Zahlwort

In den letzten Tagen begegneten mir Sudoku, in denen ich mit der Suche nach Einern nicht zum Ziel kam, die ich nur durch weiter­gehende Über­legungen lösen konnte. Und damit meine ich nicht so einfache Kombina­tionen wie in diesem Diagramm:

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┃ 1 │ 2 │ ⋅ ┃   │   │   ┃ 4 │ 5 │ 6 ┃
┠───┼───┼───╂───┼───┼───╂───┼───┼───┨
┃   │   │   ┃   │   │   ┃   │   │   ┃
┠───┼───┼───╂───┼───┼───╂───┼───┼───┨
┃   │   │   ┃   │   │ 3 ┃   │   │   ┃
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[Da hier Tabllen nicht mehr dargestellt werden, habe ich Diagramme mit Unicode-Rahmenzeichen erstellt, die immer noch nicht von allen Browsern korrekt dargestellt werden. Die Arbeit mit Bildern erspare ich mir, egal ob scharf und verlinkt oder verwaschen hier eingefügt.]

Im rechten Block kann die 3 weder in der ersten noch der dritten Zeile stehen, muß also in der mitt­leren Platz finden, wodurch die dritte 3 des 3×9‑Strei­fens nicht nur im linken Block, sondern auch in der ersten Zeile stehen muß, wo aber nur noch das mit einem Punkt bezeich­nete Feld bleibt.

Warum ist diese Über­legung zwar neu, aber nicht erfor­derlich? Weil es sich bei der gefun­denen 3 einfach um einen ver­steckten Einer in der ersten Zeile handelt, denn in dreien der vier freien Felder ist die 3 nicht mehr möglich, weil sie im mitt­leren Block bereits vergeben ist. Trotzdem ist die neue Über­legung nicht über­flüssig, weil sie oftmals schneller ins Auge springt, nebenbei abfällt oder ein­facher ist.

Natürlich findet der Computer gerne von mir übersehene Einer. Und so tröstet es mich, daß in diesem Sudoku [1]

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┃   │ 6 │ 7 ┃ 2 │ 5 │   ┃   │   │ 8 ┃
┠───┼───┼───╂───┼───┼───╂───┼───┼───┨
┃   │ 2 │   ┃   │   │   ┃   │   │   ┃
┠───┼───┼───╂───┼───┼───╂───┼───┼───┨
┃   │   │   ┃ 6 │ 1 │   ┃   │ 5 │   ┃
┣━━━┿━━━┿━━━╋━━━┿━━━┿━━━╋━━━┿━━━┿━━━┫
┃ 3 │   │   ┃   │   │   ┃   │   │   ┃
┠───┼───┼───╂───┼───┼───╂───┼───┼───┨
┃ 2 │   │ 4 ┃   │   │ 5 ┃ 8 │ 1 │   ┃
┠───┼───┼───╂───┼───┼───╂───┼───┼───┨
┃   │   │   ┃ 8 │   │   ┃ 4 │ 3 │   ┃
┣━━━┿━━━┿━━━╋━━━┿━━━┿━━━╋━━━┿━━━┿━━━┫
┃   │ 3 │ 2 ┃   │   │ 8 ┃ 9 │   │   ┃
┠───┼───┼───╂───┼───┼───╂───┼───┼───┨
┃ 7 │   │ 1 ┃   │ 2 │   ┃   │   │ 5 ┃
┠───┼───┼───╂───┼───┼───╂───┼───┼───┨
┃   │   │   ┃   │ 6 │   ┃ 3 │   │   ┃
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ein fast mensch­lich vorge­hendes Pro­gramm [2], das eben­falls zunächst nach Einern sucht, an der gleichen Stelle ins Grübeln kam wie ich:

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┃   │ 6 │ 7 ┃ 2 │ 5 │ 3 ┃ 1 │   │ 8 ┃
┠───┼───┼───╂───┼───┼───╂───┼───┼───┨
┃ 1 │ 2 │ 5 ┃   │ 8 │   ┃ 7 │ 6 │ 3 ┃
┠───┼───┼───╂───┼───┼───╂───┼───┼───┨
┃   │   │ 3 ┃ 6 │ 1 │ 7 ┃ 2 │ 5 │   ┃
┣━━━┿━━━┿━━━╋━━━┿━━━┿━━━╋━━━┿━━━┿━━━┫
┃ 3 │   │   ┃   │   │   ┃ 5 │   │   ┃
┠───┼───┼───╂───┼───┼───╂───┼───┼───┨
┃ 2 │   │ 4 ┃   │ 3 │ 5 ┃ 8 │ 1 │ 6 ┃
┠───┼───┼───╂───┼───┼───╂───┼───┼───┨
┃   │   │   ┃ 8 │   │   ┃ 4 │ 3 │   ┃
┣━━━┿━━━┿━━━╋━━━┿━━━┿━━━╋━━━┿━━━┿━━━┫
┃ 6 │ 3 │ 2 ┃ 5 │   │ 8 ┃ 9 │   │   ┃
┠───┼───┼───╂───┼───┼───╂───┼───┼───┨
┃ 7 │   │ 1 ┃ 3 │ 2 │   ┃ 6 │   │ 5 ┃
┠───┼───┼───╂───┼───┼───╂───┼───┼───┨
┃   │   │   ┃   │ 6 │   ┃ 3 │   │   ┃
┗━━━┷━━━┷━━━┻━━━┷━━━┷━━━┻━━━┷━━━┷━━━┛

Irgendwann hätte ich eine Fort­setzung gefunden, und sei es durch Fall­unter­schei­dung, habe aber aufge­geben, weil ich unbe­dingt wissen wollte, ob der Computer an dieser Stelle weitere Einer findet. Das war nicht der Fall, weshalb er zu nackten Paaren über­ging. Das sind zwei Felder in einer Zeile, Spalte oder einem Block, in dem nur zwei Ziffern möglich sind, und zwar in beiden Feldern die gleichen. Von diesen nackten Paaren fand er zwei. Zum einen 4/9 in den Zeilen 2 und 8 der Spalte 6 mit einer nackten 1 als Konsequenz. Zum anderen 7/9 an den Posi­tio­nen 4 und 8 des mittleren Blockes, woraus sich darin eine nackte 4 ergibt.

┏━━━┯━━━┯━━━┳━━━┯━━━┯━━━┳━━━┯━━━┯━━━┓
┃   │ 6 │ 7 ┃ 2 │ 5 │ 3 ┃ 1 │   │ 8 ┃
┠───┼───┼───╂───┼───┼───╂───┼───┼───┨
┃ 1 │ 2 │ 5 ┃   │ 8 │4/9┃ 7 │ 6 │ 3 ┃
┠───┼───┼───╂───┼───┼───╂───┼───┼───┨
┃   │   │ 3 ┃ 6 │ 1 │ 7 ┃ 2 │ 5 │   ┃
┣━━━┿━━━┿━━━╋━━━┿━━━┿━━━╋━━━┿━━━┿━━━┫
┃ 3 │   │   ┃   │ 4 │   ┃ 5 │   │   ┃
┠───┼───┼───╂───┼───┼───╂───┼───┼───┨
┃ 2 │   │ 4 ┃7/9│ 3 │ 5 ┃ 8 │ 1 │ 6 ┃
┠───┼───┼───╂───┼───┼───╂───┼───┼───┨
┃   │   │   ┃ 8 │7/9│   ┃ 4 │ 3 │   ┃
┣━━━┿━━━┿━━━╋━━━┿━━━┿━━━╋━━━┿━━━┿━━━┫
┃ 6 │ 3 │ 2 ┃ 5 │   │ 8 ┃ 9 │   │   ┃
┠───┼───┼───╂───┼───┼───╂───┼───┼───┨
┃ 7 │   │ 1 ┃ 3 │ 2 │4/9┃ 6 │   │ 5 ┃
┠───┼───┼───╂───┼───┼───╂───┼───┼───┨
┃   │   │   ┃   │ 6 │ 1 ┃ 3 │   │   ┃
┗━━━┷━━━┷━━━┻━━━┷━━━┷━━━┻━━━┷━━━┷━━━┛

Solche nackten Paare sind für Menschen schwer zu sehen, wenn man nicht buch­halte­risch und leider auch zeit­raubend vorgeht, in den leeren Feldern alle noch mögli­chen Ziffern notiert und sich sodann anschaut, in welchen nur noch zwei stehen. Ist es das gleiche Paar innerhalb einer Zeile, Spalte oder einem Block, so hat man dieses nackte Paar gefunden, woraufhin in dieser Zeile, Spalte oder diesem Block an anderen Stellen diese beiden Ziffern gestri­chen werden können.

Hätte ich nicht zum Zwecke der Analyse an dieser Stelle den Computer bemüht, würde ich eher ein ver­stecktes Paar gesucht haben. Das sind zwei Ziffern, die in einer Zeile, Spalte oder in einem Block genau zweimal vorkommen, und zwar in den gleichen beiden Feldern. Da darin neben diesen zwei Ziffern in der Regel noch weitere möglich sind (sonst wäre es zugleich ein nacktes Paar), werden sie über die Buch­halter­methode nur schwer gesehen. Deshalb empfielt es sich, vorzugs­weise in stark besetz­ten Zeilen, Spalten oder Blöcke nach fehlen­den Ziffern in der Hoff­nung zu schauen, daß sie bis auf zwei in allen Feldern aus­scheiden. Das liefert kein Paar, aber einen Zweier, also einzelne Ziffern in nur zwei Feldern. Auch wenn man sich nur solche innerhalb eines Blockes merkt, so geschieht es doch häufig, daß ein weiterer Zweier für die gleichen Felder entdeckt wird und so ein Paar entsteht.

Langer Rede kurzer Sinn: Mir hätte auffallen können, daß 2 und 6 in Spalte 4 des Blockes 2 und auch in der Spalte 5 des Blockes 8 stehen, weshalb ihnen im Block 5 nur die 6. Spalte bleibt. Eines dieser drei Felder ist besetzt, weshalb das ver­steckte Paar 2/6 in den beiden verblei­benden stehen muß.

┏━━━┯━━━┯━━━┳━━━┯━━━┯━━━┳━━━┯━━━┯━━━┓
┃   │ 6 │ 7 ┃ 2 │ 5 │ 3 ┃ 1 │   │ 8 ┃
┠───┼───┼───╂───┼───┼───╂───┼───┼───┨
┃ 1 │ 2 │ 5 ┃   │ 8 │   ┃ 7 │ 6 │ 3 ┃
┠───┼───┼───╂───┼───┼───╂───┼───┼───┨
┃   │   │ 3 ┃ 6 │ 1 │ 7 ┃ 2 │ 5 │   ┃
┣━━━┿━━━┿━━━╋━━━┿━━━┿━━━╋━━━┿━━━┿━━━┫
┃ 3 │   │   ┃ 1 │ 4 │2/6┃ 5 │   │   ┃
┠───┼───┼───╂───┼───┼───╂───┼───┼───┨
┃ 2 │ 9 │ 4 ┃ 7 │ 3 │ 5 ┃ 8 │ 1 │ 6 ┃
┠───┼───┼───╂───┼───┼───╂───┼───┼───┨
┃   │   │   ┃ 8 │ 9 │2/6┃ 4 │ 3 │   ┃
┣━━━┿━━━┿━━━╋━━━┿━━━┿━━━╋━━━┿━━━┿━━━┫
┃ 6 │ 3 │ 2 ┃ 5 │ 7 │ 8 ┃ 9 │ 4 │ 1 ┃
┠───┼───┼───╂───┼───┼───╂───┼───┼───┨
┃ 7 │   │ 1 ┃ 3 │ 2 │   ┃ 6 │   │ 5 ┃
┠───┼───┼───╂───┼───┼───╂───┼───┼───┨
┃   │   │   ┃   │ 6 │   ┃ 3 │   │   ┃
┗━━━┷━━━┷━━━┻━━━┷━━━┷━━━┻━━━┷━━━┷━━━┛

Sofort ergibt sich erst die ver­steckte 1, danach die ver­steckte 4 im mittleren Block, gefolgt von der ver­steckten 9 in Spalte 5. Im Anschluß purzeln die roten Siebener. Damit ist das 7/9‑Paar im mitt­leren Block aufge­löst, ohne es vorher als nacktes Paar bemerkt zu haben. Und wegen 1 und 4 in Zeile 7 fallen alle Vieren und Neunen des gesamten Dia­gramms. Die zahl­reichen 4/9‑Paare [3] sind also ebenfalls aufge­löst, ohne sie zuvor gesehen haben zu müssen.

Bleibt nur noch eine Frage zu klären: Wie finde ich das 2/6‑Paar, zumal ich doch nicht ohne weite­res sehe, daß 2 und 6 in den Spalten 4 und 5 bereits im oberen und im unteren Block vor­kommen? Die Antwort ist einfach: Es wird eine Ziffer nach der anderen betrach­tet, und es werden (im Geiste) alle Zeilen, Spalten und Blöcke geschwärzt, in denen diese Ziffer steht, zusätz­lich auch alle bereits beleg­ten Felder. Bleibt ein ein­zelnes weißes Feld in einer Zeile, Spalte oder Block, ist an dieser Stelle ein Einer gefunden. Dort wird die ausge­wählte Ziffer notiert und sodann weiter geschwärzt. Dieser Prozeß wird wieder­holt, bis keine Einer mehr gefun­den werden. Ver­bleiben danach aber in einer Zeile, Spalte oder einem Block nur zwei weiße Felder, handelt es sich um einen Zweier und alle Felder dieser Zeile, Spalte bzw. dieses Blockes können geschwärzt werden. Im Glücks­falle sind dadurch weitere Einer zu finden. Auch diese Zweier werden in das Sudoku eingetragen, sofern sie in einem gemeinsamen Block liegen. [4]

Normalerweise gehe ich stur alle Ziffern von 1 bis 9 durch, beginne auch teil­weise wieder von vorne, wenn es erfolg­verspre­chend aussieht. Das hier betrach­tete Sudoku sieht nach Abar­beitung der Ziffern 1 bis 6 wie folgt aus:

┏━━━┯━━━┯━━━┳━━━┯━━━┯━━━┳━━━┯━━━┯━━━┓
┃   │ 6 │ 7 ┃ 2 │ 5 │ 3 ┃   │   │ 8 ┃
┠─1─┼───┼───╂───┼───┼───╂─1─┼───┼───┨
┃  5┼─2─┼5  ┃   │   │   ┃   6   │   ┃
┠───┼───┼─3─╂───┼───┼───╂───┼───┼─3─┨
┃   │   │   ┃ 6 │ 1 │   ┃  2┼─5─┼2  ┃
┣━━━┿━━━┿━━━╋━━━┿━━━┿━━━╋━━━┿━━━┿━━━┫
┃ 3 │  1│  6┃   │   │2 6┃ 5 │   │   ┃
┠───┼──┼┼──┼╂───┼───┼┼─┼╂───┼───┼───┨
┃ 2 │  ││ 4│┃   │ 3 ││5│┃ 8 │ 1 │ 6 ┃
┠───┼──┼┼──┼╂───┼───┼┼─┼╂───┼───┼───┨
┃   │  1│  6┃ 8 │   │2 6┃ 4 │ 3 │   ┃
┣━━━┿━━━┿━━━╋━━━┿━━━┿━━━╋━━━┿━━━┿━━━┫
┃ 6 │ 3 │ 2 ┃ 5 │   │ 8 ┃ 9 │   │  1┃
┠───┼───┼───╂───┼───┼───╂───┼───┼──┼┨
┃ 7 │   │ 1 ┃ 3 │ 2 │   ┃   6   │ 5│┃
┠───┼───┼───╂───┼───┼───╂───┼───┼──┼┨
┃   │   │   ┃   │ 6 │   ┃ 3 │   2  1┃
┗━━━┷━━━┷━━━┻━━━┷━━━┷━━━┻━━━┷━━━┷━━━┛

Normalerweise würde ich auch die verblei­benden Ziffern 7 bis 9 auf Einer und Zweier über­prüfen. Dadurch aber würde mein Bild über­laden, und es ist auch nicht erfor­derlich, denn nunmehr ist im mitt­leren Block ein Paar gefun­den, das die 1 und dann die 4 ihren Platz darin zuweist. Die rest­lichen beiden bilden ein 7/9‑Paar, das aber gar nicht beachtet werden muß, denn nun kommt man wie zuvor bereits dar­gelegt mit Einern ans Ziel.

[1] .6725...8.2..........61..5.3........2.4..581....8..43..32..89..7.1.2...5....6.3..

[2] Andrew Stuart: Sudoku Solver.

[3] Wenn in einem Feld nur noch zwei Ziffern möglich sind, so ist es nur ein nackter Zweier, wird aber auch dann als Paar bezeichnet, wenn in dessen Zeile, Spalte und Block kein weiterer solcher Zweier zu sehen ist.

[4] Wenn die beiden Felder eines Zweiers sich berühren, schreibe ich die Ziffer auf die gemeinsame Kante bzw. Ecke. Ansonsten zeichne ich eine Verbindungslinie und beschrifte sie mit der Ziffer des Zweiers. Am Compter werden solche Zweier (oder auch Dreier) gerne in eine Ecke der Felder geschrieben, weshalb sie zur eindeutigen Interpretation alle in einem Block liegen müssen. Auch ich verzichte fast immer auf blockübergreifende Verbindungen, da sie normalerweise auch nicht viel bringen.

Anfang | Einer | Raster | Stufen

Nun kann ich stolz vermelden, nach langem Nach­denken ein Sudoku gelöst zu haben, dem mit den bisher von mir darge­stellten Methoden nicht beizu­kommen ist:

+-------+-------+-------+
| . . . | 8 . . | 9 . . |
| 8 9 . | . . . | . . 2 |
| 6 . . | 7 . 9 | . . 5 |
+-------+-------+-------+
| . . . | 9 . 4 | 3 . . |
| 4 2 . | . . 6 | 8 . . | [1]
| . 5 . | . . . | . . 4 |
+-------+-------+-------+
| . . . | . 7 8 | . 4 . |
| . 8 . | 1 . . | . . . |
| 3 . 7 | . . . | . 6 . |
+-------+-------+-------+

Schon nach vier ergänzten Ziffern finde ich keine Einer und keine Paare mehr, weder nackte noch versteckte:

+-------+-------+-------+
| . . . | 8 . . | 9 . . |
| 8 9 . | . . . | . . 2 |
| 6 . . | 7 . 9 | . 8 5 |
+-------+-------+-------+
| . . . | 9 . 4 | 3 . . |
| 4 2 . | . . 6 | 8 . . | [2]
| . 5 . | . . 7 | . . 4 |
+-------+-------+-------+
| . . . | . 7 8 | . 4 . |
| . 8 . | 1 . . | . . . |
| 3 . 7 | . 9 . | . 6 8 |
+-------+-------+-------+

Zu meiner Freude konnte ich hinterher feststellen, daß auch der Computer die gleichen vier Ziffern fand und danach ebenfalls keine Einer oder Paare mehr. Was machen Mensch und Computer in einer solchen Situation?

Eigentlich liegt es auf der Hand. Sie geben sich mit weniger zufrieden. Und was ist weniger? Zum einen die Suche nach nackten oder versteckten Tripeln statt Paaren und Einern. Ein nacktes Tripel bezieht sich auf drei Felder, in denen nur drei gemeinsame Ziffern möglich sind. Ein verstecktes Tripel wird aus drei Ziffern gebildet, die nur in drei gemeinsamen Felder vorkommen können.

In beiden Fällen hat man hinterher grundsätzlich das gleiche erreicht wie mit den Einern und Paaren: Die n=4,...,9 freien Felder sind aufgespalten in ein Tripel und ein (n-3)-Tupel. Etwas allgemeiner: Findet man unter den n=1,...,9 freien Feldern ein nacktes oder verstecktes m-Tupel, so bilden die restlichen n-m Felder ein verstecktes oder nacktes (m-n)-Tupel. Die Suche nach Tripel lohnt sich also erst bei mindestens 6 freien Feldern. Es sei denn, man sucht lieber versteckte Tripel als nackte Paare.

Ich habe das nackte Tripel nicht gefunden, aber der Computer sieht es sofort in der vierten Zeile. Die mit # gekennzeichneten Felder können nur die Ziffern 1, 6 und 7 enthalten, die in den übrigen Feldern der vierten Zeile als Kandidaten gestrichen werden können. Daß die fehlenden drei Ziffern 2, 5 und 8 nur in den drei verbliebenen Feldern der vierten Zeile vorkommen und so einen verstecktes Tripel bilden, interessiert ihn nicht, denn nunmehr ist in der dritten Postion der vierten Zeile bereits ein Einer entstanden. Dort muß eine 8 stehen:

+-------+-------+-------+
| . . . | 8 . . | 9 . . |
| 8 9 . | . . . | . . 2 |
| 6 . . | 7 . 9 | . 8 5 |
+-------+-------+-------+
| # # 8 | 9 . 4 | 3 . # |
| 4 2 . | . 1 6 | 8 . . |
| . 5 . | . 8 7 | . . 4 |
+-------+-------+-------+
| . . . | . 7 8 | . 4 . |
| . 8 . | 1 . . | . . . |
| 3 . 7 | . 9 . | . 6 8 |
+-------+-------+-------+

Nach diesem nackter Einer (rote 8) hat der Computer es zunächst nicht mehr nötig, nach Tripeln zu sehen. Es folgt die blaue 8. Sie ist ein versteckter Einer in Block, Spalte und Zeile zugleich, denn sie ist die neunte und letzte 8 im ganzen Sudoku. Durch sie entsteht ein versteckter Einer im mittleren Block, nämlich die grüne 1. Danach wird es etwas schwieriger für den Computer, weil keine nackten Paare oder Tripel mehr zu finden sind. So muß er nach versteckten Paaren und Tripeln suchen. Ein verstecktes Paar (P) aus den Ziffern 4 und 6 findet er in Zeile 8 und in der Folge ein verstecktes Tripel (T) aus 2, 5 und 8 im Block unten links:

+-------+-------+-------+
| . . . | 8 . . | 9 . . |
| 8 9 . | . . . | . . 2 |
| 6 . . | 7 . 9 | . 8 5 |
+-------+-------+-------+
| . . 8 | 9 . 4 | 3 . . |
| 4 2 . | . 1 6 | 8 . . |
| . 5 . | . 8 7 | . . 4 |
+-------+-------+-------+
| T . T | . 7 8 | . 4 . |
| T 8 P | 1 P . | . . . |
| 3 . 7 | . 9 . | . 6 8 |
+-------+-------+-------+

Leidenschaftslos nimmt der Computer es hin, daß er zwar ein paar Möglichkeiten streichen konnte, jedoch direkt um keine einzige Ziffer vorankommt. In dieser Situation macht er das, was ein Mensch auch tun würde, wenn er keine Paare findet und auf Tripel und Quadrupel keine Lust hat. Man beschränkt sich auf halbe Paare, die ich einfach Zweier nennen möchte. Ein nackter Zweier bezieht sich auf ein Feld, in dem nur zwei verschiedene Ziffern möglich sind. Ein versteckter Zweier besteht aus einer Ziffer, die nur in zwei verschiedenen Feldern vorkommen kann.

Ich suche gerne solche versteckten Zweier aus einer Ziffer in zwei möglichen Feldern, weil sie mit etwas Glück zu einem versteckten Paar führen und auch für sich allein die eine Ziffer in anderen Feldern ausschließen können. Der Computer findet einen versteckten Zweier mit 7 im linken oberen Block und in dem darunter (S), außerdem 3 im linken und mittleren Block, des weiteren 5 im Block rechts daneben (F) und 1 im Block links unten (E):

+-------+-------+-------+
| S S . | 8 . . | 9 . . |
| 8 9 . | . . . | . . 2 |
| 6 . . | 7 . 9 | . 8 5 |
+-------+-------+-------+
| S S 8 | 9 . 4 | 3 F . |
| 4 2 D | D 1 6 | 8 F . |
| . 5 D | D 8 7 | . . 4 |
+-------+-------+-------+
| . E . | . 7 8 | . 4 3 |
| . 8 . | 1 . 3 | . . . |
| 3 E 7 | . 9 . | . 6 8 |
+-------+-------+-------+

Für den letzten Zweier (E) ist der Grund nicht sofort dem Diagramm zu entnehmen. Der Computer dagegen hat die Folgerungen aus dem Tripel (T) nicht vergessen, daß nämlich in ihm keine 1 vorkommt. Doch wie so oft bei einem guten Sudoku hat man viel gefunden, es kommt aber nichts direkt dabei heraus. Abermals ohne Leidenschaft streicht der Computer unmögliche Ziffern in den Zeilen und Spalten, in welche die versteckten Zweier ausstrahlen, und beginnt von vorne. So findet er die blaue 3 in der siebten Zeile, weil nunmehr auch in Position 3 und 4 keine 3 mehr stehen kann. Dem folgt die blaue 3 in der vorletzten Zeile. Sie ist wieder nicht direkt dem Diagramm zu entnehmen. Doch der Computer hat die Folgen des Paares (P) aus 4 und 6 in dieser Zeile ebenfalls nicht vergessen.

Die Qualität dieses Sudoku zeigt sich durch das Auftreten einer vierten Hürde. Wieder geht es nicht mit Einer, Paaren, Tripeln und Quadrupeln weiter. Erneut müssen Zweier gesucht werden:

+-------+-------+-------+
| . . . | 8 . . | 9 . . |
| 8 9 . | . . . | . . 2 |
| 6 3 . | 7 . 9 | 4 8 5 |
+-------+-------+-------+
| . . 8 | 9 . 4 | 3 . . |
| 4 2 . | . 1 6 | 8 . . |
| . 5 . | . 8 7 | . . 4 |
+-------+-------+-------+
| . . . | . 7 8 | E 4 3 |
| . 8 . | 1 . 3 | . N N |
| 3 . 7 | . 9 . | E 6 8 |
+-------+-------+-------+

Im Block unten rechts gibt es sowohl für die 1 und die 9 jeweils nur zwei Plätze (E und N). Auch sie strahlen wieder in die Zeilen und Spalten aus. So ergibt sich rechts oben die rote 4, wo zuvor auch noch eine 1 möglich gewesen wäre. Es folgt die rote 3 oben links, weil der Computer dort eine 1 wegen des alten Zweiers (E) ausgeschlossen hatte und nun auch die 4 weggefallen ist. Und so geht es ohne Probleme weiter bis zum Ende.

Auf diese Weise zum Ziel zu kommen, hätte mich wohl noch Tage beschäftigt. Ich habe deshalb das gemacht, was ein Computer auch sehr gut kann, nach einer guten Stelle für eine Fallunterscheidung gesucht und sie an der mit # bezeichneten Stelle gefunden.

+-------+-------+-------+
| . . . | 8 . . | 9 . . |
| 8 9 . | . . . | . . 2 |
| 6 . . | 7 . 9 | . 8 5 |
+-------+-------+-------+
| . . . | 9 . 4 | 3 . . |
| 4 2 . | . . 6 | 8 . . | [2]
| . 5 . | . . 7 | . . 4 |
+-------+-------+-------+
| . . . | . 7 8 | . 4 . |
| . 8 . | 1 . . | . . . |
| 3 # 7 | . 9 . | . 6 8 |
+-------+-------+-------+

Dort sind nur noch die Ziffern 1 und 4 möglich sind. In der weiter vorne eingeführten Sprechweise handelt es sich also um einen nackten Zweier. Und hat man einmal die richtige Stelle, so entwickelt sich schnell das Gefühl für die richtige Ziffer, nämlich die mit den geringeren direkten Auswirkungen. Hier ist es die 4. Da man nicht raten soll, auch wenn es zum Ergebnis führt, habe ich zunächst die 1 probiert.

+-------+-------+-------+
| . . . | 8 . . | 9 . 6 |
| 8 9 . | 6 . . | . . 2 |
| 6 . . | 7 . 9 | . 8 5 |
+-------+-------+-------+
| . . 6 | 9 . 4 | 3 . . |
| 4 2 . | . . 6 | 8 . . |
| . 5 . | . . 7 | 6 . 4 |
+-------+-------+-------+
| . 6 . | . 7 8 | . 4 . |
| . 8 . | 1 6 . | . . . |
| 3 1 7 | . 9 . | . 6 8 |
+-------+-------+-------+

Unmittelbare Konsequenz ist die rote 6 (nackter Einer), womit alle übrigen Sechsen (blau) fallen. Im linken mittleren Block ergibt sich zunächst die rote 7, weil andere Ziffern an dieser Position nicht mehr möglich sind.

+-------+-------+-------+
| . . . | 8 . . | 9 . 6 |
| 8 9 . | 6 . . | . . 2 |
| 6 . . | 7 . 9 | . 8 5 |
+-------+-------+-------+
| 1 7 6 | 9 . 4 | 3 . # |
| 4 2 . | . . 6 | 8 . . |
| . 5 . | . . 7 | 6 . 4 |
+-------+-------+-------+
| . 6 . | . 7 8 | . 4 . |
| . 8 . | 1 6 . | . . . |
| 3 1 7 | . 9 . | . 6 8 |
+-------+-------+-------+

Aus dem gleichen Grunde gesellt sich links eine rote 1 hinzu. Und schon ist an der mit # bezeichneten Stelle keine der neun Ziffern mehr möglich. Es gibt also keine Lösung in dieser Variante. Deshalb ist die 1 in der zweiten Postion der letzen Zeile falsch und damit die 4 richtig:

+-------+-------+-------+
| . . . | 8 . . | 9 . . |
| 8 9 . | 4 . . | . . 2 |
| 6 . . | 7 . 9 | . 8 5 |
+-------+-------+-------+
| . . . | 9 . 4 | 3 . . |
| 4 2 . | . . 6 | 8 . . |
| . 5 . | . . 7 | . . 4 |
+-------+-------+-------+
| . . . | 6 7 8 | . 4 3 |
| . 8 . | 1 4 . | . . . |
| 3 4 7 | . 9 . | 1 6 8 |
+-------+-------+-------+

In Spalte 4 folgt zunächst die blaue 4, weil nunmehr auch in der untersten Position keine 4 mehr möglich ist, danach die blaue 6 ebenfalls in der vierten Spalte, woraus sich die blaue 3 in der drittletzen Zeile ergibt. Unabhängig davon sind die blaue 1 in der letzten und die blaue 4 in der vorletzten Zeile. Und so geht es ohne Probleme weiter bis zum Ende. Keine Tripel, keine Zweier sind mehr zu bewältigen. Eine Ziffer an der richtigen Stelle, und der Rest kann ganz einfach sein.

[1] ...8..9..89......26..7.9..5...9.43..42...68...5......4....78.4..8.1.....3.7....6.
[2] ...8..9..89......26..7.9.85...9.43..42...68...5...7..4....78.4..8.1.....3.7.9..68

"Ein gewisses Suchtpotential steckt schon in den Sudoku-Rätseln."

Herr Wuerg, da scheint es Sie ja tatsächlich ganz schön gepackt zu haben.