Ludic Numbers
wuerg, 14.07.2023 22:22
Die Übertragung des naiven Siebes von Eratosthenes (im n-ten Schritt werden die echten Vielfachen von n+1gestrichen) zum Sieb von Josephus (jede (n+1)-te der verbliebenen Zahlen wird entfernt) läßt deutlich weniger Zahlen übrig. Um auf eine mit den Primzahlen vergleichbare Dichte zu kommen, soll nunmehr analog zum normalen Sieb des Eratosthenes nur nach der (n+1)-ten verbliebenen Zahl p(n) jede folgende p(n)-te gestrichen werden. Für den Bereich bis 71 sieht das wie folgt aus:
Setzt man den Prozeß bis ins Unendliche fort, so bleiben die ludic numbers 1, p(2), p(3), p(4), ... übrig. [1] Einen verbindlichen deutschen Namen haben sie meines Wissens nicht. [2] Und sie beginnen von den Primzahlen abweichend mit der Eins. [3]
Genaue Angaben über die Dichte der ludic numbers scheint es nicht zu geben. Sie ist wohl den Primzahlen ähnlich, bleibt aber etwas dahinter zurück. Jedenfalls bis 1 Million. Darunter gibt es 78.498 Primzahlen, aber nur 66.164 ludic numbers. Dazwischen liegt 10^6/ln(10^6)≈72.382. Trotzdem entsprechen die ersten acht den nichtzusammengesetzten Zahlen. Erst darauf folgt 19 als die kleinste nonludic prime.
[1] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. Ludic numbers A003309, ludic primes A192503, nonludic primes A192505.
[2] Leider findet selbst die wissenschaftliche Begriffsbildung nicht mehr in deutscher Sprache statt, und es nützt auch nichts, amerikanische Serien gesehen zu haben oder den Google-Übersetzer bedienen zu können, um für die ludic numbers einen verbindlichen deutschen Begriff zu finden.
[3] Ich hielte es für sinnvoll, wie beim modernen Sieb des Eratosthenes die 1 außen vor zu lassen, mit der 2 zu beginnen und den n-ten Schritt mit der n-ten statt der (n+1)-ten Zahl auszuführen, also 1 als nonludic zu sehen.
19 | Sieb des Eratosthenes | Sieb von Josephus
1 2 3 4 5 6 7
n p(n) 12345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901
1 2 |O|X|X|X|X|X|X|X|X|X|X|X|X|X|X|X|X|X|X|X|X|X|X|X|X|X|X|X|X|X|X|X|X|X|X|
2 3 ||O-|-|-X-|-|-X-|-|-X-|-|-X-|-|-X-|-|-X-|-|-X-|-|-X-|-|-X-|-|-X-|-|-X-|
3 5 |||-O-|---|-|---|-X---|-|---|-|---X-|---|-|---|-X---|-|---|-|---X-|---|
4 7 |||-|-O---|-|---|-----|-|---|-X-----|---|-|---|-----|-|---X-|-----|---|
5 11 |||-|-|---O-|---|-----|-|---|-------|---|-|---|-----|-X-----|-----|---|
123 5 7 11 13 17 23 25 29 37 41 43 47 53 61 67 71
Im ersten Schritt (n=1) ist p(n)=p(1)=2 die zweite Zahl (O) unter allen natürlichen. Entfernt (X) werden deshalb alle geraden Zahlen außer der 2 selbst. Für den zweiten Schritt ist p(2)=3 die dritte unter den verbliebenen (|) Zahlen. So werden 9, 15, 21, 27, ... entfernt. Das ist jede sechste Zahl. Die 4 fehlt, doch die 5 steht noch. Also p(4)=5, wodurch im dritten Schritt 19, 35, 49 und 65 entfallen. Für den vierten ist p(4)=7, wodurch 31 und 59 gestrichen werden. Nun p(5)=11, daß 55 dran glauben muß. Weitere Schritte sind nicht erforderlich, da nach p(6)=13 keine 13 Zahlen mehr im Sieb sind.Setzt man den Prozeß bis ins Unendliche fort, so bleiben die ludic numbers 1, p(2), p(3), p(4), ... übrig. [1] Einen verbindlichen deutschen Namen haben sie meines Wissens nicht. [2] Und sie beginnen von den Primzahlen abweichend mit der Eins. [3]
Genaue Angaben über die Dichte der ludic numbers scheint es nicht zu geben. Sie ist wohl den Primzahlen ähnlich, bleibt aber etwas dahinter zurück. Jedenfalls bis 1 Million. Darunter gibt es 78.498 Primzahlen, aber nur 66.164 ludic numbers. Dazwischen liegt 10^6/ln(10^6)≈72.382. Trotzdem entsprechen die ersten acht den nichtzusammengesetzten Zahlen. Erst darauf folgt 19 als die kleinste nonludic prime.
[1] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. Ludic numbers A003309, ludic primes A192503, nonludic primes A192505.
[2] Leider findet selbst die wissenschaftliche Begriffsbildung nicht mehr in deutscher Sprache statt, und es nützt auch nichts, amerikanische Serien gesehen zu haben oder den Google-Übersetzer bedienen zu können, um für die ludic numbers einen verbindlichen deutschen Begriff zu finden.
[3] Ich hielte es für sinnvoll, wie beim modernen Sieb des Eratosthenes die 1 außen vor zu lassen, mit der 2 zu beginnen und den n-ten Schritt mit der n-ten statt der (n+1)-ten Zahl auszuführen, also 1 als nonludic zu sehen.
19 | Sieb des Eratosthenes | Sieb von Josephus
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