Zahlwort

Ich habe nur wenige Minuten von Lost gesehen. Die in dieser Serie vorkommenden Zahlen

4 8 15 16 23 42

sind aber als lost numbers auch mir bekannt geworden. Sie wurden sogar in die Enzyklopädie der Zahlenfolgen [1] aufgenommen, obgleich trotz vieler Bemühungen in ihnen kaum System oder Sinn gefunden wurde, der weit über ihre Summe 108 hinausgeht, die ebenfalls in den Geschichten vorkommen soll.

Bevor ich diese Folge wie die in ihr vorkommenden Zahlen 23 und 42 als willkürlich beiseite lege, will ich für mich die Frage beantworten, wie ich in einem Intelligenztest diese Folge fortsetzen würde. Natürlich mit 32!

4 8 *  16 * * 32 * * * 64 * * * 128

Doch was steht an den Sternen? Da hat man einige Wahlfreiheiten. Zunächst die Standardtransformation in ein Dreieck:

 4
 8 15
16 23 42
32 ** ** **
64 ** ** ** **

Ist es ein Zufall, daß es sowohl von 8 nach 15 als auch von 16 nach 23 genau sieben Schritte sind? Das gilt es auszunutzen: Ich mache die Differenz zwischen der ersten und der zweiten Spalte einfach immer zu 7 und die zwischen der zweiten und der dritten zu 19:

 4
 8 15
16 23 42
32 39 58 **
64 71 90 ** **

Wie aber ist die Folge der Differenzen fortzusetzen? An einfachsten und ohne Kreativität linear

7 19 31 43 55 67 ...

jeweils um 12 aufsteigend. Das ergibt eine saublöde Formel

a(i,k) = 2^(i+1) + (k-1)(6k-5)

für die k-te Zahl a(i,k) der i-ten Zeile. Nicht nur für 37-Fanatiker ist die Reihung

7 19 37 61 91 127 ...

die schönere. Es handelt sich um zentrierte Sechseckzahlen, die sich bekanntlich zu Kubikzahlen summierenen. Also

a(i,k) = 2^(i+1) + (k-1)^3 - 1

Damit ist

4 8 15 16 23 42 32 39 58 95 64 71 90 127 188 128 ...

eine mögliche Fortsetzung der Lost-Zahlen. Auch nicht schön, doch bessere habe ich noch nicht gesehen.

[1] Sloane, Encyclopedia of Integer Sequences, A104101

Verschiedene Autoren und die Enzyklopädie der Zahlenfolgen erwähnen ein Shaw-Basho-Polynom

( 480 + 1018x - 895x^2 + 1100x^3 - 305x^4 + 42x^5 ) / 120

das an den Stellen x=0,1,2,3,4,5 die Werte 4,12,35,89,213,511 annimmmt. Bildet man von dieser Folge die iterierten Differenzen, so erscheint die Lost-Folge 4,8,15,16,23,42.

4 12  35  89   213   511
 8  23  54  124   298
  15  31  70   174
    16  39  104
      23  65
        42

Das wäre eine schöne Herleitung, wenn das Shaw-Basho-Polynom irgendwo schon einmal aufgefallen wäre. In Wirklichkeit ist es eine reine Konstruktion, ein Spaß, der mit einem schönen Namen beeindruckt.

Wie geht das? Zur Folge 4,7,1,1 bilde ich wie folgt das Köln-Polynom

4 + 7*x + 1*x(x-1)/2 + 1*x(x-1)(x-2)/6
= ( 24 + 41x + x^3 ) / 6

das an den Stellen x=0,1,2,3 die Werte 4,11,19,29 annimmt. Und siehe da, die iterierten Differenzen

4  11  19  29
  7   8  10
    1   2
      1

ergeben 4711.

Wer nicht nur meinem Verweis in die Enzyklopädie der Zahlenfolgen nachging, sondern darin selbständig nach den Lost-Zahlen suchte, wird sie noch in einer anderen Folge [1] gefunden haben, die dem Bildungsgesetz

b(i) = b(i-1) + b(i-3) + b(i-5)

genügt. Doch auch sie ist wohl ein Spaß, der einfach

42 = 23 + 15 + 4

ausnutzt. Mehr ist auch nicht erforderlich, weil die Rekursion erst ab i=6 gilt und die Lost-Folge nur sechs Werte aufweist. Setzt man die Folge in beide Richtungen fort, ergibt sich

8 -3 -1 4 8 15 16 23 42 66 104 162

Darin ist keine Bedeutung zu erkennen, nur der Wille, die vorgegebenen sechs Zahlen zu generieren.

[1] Sloane, Encyclopedia of Integer Sequences, A122115

Bei einer Folge mit unbekanntem Bildungsgesetz liegt es nahe, die iterierten Differenzen zu betrachten. Im Falle der Lost-Zahlen l(n) erhält man im zweiten Schritt lauter Vielfache von 3.

4   8   15   16   23    42
  4   7    1    7    19
    3   -6    6   12

Daraus ergibt sich, was vielfach zur Lost-Folge erwähnt wird: Zieht man von der n-ten Lost-Zahl n ab, so ist das Ergebnis durch 3 teilbar. Auf diese Weise entstehen die wesentlich kleineren Zahlen k(n)

1 2 4 4 6 12

aus denen sich durch l(n)=3k(n)+n die Lost-Zahlen ergeben. Für diese recht bescheidenen Zahlen sollte sich doch irgendwas unter den bekannten Folgen finden lassen. Doch die Enzyklopädie der Zahlenfolgen vermeldet keinen Treffer. Glücklicherweise aber gibt es den Superseeker [1], der die Zahlen allerlei Verformungen unterwirft und dann vielleicht etwas findet. Die beiden mir passabel erscheinenden Ergebnisse will ich erwähnen.

Der Superseeker betrachtet c(n)=k(n)-n=(l(n)-4n)/3 und findet die so entstehende Folge 0,0,1,0,1,6 in der Dezimaldarstellung der Zahl 1/984=0,001016260162601626 mit der erstaunlich kurzen Periode 01626.

n         1 2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13
c(n)      0 0  1  0  1  6  2  6  0  1  6  2  6
3c(n)+4n  4 8 15 16 23 42 34 50 36 43 62 54 70

Das befriedigt nicht, wenn der 984 keine besondere Bedeutung beigemessen werden kann, denn dann gibt es einfach zuviele unbegründete Parameter. Neben 984 noch 3 und 4 aus der Formel auch die Basis 10 der Dezimaldarstellung.

Der Superseeker findet eine weitere Erklärung über e(n)=2*k(n). Diese Folge 2,4,8,8,12,24 erhält man aus der Eulerschen Funktion phi(n). Sie gibt die Anzahl der zu n teilerfremden Zahlen im Bereich von 1 bis n an. Multipliziert man je zwei aufeinanderfolgende Werte dieser Folge zu e(n)=phi(n+1)phi(n+2), so erscheinen die gesuchten Werte:

n          1 2  3  4  5  6  7  8  9 10 11  12 13
phi(n)     1 1  2  2  4  2  6  4  6  4 10   4 12
e(n)       2 4  8  8 12 24 24 24 40 40 48  72 48
3e(n)/2+n  4 8 15 16 23 42 43 44 69 70 83 120 85

Diese Formel sieht schon besser aus, weil sie neben dem Faktor 3/2 nur noch so kleine Zahlen wie 1 und 2 benötigt. Was die Eulerschen Funktion zur Abstrusität beiträgt, hängt vom persönlichen Verhältnis zu ihr ab.

Der aufmerksame Leser mag gegen die letzte Darstellung einwenden, daß durch die Halbierung der e(n) in die verlängerte Lost-Folge 3e(n)/2-n auch gebrochene Zahlen einfließen könnten. Das ist nicht der Fall, denn e(n) ist immer gerade, weil phi(n) für n>2 immer gerade ist. Sich das zu überlegen, ist eine schöne Aufgabe.

[1] Sloane, Encyclopedia of Integer Sequences, Superseeker

Leider sind nur fünf der Zahlen l(n)-n zur Lost-Folge l(n) auch durch sechs teilbar. So muß man sich mit k(n)=(l(n)-n)/3 begnügen, worunter nur k(1)=1 ungerade ist. Wie kann man diese Hürde nehmen? Zum Beipiel durch die Verrechnung mit einer Folge, die modulo 2 in der ersten Position von den übrigen abweicht. Die Primzahlen p(n) bieten sich an.

n          1  2  3  4  5  6
l(n)       4  8 15 16 23 42
k(n)       1  2  4  4  6 12
p(n)       2  3  5  7 11 13
p(n)-k(n)  1  1  1  3  5  1

Und zu 1,1,1,3,5,1 sollte sich doch etwas finden lassen. Das ist auch der Fall. Noch mehr gibt es zu 0,0,0,2,4,0 (eins weniger) und Umnemgen zu 0,0,0,1,2,0 (die Hälfte). Doch nichts davon befriedigt. Am besten ist noch die Ableitung aus den Zahlen h(n), die nur Primfaktoren 3 und 5 aufweisen, und deren größte gemeinsamen Teilern g(n)=ggT(h(n),h(n+1)) [1]:

n          1  2  3  4  5  6  7  8  9 10
h(n)       1  3  5  9 15 25 27 45 75 81
g(n)       1  1  1  3  5  1  9 15  3  1
p(n)       2  3  5  7 11 13 17 19 23 29
p(n)-g(n)  1  2  4  4  6 12  8  4 20 28
*3 + n     4  8 15 16 23 42 31 20 69 94

Auch die bereits im vorangehenden Kommentar verwendete Folge phi(n) ist geeignet. Für n=1,2 ist sie 1, danach immer gerade.

n              1  2  3  4  5  6
l(n)           4  8 15 16 23 42
k(n)           1  2  4  4  6 12
phi(n+1)       1  2  2  4  2  6
k(n)-phi(n+1)  0  0  2  0  4  6

Doch zu 0,0,2,0,4,6 findet man in der Enzyklopädie nur eine Folge und zur Hälfte 0,0,1,0,2,3 nur ein paar, die nicht von Hocker reißen. Am besten ist noch die Anzahl s(n) der Zerlegungen der Zahl n in Summen mit gleicher Anzahl gerader und ungerader Summanden [2].

1
2
3=2+1=1+2
4
5=4+1=3+2=2+3=1+4
6=2+2+1+1=2+1+2+1=2+1+1+2=1+2+2+1=1+2+1+2=1+1+2+2

n              1  2  3  4  5  6  7  8
s(n)           0  0  2  0  4  6  6 24
phi(n+1)       1  2  2  4  2  6  4  6
s(n)+phi(n+1)  1  2  4  4  6 12 10 30
*3 + n         4  8 15 16 23 42 37 98

Der interessierte Leser mag noch mehr Folgen betrachten, die wie p(n) und phi(n) geeignet sind, k(n)=(l(n)-n)/3 für n=1,...6 gradzahlig und kleiner zu machen. Zum Beispiel die Zweierpotenzen 1,2,4,8,16,32,... oder die Differenzen 1,2,2,4,2,4,... zwischen den Primzahlen.

[1] Sloane, Encyclopedia of Integer Sequences, A112752

[2] Sloane, Encyclopedia of Integer Sequences, A098123

Die aus den Lost-Zahlen l(n) abgeleitete Folge k(n)=(l(n)-n)/3 geradzahlig zu machen, war nicht sonderlich erfolgreich. Deshalb ist etwas mehr Kreativität gefragt. So fällt auf, daß die Zahlen 1,2,4,4,6,12 recht viele Teiler haben, was bereits zur Formel k(n)=phi(n+1)phi(n+2)/2 führte. Vielleicht gibt es noch andere Möglichkeiten der Zerlegung in Faktoren.

 1 = 1 * 1
 2 = 1 * 2
 4 = 2 * 2
 4 = 2 * 2
 6 = 2 * 3
12 = 3 * 4

läßt die Folge f(n) mit Werten 1,1,2,2,2,3,4 mit k(n)=f(n)f(n+1) erkennen. Doch wo kommt die schon vor? Nicht berauschend ist die Anzahl f(n) der echt absteigenden Zerlegungen der Zahl n, ohne die 5 zu benutzen [1].

Zerlegungen         Anzahl  mit 5  ohne 5
1                        1     0     1
2                        1     0     1
3=2+1                    2     0     2
4=3+1                    2     0     2
5=4+1=3+2                3     1     2
6=5+1=4+2=3+2+1          4     1     3
7=6+1=5+2=4+3=4+3+2+1    5     1     4

n           1  2  3  4  5  6  7  8
f(n)        1  1  2  2  2  3  4  4
f(n)f(n+1)  1  2  4  4  6 12 16 24
*3 + n      4  8 15 16 23 42 55 80

Bei scharfem Hinsehen fällt auf, daß k(n) stets um eins hinter einer Primzahl zurückfällt, die Lost-Folge l(n) also auf k(n)+1 mit primen Werten 2,3,5,5,7,13 reduziert werden kann. Und 1,2,3,3,4,6 gibt an, um die wievielte Primzahl es sich handelt. Wer nach dieser Folge sucht, findet nichts von Bedeutung. Die Lost-Gemeinde aber scheint sich auf die Flavius-Josephus-Zahlen j(n) [2] und deren halbe Differenzen i(n)=(j(n+1)-j(n))/2 mit den gesuchten Werten 1,2,3,3,4,6 eingeschossen zu haben.

n           1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11
j(n)        1  3  7 13 19 27 39 49 63 79 91
i(n)        1  2  3  3  4  6  5  7  8  6  9
p(i(n))-1   1  2  4  4  6 12 10 16 18 12 22 
*3 +n       4  8 15 16 23 42 37 56 63 46 77

[1] Sloane, Encyclopedia of Integer Sequences, A015750

[2] Sloane, Encyclopedia of Integer Sequences, A000960

Wer sich im Internet sachkundig macht, wird eine andere als meine Ableitung der Lost-Zahlen l(n) aus den Flavius-Josephus-Zahlen j(n) allenthalben verbreitet finden.

n                 1  2  3  4  5  6  7   8  9 10  11
j(n)              1  3  7 13 19 27 39  49 63 79  91
i(n)              1  2  3  3  4  6  5   7  8  6   9
min{m|d(m)=i(n)}  1  2  4  4  6 12 16  64 24 12  36
*3 +n             4  8 15 16 23 42 55 200 81 46 119

Statt zur Zahl i die i-te Primzahl p(i) zu bilden und eins abzuziehen, wird die kleinste Zahl m mit Teileranzahl d(m)=i genommen. Ich halte das für umständlicher und häßlicher. In den ersten sechs Werten kommt das gleiche heraus. Danach ist es es mit den Primzahlen aber ebenmäßiger.

Was sind denn die Flavius-Josephus-Zahlen? Sie sind nicht eigens für die Lost-Folge erfunden worden, sondern können wie die Primzahlen durch Aussieben gebildet werden. Man beginnt mit den natürlichen Zahlen, entfernt im ersten Schritt jede zweite Zahl, im zweiten Schritt jede dritte usw.

jede 2. Zahl weg:  1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33
jede 3. Zahl weg:  1 3 7 9 13 15 19 21 25 27 31 33 37 39 43 45 49
jede 4. Zahl weg:  1 3 7 13 15 19 25 27 31 37 39 43 49
jede 5. Zahl weg:  1 3 7 13 19 25 27 31 39 43 49
jede 6. Zahl weg:  1 3 7 13 19 27 31 39 43 49
jede 7. Zahl weg:  1 3 7 13 19 27 39 43 49
jede 8. Zahl weg:  1 3 7 13 19 27 39 49

Diese Sieb-Methode trägt den Namen Flavius Josephus, weil vom jüdischen Historiker Josephus kolportiert wird, er habe sich mit 40 anderen im Kreis aufstellen müssen. Jeder dritte wurde getötet, bis nur noch einer lebte. Und das war Josephus, der vorausschauend die Position 31 eingenommen hatte [1].

Eine weniger martialische Variante sind die einfachen Abzählverse. Wer hat sich als Kind nicht gefragt, wo man stehen muß, um zum Schluß übrig zu bleiben oder eben auch nicht? Ich schon, doch ausgerechnet habe ich das nie, denn es ist von wenig praktischem Nutzen: Man weiß nicht, welcher Abzählvers benutzt wird, ob die Ausführung fehlerfrei bleibt oder gar noch das Alter hinten angefügt wird. Nur soviel: Wird "Ich und Du, Müllers Kuh, Müllers Esel das bist Du" in 13 Schläge umgesetzt, so bleibt bei vier und weniger Kindern immer der Abzählende stehen.

[1] Irgendwo habe ich diese schlichte Variante gelesen. Nach der Wikipedia war es etwas komplizierter. Danach stand Josephus an der zweitletzten Position 16 und hätte vom dem auf 31 umgebracht werden müssen, was er aber abwehrte.

Ich habe das neue Wolfram-Alpha [1] ausprobiert und die Lost-Folge eingegeben. Herausgekommen ist nicht sehr viel, doch immerhin

4 + 8 - 15 - 16 - 23 + 42 = 0

weil immer versucht wird, die eingegebenen Zahlen irgendwie zu null zu addieren und zu subtrahieren. Wer damit Eindruck schinden will, formt mehrfach um

 4 = 15 -  8 + 16 - 42 + 23
 8 = 16 - 42 + 23 -  4 + 15
15 =  8 - 16 + 42 - 23 +  4
16 = 42 - 23 +  4 - 15 +  8
23 =  4 - 15 +  8 - 16 + 42
42 = 23 -  4 + 15 -  8 + 16

Bei näherem Hinsehen ist das nicht so beeindruckend. Da jedoch auch noch 42=23+15+4, 23+8=15+16, 23=15+8 ist, steckt doch mehr System in den Lost-Zahlen als der reine Zufall normalerweise gestattet. Solche Zahlen produzieren Lottospieler, die zufällig ankreuzen wollen, es aber zumeist nicht schaffen und sich über die geringen Quoten wundern, wenn ihre Zahlen gezogen werden.

[1] Wolfram Alpha