECT square
 2. Summe zweier Quadrate 20²+25²
 3. Summe dreier Quadrate 5²+20²+40²
 4. Produkt zweier Quadrate 25 und 81
 5. Summe der ersten 45 ungeraden Zahlen
 6. Quadrat der Summe der ersten 9 Zahlen
 7. Summe der ersten 9 Kuben
 8. Quersumme 9 ist eine Quadratzahl
 9. 2025 ist Harshadzahl
10. Einmaleins summiert sich zu 2025

Neu sind die Schönheiten 3, 4 und 8. Offen­sicht­lich Ergebnis einer Suche nach Quadrat­zahlen. Die Quer­summe 9 als solche ist eine bisher uner­wähnte Trivia­lität.

Bleibt die Zerlegung von 2025 in Quadrate. Wie würde ich das machen? Zunächst ist 2025=3⁴5², womit 2025 nicht nur Produkt der PERFECT squares 25 und 81, sondern auch 9 und 225 sowie 9, 9 und 25 ist.

Für 2025=25⋅9² und 2025=9⋅15² findet man schnell 25=3²+4² und 9=1²+2²+2², also

2025 = (3⋅9)²+(4⋅9)² = 27²+36² = 729+1296   und
2025 = (1⋅15)²+(2⋅15)²+(2⋅15)² = 15²+30²+30² = 225+900+900

Wegen der 5 am Ende von 2025 liegt ein Viel­faches des pytha­gorei­schen Tripels (3,4,5) auf der Hand, wurde von anderen natür­lich gesehen, von mir aber als schlicht ausge­lassen. Und die Zerle­gung in drei echte Quadrate (aus ℕ, PERFECT) ist eine Aller­welts­angele­genheit. Für 2025 gibt es elf Stück.

Nicht übersehen habe ich natür­lich den Fehler 2025=20²+25² statt 2025=27²+36². Das bemerkte auch der einzige Kommen­tator. Wofür sich der Filme­macher bedankte, mit (20+25)² verwech­selt haben will, es aber nicht korri­gierte.