Sudoku: Paare
wuerg, 16.09.2006 19:53
In den letzten Tagen begegneten mir Sudoku, in denen ich mit der Suche nach Einern nicht zum Ziel kam, die ich nur durch weitergehende Überlegungen lösen konnte. Und damit meine ich nicht so einfache Kombinationen wie in diesem Diagramm:
Im rechten Block kann die 3 weder in der ersten noch der dritten Zeile stehen, muß also in der mittleren Platz finden, wodurch die dritte 3 des 3×9‑Streifens nicht nur im linken Block, sondern auch in der ersten Zeile stehen muß, wo aber nur noch das mit einem Punkt bezeichnete Feld bleibt.
Warum ist diese Überlegung nach meinen Erläuterungen über Einer zwar neu, aber nicht erforderlich? Weil es sich bei der gefundenen 3 einfach um einen versteckten Einer in der ersten Zeile handelt, denn in dreien der vier freien Felder ist die 3 nicht mehr möglich, weil sie im mittleren Block bereits vergeben ist. Trotzdem ist die neue Überlegung nicht überflüssig, weil sie oftmals schneller ins Auge springt, nebenbei abfällt oder einfacher ist.
Natürlich findet der Computer gerne von mir übersehene Einer, vor allem nackte. Und so tröstet es mich, daß in diesem Sudoku [1]
Hätte ich nicht zum Zwecke der Analyse an dieser Stelle den Computer bemüht, würde ich eher ein verstecktes Paar gesucht haben. Das sind zwei Ziffern, die in einer Zeile, Spalte oder in einem Block genau zweimal vorkommen, und zwar in den gleichen beiden Feldern. Da darin neben diesen zwei Ziffern in der Regel noch weitere möglich sind (sonst wäre es zugleich ein nacktes Paar), werden sie über die Buchhaltermethode nur schwer gesehen. Deshalb empfielt es sich, vorzugsweise in stark besetzten Zeilen, Spalten oder Blöcken nach fehlenden Ziffern in der Hoffnung Ausschau zu halten, daß sie bis auf zwei in allen Feldern ausscheiden. Das liefert kein Paar, aber einen Zweier, also einzelne Ziffern in nur zwei Feldern. Auch wenn man sich nur solche innerhalb eines Blockes merkt, so geschieht es doch häufig, daß ein weiterer Zweier für die gleichen Felder entdeckt wird und so ein Paar entsteht.
Langer Rede kurzer Sinn: Mir hätte auffallen können, daß 2 und 6 in Spalte 4 des Blockes 2 und auch in der Spalte 5 des Blockes 8 stehen, weshalb ihnen im Block 5 nur die 6. Spalte bleibt. Eines dieser drei Felder ist besetzt, weshalb das versteckte Paar 2/6 in den beiden verbleibenden stehen muß.
Bleibt nur noch eine Frage zu klären: Wie finde ich das 2/6‑Paar, zumal ich doch nicht ohne weiteres sehe, daß 2 und 6 in den Spalten 4 und 5 bereits im oberen und im unteren Block vorkommen? Die Antwort ist einfach: Es wird eine Ziffer n nach der anderen betrachtet, und es werden (im Geiste) alle Zeilen, Spalten und Blöcke geschwärzt, in denen diese Ziffer steht, zusätzlich auch alle bereits belegten Felder. Bleibt ein einzelnes weißes Feld in einer Zeile, Spalte oder Block, ist an dieser Stelle ein Einer n entdeckt. Dort wird die ausgewählte Ziffer notiert und sodann weiter geschwärzt. Dieser Prozeß ist zu wiederholen, bis keine Einer n mehr gefunden werden. Sodann werden Zweier gesucht, also Felder, die in einer Zeile, einer Spalte oder einem Block genau zweimal n als noch möglichen Kandidaten aufweisen. Auch wenn sie direkt nichts nützen, sollten sie zumindest dann notiert werden, wenn sie sich in einem gemeinsamen Block befinden [3], besonders wenn sie darin waagerecht oder senkrecht liegen und in ihre Zeile bzw. Spalte ausstrahlen (pointing pair), daß darin alle weiteren n gestrichen werden können. Im Glücksfalle wurde bereits ein Zweier zu einer anderen Zahl m an der gleichen Stelle gefunden. Dann steht dort ein m/n‑Paar mit allen seinen Konsequenzen. Möglicherweise können nun weitere Einer zu finden sein.
Normalerweise gehe ich zu Beginn stur alle Ziffern von 1 bis 9 durch, beginne auch teilweise wieder von vorne, wenn es erfolgversprechend aussieht. Das hier betrachtete Sudoku sieht nach Abarbeitung der Ziffern 1 bis 6 wie folgt aus:
[1] .6725...8.2..........61..5.3........2.4..581....8..43..32..89..7.1.2...5....6.3..
[2] Andrew Stuart: Sudoku Solver.
[3] Wenn die beiden Felder eines Zweiers sich berühren, schreibe ich die Ziffer auf die gemeinsame Kante bzw. Ecke. Ansonsten zeichne ich eine Verbindungslinie und beschrifte sie mit der Ziffer des Zweiers. Am Computer werden solche Zweier (oder auch Dreier) gerne in eine Ecke der Felder geschrieben, weshalb sie zur eindeutigen Interpretation alle in einem Block liegen sollten. Auch ich verzichte fast immer auf blockübergreifende Verbindungen, da sie normalerweise auch nicht viel bringen.
Anfang | Einer | Raster | Stufen
┏━━━┯━━━┯━━━┳━━━┯━━━┯━━━┳━━━┯━━━┯━━━┓ ┃ 1 │ 2 │ ⋅ ┃ │ │ ┃ 4 │ 5 │ 6 ┃ ┠───┼───┼───╂───┼───┼───╂───┼───┼───┨ ┃ │ │ ┃ │ │ ┃ │ │ ┃ ┠───┼───┼───╂───┼───┼───╂───┼───┼───┨ ┃ │ │ ┃ │ │ 3 ┃ │ │ ┃ ┗━━━┷━━━┷━━━┻━━━┷━━━┷━━━┻━━━┷━━━┷━━━┛[Da hier Tabllen nicht mehr dargestellt werden, habe ich Diagramme mit Unicode-Rahmenzeichen erstellt, die immer noch nicht von allen Browsern korrekt angezeigt werden. Die Arbeit mit Bildern erspare ich mir, egal ob scharf und verlinkt oder verwaschen und direkt hier eingefügt.]
Im rechten Block kann die 3 weder in der ersten noch der dritten Zeile stehen, muß also in der mittleren Platz finden, wodurch die dritte 3 des 3×9‑Streifens nicht nur im linken Block, sondern auch in der ersten Zeile stehen muß, wo aber nur noch das mit einem Punkt bezeichnete Feld bleibt.
Warum ist diese Überlegung nach meinen Erläuterungen über Einer zwar neu, aber nicht erforderlich? Weil es sich bei der gefundenen 3 einfach um einen versteckten Einer in der ersten Zeile handelt, denn in dreien der vier freien Felder ist die 3 nicht mehr möglich, weil sie im mittleren Block bereits vergeben ist. Trotzdem ist die neue Überlegung nicht überflüssig, weil sie oftmals schneller ins Auge springt, nebenbei abfällt oder einfacher ist.
Natürlich findet der Computer gerne von mir übersehene Einer, vor allem nackte. Und so tröstet es mich, daß in diesem Sudoku [1]
┏━━━┯━━━┯━━━┳━━━┯━━━┯━━━┳━━━┯━━━┯━━━┓ ┃ │ 6 │ 7 ┃ 2 │ 5 │ ┃ │ │ 8 ┃ ┠───┼───┼───╂───┼───┼───╂───┼───┼───┨ ┃ │ 2 │ ┃ │ │ ┃ │ │ ┃ ┠───┼───┼───╂───┼───┼───╂───┼───┼───┨ ┃ │ │ ┃ 6 │ 1 │ ┃ │ 5 │ ┃ ┣━━━┿━━━┿━━━╋━━━┿━━━┿━━━╋━━━┿━━━┿━━━┫ ┃ 3 │ │ ┃ │ │ ┃ │ │ ┃ ┠───┼───┼───╂───┼───┼───╂───┼───┼───┨ ┃ 2 │ │ 4 ┃ │ │ 5 ┃ 8 │ 1 │ ┃ ┠───┼───┼───╂───┼───┼───╂───┼───┼───┨ ┃ │ │ ┃ 8 │ │ ┃ 4 │ 3 │ ┃ ┣━━━┿━━━┿━━━╋━━━┿━━━┿━━━╋━━━┿━━━┿━━━┫ ┃ │ 3 │ 2 ┃ │ │ 8 ┃ 9 │ │ ┃ ┠───┼───┼───╂───┼───┼───╂───┼───┼───┨ ┃ 7 │ │ 1 ┃ │ 2 │ ┃ │ │ 5 ┃ ┠───┼───┼───╂───┼───┼───╂───┼───┼───┨ ┃ │ │ ┃ │ 6 │ ┃ 3 │ │ ┃ ┗━━━┷━━━┷━━━┻━━━┷━━━┷━━━┻━━━┷━━━┷━━━┛ein fast menschlich vorgehendes Programm [2], das ebenfalls zunächst nach Einern sucht, an der gleichen Stelle ins Grübeln kam wie ich:
┏━━━┯━━━┯━━━┳━━━┯━━━┯━━━┳━━━┯━━━┯━━━┓ ┃ │ 6 │ 7 ┃ 2 │ 5 │ 3 ┃ 1 │ │ 8 ┃ ┠───┼───┼───╂───┼───┼───╂───┼───┼───┨ ┃ 1 │ 2 │ 5 ┃ │ 8 │ ┃ 7 │ 6 │ 3 ┃ ┠───┼───┼───╂───┼───┼───╂───┼───┼───┨ ┃ │ │ 3 ┃ 6 │ 1 │ 7 ┃ 2 │ 5 │ ┃ ┣━━━┿━━━┿━━━╋━━━┿━━━┿━━━╋━━━┿━━━┿━━━┫ ┃ 3 │ │ ┃ │ │ ┃ 5 │ │ ┃ ┠───┼───┼───╂───┼───┼───╂───┼───┼───┨ ┃ 2 │ │ 4 ┃ │ 3 │ 5 ┃ 8 │ 1 │ 6 ┃ ┠───┼───┼───╂───┼───┼───╂───┼───┼───┨ ┃ │ │ ┃ 8 │ │ ┃ 4 │ 3 │ ┃ ┣━━━┿━━━┿━━━╋━━━┿━━━┿━━━╋━━━┿━━━┿━━━┫ ┃ 6 │ 3 │ 2 ┃ 5 │ │ 8 ┃ 9 │ │ ┃ ┠───┼───┼───╂───┼───┼───╂───┼───┼───┨ ┃ 7 │ │ 1 ┃ 3 │ 2 │ ┃ 6 │ │ 5 ┃ ┠───┼───┼───╂───┼───┼───╂───┼───┼───┨ ┃ │ │ ┃ │ 6 │ ┃ 3 │ │ ┃ ┗━━━┷━━━┷━━━┻━━━┷━━━┷━━━┻━━━┷━━━┷━━━┛Irgendwann hätte ich eine Fortsetzung gefunden, und sei es durch Fallunterscheidung, habe aber aufgegeben, weil ich unbedingt wissen wollte, ob der Computer an dieser Stelle weitere Einer findet. Das war nicht der Fall, weshalb er zu Paaren überging. Das sind zwei Felder einer Zeile, einer Spalte oder eines Blockes, in denen nur zwei Ziffern möglich sind, und zwar in beiden Feldern die gleichen. Von diesen Paaren (rot) fand er zwei. Zum einen 4/9 in den Zeilen 2 und 8 der Spalte 6 mit der roten nackten 1 als Konsequenz. Zum anderen 7/9 (rot )an den Positionen 4 und 8 des mittleren Blockes, woraus sich darin eine rote nackte 4 ergibt. Direkte Folge ist die versteckte blaue 1 in diesem Block und ein ebenfalls blaues 2/6‑Paar, das sich auch ergäbe, fielen einem 2 und 6 in den Spalten 4 und 5 auf. Damit ist das Sudoku so gut wie gelöst:
┏━━━┯━━━┯━━━┳━━━┯━━━┯━━━┳━━━┯━━━┯━━━┓ ┃ │ 6 │ 7 ┃ 2 │ 5 │ 3 ┃ 1 │ │ 8 ┃ ┠───┼───┼───╂───┼───┼───╂───┼───┼───┨ ┃ 1 │ 2 │ 5 ┃ │ 8 │4/9┃ 7 │ 6 │ 3 ┃ ┠───┼───┼───╂───┼───┼───╂───┼───┼───┨ ┃ │ │ 3 ┃ 6 │ 1 │ 7 ┃ 2 │ 5 │ ┃ ┣━━━┿━━━┿━━━╋━━━┿━━━┿━━━╋━━━┿━━━┿━━━┫ ┃ 3 │ │ ┃ 1 │ 4 │2/6┃ 5 │ │ ┃ ┠───┼───┼───╂───┼───┼───╂───┼───┼───┨ ┃ 2 │ │ 4 ┃7/9│ 3 │ 5 ┃ 8 │ 1 │ 6 ┃ ┠───┼───┼───╂───┼───┼───╂───┼───┼───┨ ┃ │ │ ┃ 8 │7/9│2/6┃ 4 │ 3 │ ┃ ┣━━━┿━━━┿━━━╋━━━┿━━━┿━━━╋━━━┿━━━┿━━━┫ ┃ 6 │ 3 │ 2 ┃ 5 │ │ 8 ┃ 9 │ │ ┃ ┠───┼───┼───╂───┼───┼───╂───┼───┼───┨ ┃ 7 │ │ 1 ┃ 3 │ 2 │4/9┃ 6 │ │ 5 ┃ ┠───┼───┼───╂───┼───┼───╂───┼───┼───┨ ┃ │ │ ┃ │ 6 │ 1 ┃ 3 │ │ ┃ ┗━━━┷━━━┷━━━┻━━━┷━━━┷━━━┻━━━┷━━━┷━━━┛Nackte Paare wie 7/9 und 4/9 sind für Menschen mitunter schwer zu sehen, wenn man nicht buchhalterisch und leider auch zeitraubend vorgeht, in den leeren Feldern alle noch möglichen Ziffern notiert und sich sodann anschaut, in welchen nur noch zwei stehen. Ist es das gleiche Paar innerhalb einer Zeile, Spalte oder einem Block, so hat man dieses nackte Paar gefunden, woraufhin in dieser Zeile, Spalte oder diesem Block an anderen Stellen diese beiden Ziffern gestrichen werden können.
Hätte ich nicht zum Zwecke der Analyse an dieser Stelle den Computer bemüht, würde ich eher ein verstecktes Paar gesucht haben. Das sind zwei Ziffern, die in einer Zeile, Spalte oder in einem Block genau zweimal vorkommen, und zwar in den gleichen beiden Feldern. Da darin neben diesen zwei Ziffern in der Regel noch weitere möglich sind (sonst wäre es zugleich ein nacktes Paar), werden sie über die Buchhaltermethode nur schwer gesehen. Deshalb empfielt es sich, vorzugsweise in stark besetzten Zeilen, Spalten oder Blöcken nach fehlenden Ziffern in der Hoffnung Ausschau zu halten, daß sie bis auf zwei in allen Feldern ausscheiden. Das liefert kein Paar, aber einen Zweier, also einzelne Ziffern in nur zwei Feldern. Auch wenn man sich nur solche innerhalb eines Blockes merkt, so geschieht es doch häufig, daß ein weiterer Zweier für die gleichen Felder entdeckt wird und so ein Paar entsteht.
Langer Rede kurzer Sinn: Mir hätte auffallen können, daß 2 und 6 in Spalte 4 des Blockes 2 und auch in der Spalte 5 des Blockes 8 stehen, weshalb ihnen im Block 5 nur die 6. Spalte bleibt. Eines dieser drei Felder ist besetzt, weshalb das versteckte Paar 2/6 in den beiden verbleibenden stehen muß.
┏━━━┯━━━┯━━━┳━━━┯━━━┯━━━┳━━━┯━━━┯━━━┓ ┃ │ 6 │ 7 ┃ 2 │ 5 │ 3 ┃ 1 │ │ 8 ┃ ┠───┼───┼───╂───┼───┼───╂───┼───┼───┨ ┃ 1 │ 2 │ 5 ┃ │ 8 │ ┃ 7 │ 6 │ 3 ┃ ┠───┼───┼───╂───┼───┼───╂───┼───┼───┨ ┃ │ │ 3 ┃ 6 │ 1 │ 7 ┃ 2 │ 5 │ ┃ ┣━━━┿━━━┿━━━╋━━━┿━━━┿━━━╋━━━┿━━━┿━━━┫ ┃ 3 │ │ ┃ 1 │ 4 │2/6┃ 5 │ │ ┃ ┠───┼───┼───╂───┼───┼───╂───┼───┼───┨ ┃ 2 │ 9 │ 4 ┃ 7 │ 3 │ 5 ┃ 8 │ 1 │ 6 ┃ ┠───┼───┼───╂───┼───┼───╂───┼───┼───┨ ┃ │ │ ┃ 8 │ 9 │2/6┃ 4 │ 3 │ ┃ ┣━━━┿━━━┿━━━╋━━━┿━━━┿━━━╋━━━┿━━━┿━━━┫ ┃ 6 │ 3 │ 2 ┃ 5 │ 7 │ 8 ┃ 9 │ 4 │ 1 ┃ ┠───┼───┼───╂───┼───┼───╂───┼───┼───┨ ┃ 7 │ │ 1 ┃ 3 │ 2 │ ┃ 6 │ │ 5 ┃ ┠───┼───┼───╂───┼───┼───╂───┼───┼───┨ ┃ │ │ ┃ │ 6 │ ┃ 3 │ │ ┃ ┗━━━┷━━━┷━━━┻━━━┷━━━┷━━━┻━━━┷━━━┷━━━┛Sofort ergibt sich erst die versteckte 1, danach die versteckte 4 im mittleren Block, gefolgt von der versteckten 9 in Spalte 5. Im Anschluß purzeln die roten Siebener. Damit ist das 7/9‑Paar im mittleren Block aufgelöst, ohne es vorher als nacktes Paar bemerkt zu haben. Und wegen 1 und 4 in Zeile 7 fallen alle Vieren und Neunen des gesamten Diagramms. Die zahlreichen 4/9‑Paare sind also ebenfalls aufgelöst, ohne sie zuvor gesehen haben zu müssen.
Bleibt nur noch eine Frage zu klären: Wie finde ich das 2/6‑Paar, zumal ich doch nicht ohne weiteres sehe, daß 2 und 6 in den Spalten 4 und 5 bereits im oberen und im unteren Block vorkommen? Die Antwort ist einfach: Es wird eine Ziffer n nach der anderen betrachtet, und es werden (im Geiste) alle Zeilen, Spalten und Blöcke geschwärzt, in denen diese Ziffer steht, zusätzlich auch alle bereits belegten Felder. Bleibt ein einzelnes weißes Feld in einer Zeile, Spalte oder Block, ist an dieser Stelle ein Einer n entdeckt. Dort wird die ausgewählte Ziffer notiert und sodann weiter geschwärzt. Dieser Prozeß ist zu wiederholen, bis keine Einer n mehr gefunden werden. Sodann werden Zweier gesucht, also Felder, die in einer Zeile, einer Spalte oder einem Block genau zweimal n als noch möglichen Kandidaten aufweisen. Auch wenn sie direkt nichts nützen, sollten sie zumindest dann notiert werden, wenn sie sich in einem gemeinsamen Block befinden [3], besonders wenn sie darin waagerecht oder senkrecht liegen und in ihre Zeile bzw. Spalte ausstrahlen (pointing pair), daß darin alle weiteren n gestrichen werden können. Im Glücksfalle wurde bereits ein Zweier zu einer anderen Zahl m an der gleichen Stelle gefunden. Dann steht dort ein m/n‑Paar mit allen seinen Konsequenzen. Möglicherweise können nun weitere Einer zu finden sein.
Normalerweise gehe ich zu Beginn stur alle Ziffern von 1 bis 9 durch, beginne auch teilweise wieder von vorne, wenn es erfolgversprechend aussieht. Das hier betrachtete Sudoku sieht nach Abarbeitung der Ziffern 1 bis 6 wie folgt aus:
┏━━━┯━━━┯━━━┳━━━┯━━━┯━━━┳━━━┯━━━┯━━━┓ ┃ │ 6 │ 7 ┃ 2 │ 5 │ 3 ┃ │ │ 8 ┃ ┠─1─┼───┼───╂───┼───┼───╂─1─┼───┼───┨ ┃ 5┼─2─┼5 ┃ │ │ ┃ 6 │ ┃ ┠───┼───┼─3─╂───┼───┼───╂───┼───┼─3─┨ ┃ │ │ ┃ 6 │ 1 │ ┃ 2┼─5─┼2 ┃ ┣━━━┿━━━┿━━━╋━━━┿━━━┿━━━╋━━━┿━━━┿━━━┫ ┃ 3 │ 1│ 6┃ │ │2 6┃ 5 │ │ ┃ ┠───┼──┼┼──┼╂───┼───┼┼─┼╂───┼───┼───┨ ┃ 2 │ ││ 4│┃ │ 3 ││5│┃ 8 │ 1 │ 6 ┃ ┠───┼──┼┼──┼╂───┼───┼┼─┼╂───┼───┼───┨ ┃ │ 1│ 6┃ 8 │ │2 6┃ 4 │ 3 │ ┃ ┣━━━┿━━━┿━━━╋━━━┿━━━┿━━━╋━━━┿━━━┿━━━┫ ┃ 6 │ 3 │ 2 ┃ 5 │ │ 8 ┃ 9 │ │ 1┃ ┠───┼───┼───╂───┼───┼───╂───┼───┼──┼┨ ┃ 7 │ │ 1 ┃ 3 │ 2 │ ┃ 6 │ 5│┃ ┠───┼───┼───╂───┼───┼───╂───┼───┼──┼┨ ┃ │ │ ┃ │ 6 │ ┃ 3 │ 2 1┃ ┗━━━┷━━━┷━━━┻━━━┷━━━┷━━━┻━━━┷━━━┷━━━┛Normalerweise würde ich auch die verbleibenden Ziffern 7 bis 9 auf Einer und Zweier überprüfen. Dadurch aber würde mein Bild überladen, und es ist auch nicht erforderlich, denn nunmehr ist im mittleren Block ein Paar gefunden, das der 1 und der 4 ihren Platz darin zuweist. Die restlichen beiden bilden ein 7/9‑Paar, das aber gar nicht beachtet werden muß, denn nun kommt man wie zuvor dargelegt mit Einern ans Ziel.
[1] .6725...8.2..........61..5.3........2.4..581....8..43..32..89..7.1.2...5....6.3..
[2] Andrew Stuart: Sudoku Solver.
[3] Wenn die beiden Felder eines Zweiers sich berühren, schreibe ich die Ziffer auf die gemeinsame Kante bzw. Ecke. Ansonsten zeichne ich eine Verbindungslinie und beschrifte sie mit der Ziffer des Zweiers. Am Computer werden solche Zweier (oder auch Dreier) gerne in eine Ecke der Felder geschrieben, weshalb sie zur eindeutigen Interpretation alle in einem Block liegen sollten. Auch ich verzichte fast immer auf blockübergreifende Verbindungen, da sie normalerweise auch nicht viel bringen.
Anfang | Einer | Raster | Stufen
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wuerg,
27.09.2006 22:21
Nun kann ich stolz vermelden, nach langem Nachdenken ein Sudoku gelöst zu haben, in dem ich mit den bisher von mir dargestellten Methoden nicht weiterkam:
[Nach 18 Jahren muß ich leider sagen: Ich habe zwei versteckte Paare übersehen, und das Programm hätte sie sicherlich gefunden, wenn es nicht nackte Tripel vorzöge. Mit ihnen hätte auch ich das Sudoku ohne Fallunterscheidung lösen können, doch eben nicht allein mit versteckten Einern und Zweiern. Das werde ich ich in einem gesondertern Kommentar darlegen.]
Es ist klar, was der Computer an dieser ersten Hürde macht: Er bevorzugt nackte Paare und Tripel gegenüber versteckten, wenn er keine Einer mehr findet. Da es keine nackten Paare mehr gibt, geht es ihm also zunächst um nackte Tripel. Das sind drei Felder einer Zeile, einer Spalte oder eines Blockes, in denen nur drei gemeinsame Ziffern möglich sind. Ein verstecktes Tripel wird dagegen aus drei Ziffern gebildet, die nur in drei gemeinsamen Felder vorkommen.
In beiden Fällen hat man hinterher grundsätzlich das gleiche erreicht wie mit Einern und Paaren: Die n freien Felder einer Zeile, einer Spalte oder eines Blockes sind aufgespalten in ein Tripel aus drei Feldern und einem Rest mit n−3. Etwas allgemeiner: Findet man unter den n=1,…9 freien Feldern ein nacktes oder verstecktes m‑Tupel, so bilden die restlichen n−m Felder ein verstecktes bzw. nacktes (m−n)-Tupel. Die Suche nach Tripeln lohnt sich also erst ab 6 freien Feldern, bei Paaren aber schon bei vieren.
Ich habe das nackte Tripel in der vierten Zeile nicht gefunden, der Computer sieht es aber sofort. Die mit # gekennzeichneten Felder können nur die Ziffern 1, 6 und 7 enthalten, die in den übrigen Feldern der vierten Zeile als Kandidaten gestrichen werden können. Daß in den drei anderen freien Feldern der vierten Zeile die drei Ziffern 2, 5 und 8 ein verstecktes Tripel bilden, interessiert ihn nicht. Auch nicht, daß 2 und 5 allein schon ein Paar sind und so die 8 bei D3 gefunden ist, denn die fällt ihm als nackte 8 (rot) so und so in die Hände. Damit ist auch die letzte 8 (blau) fällig. Die 1 findet im mittleren Block nur bei E5 Platz, da sie nicht in der vierte Spalte stehen kann und bei D5 nur noch 2 und 5 möglich sind.
Ein nackter Zweier ist nützlich, doch direkt folgt aus seinem Auffinden nichts, solange nicht in seinem Block, seiner Zeile oder Spalte schon der gleiche steht. Ich suche gerne versteckte Zweier, in der Hoffnung auf Paarbildung. Da der Computer aber Paare gesondert und bevorzugt sucht, schaut er nur nach versteckten Zweiern die in andere Gebiete ausstrahlen und dort Kandidaten entfernen (pointing pais).
Er findet die beiden einzigen Plätze für die 7 im linken oberen Block, danach auch eimen Block tiefer (blau). Außerdem zweimal Dreien in den Böcken 4 und 5 (rot) und Fünfen im sechsten Block (orange). Entscheidend aber sind die beiden Einsen im Block 7, die wegen des 259‑Tripels und 46 bei H4 nur noch zwei Möglichkeiten haben (grün). Da H5 zum bereits gefundenen 4/6‐Paar gehört, bleibt für die 3 im Block 8 nur H9, gefolgt von 3G9 in Block 9 (blau)
Auf diese Weise zum Ziel zu kommen, hätte mich wohl Tage beschäftigt. Ich habe deshalb gemacht, was ein Computer auch sehr gut kann, wenn alles andere versagt, nämlich eine Fallunterscheidung. Als Mensch sollte man nach einer guten Stelle suchen, die ich an der mit # bezeichneten gefunden habe. Und zwar bereits an der ersten Hürde, da noch kein 2/5‑Paar, geschweige denn das 4/6‑Paar gefunden war.
[1] ...8..9..89......26..7.9..5...9.43..42...68...5......4....78.4..8.1.....3.7....6.
+-------+-------+-------+ | . . . | 8 . . | 9 . . | | 8 9 . | . . . | . . 2 | | 6 . . | 7 . 9 | . . 5 | +-------+-------+-------+ | . . . | 9 . 4 | 3 . . | | 4 2 . | . . 6 | 8 . . | [1] | . 5 . | . . . | . . 4 | +-------+-------+-------+ | . . . | . 7 8 | . 4 . | | . 8 . | 1 . . | . . . | | 3 . 7 | . . . | . 6 . | +-------+-------+-------+Schon nach vier ergänzten Ziffern fand ich keine Einer und keine Paare mehr, weder nackte noch versteckte. Und es ist schon verwunderlich, die in der untersten Zeile versteckte 9 überhaupt gesehen zu haben.
+-------+-------+-------+ | . . . | 8 . . | 9 . . | | 8 9 . | . . . | . . 2 | | 6 . . | 7 . 9 | . 8 5 | +-------+-------+-------+ | . . . | 9 . 4 | 3 . . | | 4 2 . | . . 6 | 8 . . | | . 5 . | . . 7 | . . 4 | +-------+-------+-------+ | . . . | . 7 8 | . 4 . | | . 8 . | 1 . . | . . . | | 3 . 7 | . 9 . | . 6 8 | +-------+-------+-------+Zu meiner Freude konnte ich hinterher feststellen, daß auch der Computer die gleichen vier Ziffern fand und danach ebenfalls keine Einer und Paare mehr. Was machen Mensch und Computer in einer solchen Situation?
[Nach 18 Jahren muß ich leider sagen: Ich habe zwei versteckte Paare übersehen, und das Programm hätte sie sicherlich gefunden, wenn es nicht nackte Tripel vorzöge. Mit ihnen hätte auch ich das Sudoku ohne Fallunterscheidung lösen können, doch eben nicht allein mit versteckten Einern und Zweiern. Das werde ich ich in einem gesondertern Kommentar darlegen.]
Es ist klar, was der Computer an dieser ersten Hürde macht: Er bevorzugt nackte Paare und Tripel gegenüber versteckten, wenn er keine Einer mehr findet. Da es keine nackten Paare mehr gibt, geht es ihm also zunächst um nackte Tripel. Das sind drei Felder einer Zeile, einer Spalte oder eines Blockes, in denen nur drei gemeinsame Ziffern möglich sind. Ein verstecktes Tripel wird dagegen aus drei Ziffern gebildet, die nur in drei gemeinsamen Felder vorkommen.
In beiden Fällen hat man hinterher grundsätzlich das gleiche erreicht wie mit Einern und Paaren: Die n freien Felder einer Zeile, einer Spalte oder eines Blockes sind aufgespalten in ein Tripel aus drei Feldern und einem Rest mit n−3. Etwas allgemeiner: Findet man unter den n=1,…9 freien Feldern ein nacktes oder verstecktes m‑Tupel, so bilden die restlichen n−m Felder ein verstecktes bzw. nacktes (m−n)-Tupel. Die Suche nach Tripeln lohnt sich also erst ab 6 freien Feldern, bei Paaren aber schon bei vieren.
Ich habe das nackte Tripel in der vierten Zeile nicht gefunden, der Computer sieht es aber sofort. Die mit # gekennzeichneten Felder können nur die Ziffern 1, 6 und 7 enthalten, die in den übrigen Feldern der vierten Zeile als Kandidaten gestrichen werden können. Daß in den drei anderen freien Feldern der vierten Zeile die drei Ziffern 2, 5 und 8 ein verstecktes Tripel bilden, interessiert ihn nicht. Auch nicht, daß 2 und 5 allein schon ein Paar sind und so die 8 bei D3 gefunden ist, denn die fällt ihm als nackte 8 (rot) so und so in die Hände. Damit ist auch die letzte 8 (blau) fällig. Die 1 findet im mittleren Block nur bei E5 Platz, da sie nicht in der vierte Spalte stehen kann und bei D5 nur noch 2 und 5 möglich sind.
+-------+-------+-------+ | . . . | 8 . . | 9 . . | | 8 9 . | . . . | . . 2 | | 6 . . | 7 . 9 | . 8 5 | +-------+-------+-------+ | # # 8 | 9 . 4 | 3 . # | | 4 2 . | . 1 6 | 8 . . | | . 5 . | . 8 7 | . . 4 | +-------+-------+-------+ | . . . | . 7 8 | . 4 . | | . 8 . | 1 . . | . . . | | 3 . 7 | . 9 . | . 6 8 | +-------+-------+-------+An dieser zweiten Hürde sind keine neuen nackten Paare oder Tripel mehr zu finden. Deshalb sucht das Programm nun nach versteckten Paaren und Tripeln. Ein verstecktes Paar aus den Ziffern 4 und 6 findet es in Zeile 8 (rot) und in der Folge ein verstecktes Tripel aus 2, 5 und 9 im Block unten links (blau):
+-------+-------+-------+ | . . . | 8 . . | 9 . . | | 8 9 . | . . . | . . 2 | | 6 . . | 7 . 9 | . 8 5 | +-------+-------+-------+ | . . 8 | 9 . 4 | 3 . . | | 4 2 . | . 1 6 | 8 . . | | . 5 . | . 8 7 | . . 4 | +-------+-------+-------+ |259.259| . 7 8 | . 4 . | |2598 46| 1 46. | . . . | | 3 . 7 | . 9 . | . 6 8 | +-------+-------+-------+Leidenschaftslos nimmt der Computer es hin, daß er nun zwar ein paar Möglichkeiten streichen kann, doch zunächst um keine einzige Ziffer vorankommt. In dieser Situation macht er das, was ein Mensch auch tun würde, wenn er keine Paare findet oder auf Tripel und Quadrupel keine Lust hat. Er beschränkt sich auf halbe Paare, die ich einfach Zweier nennen möchte. Ein nackter Zweier bezieht sich auf ein Feld, in dem nur zwei verschiedene Ziffern möglich sind. Ein versteckter Zweier besteht aus einer Ziffer, die nur in zwei verschiedenen Feldern vorkommen kann.
Ein nackter Zweier ist nützlich, doch direkt folgt aus seinem Auffinden nichts, solange nicht in seinem Block, seiner Zeile oder Spalte schon der gleiche steht. Ich suche gerne versteckte Zweier, in der Hoffnung auf Paarbildung. Da der Computer aber Paare gesondert und bevorzugt sucht, schaut er nur nach versteckten Zweiern die in andere Gebiete ausstrahlen und dort Kandidaten entfernen (pointing pais).
Er findet die beiden einzigen Plätze für die 7 im linken oberen Block, danach auch eimen Block tiefer (blau). Außerdem zweimal Dreien in den Böcken 4 und 5 (rot) und Fünfen im sechsten Block (orange). Entscheidend aber sind die beiden Einsen im Block 7, die wegen des 259‑Tripels und 46 bei H4 nur noch zwei Möglichkeiten haben (grün). Da H5 zum bereits gefundenen 4/6‐Paar gehört, bleibt für die 3 im Block 8 nur H9, gefolgt von 3G9 in Block 9 (blau)
+-------+-------+-------+ | 7 7 . | 8 . . | 9 . . | | 8 9 . | . . . | . . 2 | | 6 . . | 7 . 9 | . 8 5 | +-------+-------+-------+ | 7 7 8 | 9 . 4 | 3 5 . | | 4 2 3 | 3 1 6 | 8 5 . | | . 5 3 | 3 8 7 | . . 4 | +-------+-------+-------+ | . 1 . | . 7 8 | . 4 3 | | . 8 . | 1 . 3 | . . . | | 3 1 7 | . 9 . | . 6 8 | +-------+-------+-------+Die Qualität dieses Sudoku zeigt sich durch das Auftreten dieser dritten Hürde, denn wieder geht es nicht mit Einern, Paaren, Tripeln und Quadrupeln weiter. Erneut müssen Zweier gesucht werden:
+-------+-------+-------+ | . . . | 8 . . | 9 . . | | 8 9 . | . . . | . . 2 | | 6 3 . | 7 . 9 | 4 8 5 | +-------+-------+-------+ | . . 8 | 9 . 4 | 3 . . | | 4 2 . | . 1 6 | 8 . . | | . 5 . | . 8 7 | . . 4 | +-------+-------+-------+ | . . . | . 7 8 | 1 4 3 | | . 8 . | 1 . 3 | . 9 9 | | 3 . 7 | . 9 . | 1 6 8 | +-------+-------+-------+Im Block unten rechts gibt es sowohl für die 1 als auch die 9 jeweils nur zwei Plätze (rot). Auch sie strahlen wieder in die Zeilen und Spalten aus. So ergibt sich rechts oben die blaue 4, wo zuvor auch noch eine 1 möglich gewesen wäre. Es folgt die blaue 3 oben links, weil der Computer dort eine 1 wegen des alten Zweiers ausgeschlossen hatte und nun auch die 4 weggefallen ist. Und so geht es ohne Probleme weiter bis zum Ende.
Auf diese Weise zum Ziel zu kommen, hätte mich wohl Tage beschäftigt. Ich habe deshalb gemacht, was ein Computer auch sehr gut kann, wenn alles andere versagt, nämlich eine Fallunterscheidung. Als Mensch sollte man nach einer guten Stelle suchen, die ich an der mit # bezeichneten gefunden habe. Und zwar bereits an der ersten Hürde, da noch kein 2/5‑Paar, geschweige denn das 4/6‑Paar gefunden war.
+-------+-------+-------+ | . . . | 8 . . | 9 . . | | 8 9 . | . . . | . . 2 | | 6 . . | 7 . 9 | . 8 5 | +-------+-------+-------+ | . . . | 9 . 4 | 3 . . | | 4 2 . | . . 6 | 8 . . | | . 5 . | . . 7 | . . 4 | +-------+-------+-------+ | . . . | . 7 8 | . 4 . | | . 8 . | 1 . . | . . . | | 3 # 7 | . 9 . | . 6 8 | +-------+-------+-------+Betrachtung der zweiten Spalte erbrachte den nackten Zweier 14 ganz unten, weil dort von den verbleibeben Ziffern 1, 3, 4, 6 und 7 die übrigen bereits in der letzten Zeile vorkommen. Die 4 scheint weniger direkte Auswirkungen zu haben als die 1 und steht damit im Verdacht richtig zu sein. Ich könnte nun diese 4 probieren und hoffen, ans Ziel zu kommen. Schöner aber ist es umgekehrt, die 1 in der Hoffnung zu wählen, schnell auf einen Widerspruch zu stoßen, um so den Eindruck zu erwecken, ich hätte nicht geraten, sondern nur über eine Kette von hoffentlich wenigen Folgerungen die 1 ausgeschlossen.
+-------+-------+-------+ | . . . | 8 . . | 9 . 6 | | 8 9 . | 6 . . | . . 2 | | 6 . . | 7 . 9 | . 8 5 | +-------+-------+-------+ | . . 6 | 9 . 4 | 3 . . | | 4 2 . | . . 6 | 8 . . | | . 5 . | . . 7 | 6 . 4 | +-------+-------+-------+ | . 6 . | . 7 8 | . 4 . | | . 8 . | 1 6 . | . . . | | 3 1 7 | . 9 . | . 6 8 | +-------+-------+-------+Nach 1J2 (fett) bleiben in Spalte 2 nur noch 3, 4, 6 und 7, von denen alle bis auf die rote 6 bei G2 ausscheiden. Wäre dem nicht so, hätte ich nicht 1J2, sondern gleich 6G2 angenommen, denn in der Folge fallen alle Sechsen (blau) in der Reihenfolge H5, B4, A9, F7 und D3.
+-------+-------+-------+ | . . . | 8 . . | 9 . 6 | | 8 9 . | 6 . . | . . 2 | | 6 . . | 7 . 9 | . 8 5 | +-------+-------+-------+ | 1 7 6 | 9 . 4 | 3 . 1 | | 4 2 . | . . 6 | 8 . . | | . 5 . | . . 7 | 6 . 4 | +-------+-------+-------+ | . 6 . | . 7 8 | . 4 . | | . 8 . | 1 6 . | . . . | | 3 1 7 | . 9 . | . 6 8 | +-------+-------+-------+Fortgesetzte Betrachtung der zweiten Spalte liefert eine 7 bei D2, weil die noch übrigen 3 und 4 in der vierten Zeile schon vergeben sind. Sodann sind darin nur noch 1, 2, 5 und 8 zu möglich, was ohne vom 2/5-Paar etwas zu wissen eine 1 sowohl ganz links als auch ganz rechts erzwingt (blau), wo 2, 5 und 8 ausscheiden. Damit ist überraschend schnell ein Widerspruch gefunden, und 4J2 ist richtig.
+-------+-------+-------+ | . . 4 | 8 . . | 9 . 6 | | 8 9 . | 4 6 . | . . 2 | | 6 . . | 7 . 9 | 4 8 5 | +-------+-------+-------+ | . 6 . | 9 . 4 | 3 . . | | 4 2 . | . . 6 | 8 . . | | . 5 . | . . 7 | 6 . 4 | +-------+-------+-------+ | . . . | 6 7 8 | . 4 . | | . 8 6 | 1 4 . | . . . |* | 3 4 7 | . 9 . | . 6 8 | +-------+-------+-------+Zunächst fallen alle Vieren (rot). Danach kann die 6 in Spalte 4 nur bei G4 stehen, was alle Sechsen auflöst (blau). Der Rest ist einfach.
[1] ...8..9..89......26..7.9..5...9.43..42...68...5......4....78.4..8.1.....3.7....6.
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schluesselkind,
27.09.2006 22:33
"Ein gewisses Suchtpotential steckt schon in den Sudoku-Rätseln."
Herr Wuerg, da scheint es Sie ja tatsächlich ganz schön gepackt zu haben.
Herr Wuerg, da scheint es Sie ja tatsächlich ganz schön gepackt zu haben.
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wuerg,
28.09.2006 01:44
Das wird sich wieder normalisieren, wie ich „Die Siedler IV“ und „Fritz 6“ nach einer Weile zur Seite gelegt und nie wieder begonnen habe. Zwar löse ich beim Fernsehen für die Geläufigkeit gerne ein paar Rätsel, doch trage ich noch kein Heft mit mir herum. Auch werde ich in meinem Alter kein Sudoku-Meister mehr. Ich möchte nur einmal erahnen können, worin die hohe Kunst besteht. Und meine langsamen Fortschritte schreibe ich hier auf. Damit ist es bewältigt.
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wuerg,
30.10.2024 18:58
Vor 18 Jahren meinte ich in meinem vorangehenden Kommentar, das dort erwähnte Sudoku nicht mit Einern, Zweiern und Paaren lösen zu können, weshalb ich zu einer Fallunterscheidung griff. Ob das Programm es gekonnt hätte, vermochte ich nicht zu sagen, denn es griff zu Tripeln, bevor alle Konsequenzen aus Zweiern gezogen waren. Nunmehr aber weiß ich, daß man mit der Suche nach Einern, Zweiern und Paaren nicht weiter als
Und obwohl man die nackten Zweier im Gesamtdiagramm aller Kandidaten leicht erkennen kann (was auch der Grund ist, weshalb Programme sich vorzugsweise auf sie stürzen), hier noch einmal eine kompakte Übersicht:
1. Der Computer sieht sofort das nackte Tripel 146 im Block unten links mit 259 in den übrigen drei freien Feldern als Folge. Dadurch werden dort die beiden verbliebenen Einsen zu einem Zweier, der nach oben ausstrahlt. Es folgt 3C2 nebst 2C5 und 1C3. Nun löst sich das 2/5‑Paar in Zeile D auf, und der Rest ist einfache Ausfüllerei. Wer nun meint anhand des vorangehenden Diagramms auch ohne das nackte Tripel die beiden Einsen gesehen zu haben, möge nochmals genau nachdenken, denn die beiden Einsen der zweiten Spalte bilden erst dann einen Zweier, wenn sie in allen übrigen Feldern des Blockes unten links gestrichen sind, so simpel einem Menschen die Überlegung auch vorkommen mag, wenn er 16–14–46 über Eck sieht.
2. Profis, die sich gerne über eine Stunde an sehr schwierigen handgefertigten Sudokus erfreuen, vermuten zurecht eine vom Konstrukteur vorgesehene Hauptschwierigkeit, an der sie sich nicht mit kleinteiligen Überlegungen vorbeimogeln können, und suchen schon vorzeitig eine Kombination zu ihrer Überwindung. Zwar gehört das vorliegende Sudoku nicht in diese Meisterklasse, doch könnte ein solchen Profi schnell bemerken, daß die Sechs recht viele versteckte Zweier über das ganze Feld hinweg aufweist, wodurch evtl. mehr möglich ist, als in lokalem Kleinklein. Im Diagramm mit den Kreuzen zur Ziffer 6 kann man die versteckten Zweier gut sehen, sie mit zwei Farben (rot und grün) weitgehend ausfüllen und sehen: Stünde die 6 bei rot, so wäre in Spalte 4 keine 6 möglich, da die gelben Positionen entfielen. Also stehen in den grünen Feldern die Sechsen. Betrachtung der zweiten Spalte läßt nun die nackte 1 bei G2 auffliegen und das ganze Sudoku wird aufgerollt, ohne das nackte Tripel 146 sehen oder gar ausnutzen zu müssen.
3. Ich hatte zu einer Fallunterscheidung zwischen 1 und 4 im Feld J2 gegriffen. Die sind zwar verpönt, doch ist die vorgenannte Färbung der Sechsen ja auch eine. Außerdem konnte ich die 1 schnell zu einem Widerspruch führen, der ebenfalls über die Sechsen lief. Sodann rollte die Alternative 4F2 das ganze Sudoku auf. Und obwohl ich diesen Kommentar-Kommentar mit der Selbstkritik begann, vor 18 Jahren nicht alle Paare und Zweier gefunden zu haben, so muß ich mich doch dergestalt loben, die nackte 14 in J2 schnell gefunden zu haben und so auf dem Lösungsweg gar keine Paare als solche habe erkennen müssen. Es war ein schneller Weg, der mir viel Mühsal kleinteiligen Vorgehens ersparte.
+-------+-------+-------+ +-------+-------+-------+ +-------+-------+-------+ | 2 | 3 | 2 | | | 2 3 | 1 2 | | | 1 3 | 1 | | 5 | 4 | 4 5 | | | 4 5 6 | 5 | | | | 6 | | 7 | 7 | | | 8 | | | | 9 | | | +-------+-------+-------+ +-------+-------+-------+ +-------+-------+-------+ | | | | | | 3 | 1 | | | 1 3 | 2 | | | | 4 5 | | 4 5 6 | 4 5 6 | 5 | | 6 | | | | 8 | 9 | | | | | | | 7 | 7 | | +-------+-------+-------+ +-------+-------+-------+ +-------+-------+-------+ | | 1 3 | 1 2 | | | 2 3 | | | | | | | 6 | | | | | | | | 4 | | 5 | | | | | | 7 | | 9 | | | 8 | | +-------+-------+-------+ +-------+-------+-------+ +-------+-------+-------+ +-------+-------+-------+ +-------+-------+-------+ +-------+-------+-------+ | 1 | 1 | | | | 2 | | | 3 | 2 | 1 | | | 6 | | | | 5 | 4 | | | 5 | 6 | | 7 | 7 | 8 | | 9 | | | | | | | +-------+-------+-------+ +-------+-------+-------+ +-------+-------+-------+ | | 2 | 3 | | 3 | 1 | | | | | | | 4 | | | | 5 | | 6 | | | 5 | | | | | 9 | | | | | | 8 | 7 9 | 7 9 | +-------+-------+-------+ +-------+-------+-------+ +-------+-------+-------+ | 1 | | 1 3 | | 2 3 | | | | 2 | 1 2 | | | | 5 | 6 | | | | | | 6 | | 4 | | 9 | | 9 | | | 8 | 7 | | | 9 | | +-------+-------+-------+ +-------+-------+-------+ +-------+-------+-------+ +-------+-------+-------+ +-------+-------+-------+ +-------+-------+-------+ | 1 2 | 1 | 1 2 | | 2 | | | | 1 2 | | 3 | | 5 | 6 | 5 6 | | 5 6 | | | | 5 | 4 | | | 9 | | 9 | | | 7 | 8 | | | | | +-------+-------+-------+ +-------+-------+-------+ +-------+-------+-------+ | 2 | | | | 1 | | 3 | | 2 | 2 | | | 5 | | 4 6 | | | 4 6 | | | 5 | | | | | 8 | | | | | | | 7 | 7 9 | 7 9 | +-------+-------+-------+ +-------+-------+-------+ +-------+-------+-------+ | 3 | 1 | | | 2 | | 2 | | 1 2 | | | | | 4 | | | 4 5 | | 5 | | 5 | 6 | | | | | 7 | | | 9 | | | | | 8 | +-------+-------+-------+ +-------+-------+-------+ +-------+-------+-------+kommt. Das ist das übliche Diagramm der noch möglichen Kandidaten. Bereits gefundene Ziffern sind fett dargestellt. Paare blau und die übrigen nackten Zweier rot. Zur Überprüfung kann man zunächst schauen, ob die fetten Einer in ihrem Block, ihrer Zeile und ihrer Spalte gestrichen sind. Sodann, ob die vier blauen Paare in ihrer Zeile bzw. Spalte entfernt sind. Die roten Zweier sind vereinzelt und haben keine Konsequenzen. Bleiben die versteckten Zweier. Wer sie überprüfen möchte, kann sie in Blöcken suchen und schauen, ob sie in andere Gebiete ausstrahlen. Das möchte ich dem geneigten Leser dadurch erleichtern, daß ich zu jeder Ziffer n ein Diagramm zeige, in dem n steht, wo sie bereits gefunden wurde. Ein X markiert alle dadurch nicht mehr möglichen Felder und solche, die durch eine andere Ziffer belegt sind. Hinzu kommt ein O, wo n aus anderen Gründen ausgeschieden ist.
+-------+-------+-------+ +-------+-------+-------+ +-------+-------+-------+ | O O O | X X . | X . . | | . X . | X . . | X X X | | X . O | X . X | X . X | | X X O | X X . | O . X | | X X X | X X X | X X 2 | | X X O | O . X | X . X | | X . . | X X X | X X X | | X X . | X . X | X X X | | X . O | X . X | X X X | +-------+-------+-------+ +-------+-------+-------+ +-------+-------+-------+ | . . X | X X X | X O . | | X X X | X . X | X . X | | X X X | X X X | 3 X X | | X X X | X 1 X | X X X | | X 2 X | X X X | X X X | | X X . | . X X | X X X | | . X . | X X X | O . X | | X X X | . X X | . . X | | X X . | . X X | X X X | +-------+-------+-------+ +-------+-------+-------+ +-------+-------+-------+ | . . . | X X X | . X X | | . X . | . X X | . X X | | X X X | X X X | X X 3 | | X X X | 1 X X | X X X | | . X O | X O X | . . X | | X X X | X X 3 | X X X | | X . X | X X X | . X X | | X X X | . X . | . X X | | 3 X X | X X X | X X X | +-------+-------+-------+ +-------+-------+-------+ +-------+-------+-------+ +-------+-------+-------+ +-------+-------+-------+ +-------+-------+-------+ | X . . | X . X | X X X | | . X . | X . . | X X X | | X X X | X . X | X X . | | X X . | . . X | X X X | | X X . | . . . | X X X | | X X X | . . X | . X X | | X X X | X X X | 4 X X | | X X X | X X X | X X 5 | | 6 X X | X X X | X X X | +-------+-------+-------+ +-------+-------+-------+ +-------+-------+-------+ | X X X | X X 4 | X X X | | X X X | X . X | X . X | | X . X | X X X | X X . | | 4 X X | X X X | X X X | | X X X | . X X | X . X | | X X X | X X 6 | X X X | | X X X | X X X | X X 4 | | X 5 X | X X X | X X X | | X X . | X X X | . X X | +-------+-------+-------+ +-------+-------+-------+ +-------+-------+-------+ | X X X | X X X | X 4 X | | . X . | . X X | . X X | | X . . | . X X | X X X | | X X . | X . X | X X X | | . X O | X O X | . O X | | X X . | X . X | X X X | | X . X | . X X | X X X | | X X X | . X . | . X X | | X X X | X X X | X 6 X | +-------+-------+-------+ +-------+-------+-------+ +-------+-------+-------+ +-------+-------+-------+ +-------+-------+-------+ +-------+-------+-------+ | . . X | X X X | X O O | | X X X | 8 X X | X X X | | X X X | X X X | 9 X X | | X X X | X X X | . . X | | 8 X X | X X X | X X X | | X 9 X | X X X | X X X | | X X X | 7 X X | X X X | | X X X | X X X | X 8 X | | X X X | X X 9 | X X X | +-------+-------+-------+ +-------+-------+-------+ +-------+-------+-------+ | . . X | X X X | X O O | | X X 8 | X X X | X X X | | X X X | 9 X X | X X X | | X X X | X X X | X . . | | X X X | X X X | 8 X X | | X X . | X X X | X . . | | X X X | X X 7 | X X X | | X X X | X 8 X | X X X | | . X . | X X X | X . X | +-------+-------+-------+ +-------+-------+-------+ +-------+-------+-------+ | X X X | X 7 X | X X X | | X X X | X X 8 | X X X | | . X . | X X X | X X X | | X X X | X X X | . . . | | X 8 X | X X X | X X X | | O X O | X X X | X . . | | X X 7 | X X X | X X X | | X X X | X X X | X X 8 | | X X X | X 9 X | X X X | +-------+-------+-------+ +-------+-------+-------+ +-------+-------+-------+Wo in einem Block nur noch zwei freie Felder (Punkte) bleiben und sie in einer gemeinsamen Zeile oder Spalte stehen (pointing pair) sind alle Felder bereits ausgescheiden. So die Diagramme korrekt sind, gibt es also keine direkten Konsequenzen aus versteckten Zweiern mehr.
Und obwohl man die nackten Zweier im Gesamtdiagramm aller Kandidaten leicht erkennen kann (was auch der Grund ist, weshalb Programme sich vorzugsweise auf sie stürzen), hier noch einmal eine kompakte Übersicht:
+----------+----------+----------+ | . . . | 8 . . | 9 13 16 | | 8 9 45 | . . 15 | 67 . 2 | | 6 13 12 | 7 23 9 | 4 8 5 | +----------+----------+----------+ | 17 . 8 | 9 25 4 | 3 25 16 | | 4 2 39 | 35 1 6 | 8 . 79 | | 19 5 . | 23 8 7 | 26 . 4 | +----------+----------+----------+ | . 16 . | . 7 8 | . 4 3 | | 25 8 46 | 1 46 3 | . . 79 | | 3 14 7 | . 9 25 | . 6 8 | +----------+----------+----------+Nach dieser langen Vorrede und Schilderung der Situation, in der man stecken bleibt, wenn nur Einer, Zweier und Paare gesucht werden, nun die Frage: Wie geht es weiter? Ich sehe mindestens drei Möglichkeiten:
1. Der Computer sieht sofort das nackte Tripel 146 im Block unten links mit 259 in den übrigen drei freien Feldern als Folge. Dadurch werden dort die beiden verbliebenen Einsen zu einem Zweier, der nach oben ausstrahlt. Es folgt 3C2 nebst 2C5 und 1C3. Nun löst sich das 2/5‑Paar in Zeile D auf, und der Rest ist einfache Ausfüllerei. Wer nun meint anhand des vorangehenden Diagramms auch ohne das nackte Tripel die beiden Einsen gesehen zu haben, möge nochmals genau nachdenken, denn die beiden Einsen der zweiten Spalte bilden erst dann einen Zweier, wenn sie in allen übrigen Feldern des Blockes unten links gestrichen sind, so simpel einem Menschen die Überlegung auch vorkommen mag, wenn er 16–14–46 über Eck sieht.
2. Profis, die sich gerne über eine Stunde an sehr schwierigen handgefertigten Sudokus erfreuen, vermuten zurecht eine vom Konstrukteur vorgesehene Hauptschwierigkeit, an der sie sich nicht mit kleinteiligen Überlegungen vorbeimogeln können, und suchen schon vorzeitig eine Kombination zu ihrer Überwindung. Zwar gehört das vorliegende Sudoku nicht in diese Meisterklasse, doch könnte ein solchen Profi schnell bemerken, daß die Sechs recht viele versteckte Zweier über das ganze Feld hinweg aufweist, wodurch evtl. mehr möglich ist, als in lokalem Kleinklein. Im Diagramm mit den Kreuzen zur Ziffer 6 kann man die versteckten Zweier gut sehen, sie mit zwei Farben (rot und grün) weitgehend ausfüllen und sehen: Stünde die 6 bei rot, so wäre in Spalte 4 keine 6 möglich, da die gelben Positionen entfielen. Also stehen in den grünen Feldern die Sechsen. Betrachtung der zweiten Spalte läßt nun die nackte 1 bei G2 auffliegen und das ganze Sudoku wird aufgerollt, ohne das nackte Tripel 146 sehen oder gar ausnutzen zu müssen.
3. Ich hatte zu einer Fallunterscheidung zwischen 1 und 4 im Feld J2 gegriffen. Die sind zwar verpönt, doch ist die vorgenannte Färbung der Sechsen ja auch eine. Außerdem konnte ich die 1 schnell zu einem Widerspruch führen, der ebenfalls über die Sechsen lief. Sodann rollte die Alternative 4F2 das ganze Sudoku auf. Und obwohl ich diesen Kommentar-Kommentar mit der Selbstkritik begann, vor 18 Jahren nicht alle Paare und Zweier gefunden zu haben, so muß ich mich doch dergestalt loben, die nackte 14 in J2 schnell gefunden zu haben und so auf dem Lösungsweg gar keine Paare als solche habe erkennen müssen. Es war ein schneller Weg, der mir viel Mühsal kleinteiligen Vorgehens ersparte.
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