Jahr 2025
wuerg, 01.01.2025 19:55
Aus der Schule wissen wir hoffentlich:
1½ zum Quadrat gleich 1⋅2+¼ gleich 2¼ gleich 2,25;
2½ zum Quadrat gleich 2⋅3+¼ gleich 6¼ gleich 6,25;
3½ zum Quadrat gleich 3⋅4+¼ gleich 12¼ gleich 12,25;
4½ zum Quadrat gleich 4⋅5+¼ gleich 20¼ gleich 20,25;
Damit ist 45²=2025. Und wem die 9. Dreieckszahl D₉=45 auffällt, weil er das sog. Sudoku-Geheimnis kennt, der weiß vielleicht auch, daß Dₙ² die Summe der ersten n Kubikzahlen ist. Insbesondere also
(1+2+3+4+5+6+7+8+9)2 = 452 = 2025 = 13+23+33+43+53+63+73+83+93
für n=9. Eine Eigenschaft der Zahl 2025, von der man mit dem Jahreswechsel allenthalben lesen kann.
Das heilige Jahr 2025 hat der Papst schon mit dem Geburtstag Jesu, also im Inkarnationsstil am Vorabend des 25. Dezember beginnen lassen, nicht im Circumcisionsstil am 1. Januar mit der Beschneidung. Und es endet erst mit den Heiligen drei Königen am 6. Januar, umfaßt also zweimal die zwölf Rauhnächte zwischen den Jahren.
Nicht unerwähnt bleiben soll das Diaschisma genannte Intervall 2048/2025, das zwischen dem (ersten) Tritonus (45/32, 590 Cent) und dem zweiten Tritonus (64/45, 610 Cent) liegt.
45 | Dreieckszahlen | 25 | Diaschisma
1½ zum Quadrat gleich 1⋅2+¼ gleich 2¼ gleich 2,25;
2½ zum Quadrat gleich 2⋅3+¼ gleich 6¼ gleich 6,25;
3½ zum Quadrat gleich 3⋅4+¼ gleich 12¼ gleich 12,25;
4½ zum Quadrat gleich 4⋅5+¼ gleich 20¼ gleich 20,25;
Damit ist 45²=2025. Und wem die 9. Dreieckszahl D₉=45 auffällt, weil er das sog. Sudoku-Geheimnis kennt, der weiß vielleicht auch, daß Dₙ² die Summe der ersten n Kubikzahlen ist. Insbesondere also
(1+2+3+4+5+6+7+8+9)2 = 452 = 2025 = 13+23+33+43+53+63+73+83+93
für n=9. Eine Eigenschaft der Zahl 2025, von der man mit dem Jahreswechsel allenthalben lesen kann.
Das heilige Jahr 2025 hat der Papst schon mit dem Geburtstag Jesu, also im Inkarnationsstil am Vorabend des 25. Dezember beginnen lassen, nicht im Circumcisionsstil am 1. Januar mit der Beschneidung. Und es endet erst mit den Heiligen drei Königen am 6. Januar, umfaßt also zweimal die zwölf Rauhnächte zwischen den Jahren.
Nicht unerwähnt bleiben soll das Diaschisma genannte Intervall 2048/2025, das zwischen dem (ersten) Tritonus (45/32, 590 Cent) und dem zweiten Tritonus (64/45, 610 Cent) liegt.
45 | Dreieckszahlen | 25 | Diaschisma
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fritz_,
02.01.2025 12:54
Das Eingängigste, bei dem sogar Lieschen Müller sich noch verwundert die Augen reibt, ist auch hübsch: (20+25)² = 2025.
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wuerg,
02.01.2025 16:07
Ja, das habe ich auch in einem sog. Short gesehen, wo mir wegen einer Schnörkel-Zwei indischer Art unangenehm im Gedächtnis blieb. Schön für Lieschen Müller, für Numerlogen (2+0+2+5=9, der wegweisende Mensch) und Zahlakrobaten zur Basis 10.
In den vergangenen Jahren, vor allem denen des letzten Jahrtausends wurden immer wieder zahlreiche Beziehungen zur neuen Jahreszahl gesucht und gefunden. Warum sind es diesmal nur wenige? Weil Zahlen mit 5 oder gar 25 am Ende kaum geeignet sind, sich hinter Mätzchen zu verstecken? Oder weil eine Beziehung gemäß des Satzes von Nikomachos so außerordentlich selten ist und es nunmehr weitere 1000 Jahre zu warten gilt? Zur Halbzeit sind wir in the year twentyfive twentyfive.
Aber vielleicht wird uns der Jahreswechsel auf 2025 auch wegen einer weiteren Beziehung im Gedächtnis bleiben: Der Kekius Maximus (*1971→1+9+7+1=18→1+8=9) hat die AfD von 20 auf 25 Prozent hochgetrieben, was bisher wohl mehr ein frommer Wunsch ist.
In den vergangenen Jahren, vor allem denen des letzten Jahrtausends wurden immer wieder zahlreiche Beziehungen zur neuen Jahreszahl gesucht und gefunden. Warum sind es diesmal nur wenige? Weil Zahlen mit 5 oder gar 25 am Ende kaum geeignet sind, sich hinter Mätzchen zu verstecken? Oder weil eine Beziehung gemäß des Satzes von Nikomachos so außerordentlich selten ist und es nunmehr weitere 1000 Jahre zu warten gilt? Zur Halbzeit sind wir in the year twentyfive twentyfive.
Aber vielleicht wird uns der Jahreswechsel auf 2025 auch wegen einer weiteren Beziehung im Gedächtnis bleiben: Der Kekius Maximus (*1971→1+9+7+1=18→1+8=9) hat die AfD von 20 auf 25 Prozent hochgetrieben, was bisher wohl mehr ein frommer Wunsch ist.
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wuerg,
02.01.2025 22:15
Daß es nicht so leicht ist, neben dem Satz des Nikomachos wenigstens etwas Verwirrendes zu 2025 zu konstruieren, sieht man auch an der Frage, ob 2024²⁰²⁵ größer oder kleiner als 2025²⁰²⁴ ist. Wer Lust auf lange Rechnungen hat, sehe sich das Filmchen an. [1] Nur muß er dann glauben, daß ln(2025/2024) genügend nahe an 1/2024 liegt. [2]
Es reicht aber auch zu wissen, daß für e<a<b einfach der höhere Exponent gewinnt, erwartungsgemäß also a hoch b größer als b hoch a ist. [3] Und wer brutal rechnet, stellt dank 2025⋅lg2024≈6695 und 2024⋅lg2025≈6692 fest, daß 2024 hoch 2025 fast tausendmal größer ist als 2025 hoch 2024.
[1] Eine Mathe-Aufgabe zu Neujahr: Was ist größer?. Entwurzler, Youtube, Januar 2025.
[2] Es wird ln(2025/2024)≈1/2024 verwendet, was ohne Beweiskraft bleibt. Einfacher und richtiger wäre ln(2025/2024)<1/2024 gewesen. Eine Schwäche die ich als „Euler's formula (1+1/n)ⁿ=e“ hier bereits bemerkte.
[3] Weil lnx/x im Bereich von x>e streng monoton fällt.
Es reicht aber auch zu wissen, daß für e<a<b einfach der höhere Exponent gewinnt, erwartungsgemäß also a hoch b größer als b hoch a ist. [3] Und wer brutal rechnet, stellt dank 2025⋅lg2024≈6695 und 2024⋅lg2025≈6692 fest, daß 2024 hoch 2025 fast tausendmal größer ist als 2025 hoch 2024.
[1] Eine Mathe-Aufgabe zu Neujahr: Was ist größer?. Entwurzler, Youtube, Januar 2025.
[2] Es wird ln(2025/2024)≈1/2024 verwendet, was ohne Beweiskraft bleibt. Einfacher und richtiger wäre ln(2025/2024)<1/2024 gewesen. Eine Schwäche die ich als „Euler's formula (1+1/n)ⁿ=e“ hier bereits bemerkte.
[3] Weil lnx/x im Bereich von x>e streng monoton fällt.
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wuerg,
03.01.2025 18:19
Presh Talwalkar [1] nennt fünf Fakten zur Jahreszahl 2025. Zunächst, daß 2025=45² eine Quadratzahl ist und die 1980 Geborenen dieses Jahr 45 werden. Danach, daß 2025 nach 81 erst die zweite Zahl ist, deren Ziffern man in der Mitte spalten und addieren kann (8+1=9, 20+25=45), um ihre Wurzel zu erhalten. [2] Erst an dritter Stelle bemerkt er, daß das Quadrat der Summe der ersten n Zahlen (hier 45 für n=9) gleich der Summe der ersten n Kuben (hier 2025) ist [3] und zeigt dazu eine Animation, wie man die n Kuben in Scheiben schneidet und als Quadrat auslegt. Und er bemerkt, daß demzufolge die Zahlen in der Multiplikationstabelle des kleinen Einmaleins sich zu 2025 addieren.
Der Rest ist konstruierter: An vierter Stelle erweitert er 2025=3⁴⋅5² zu 2025=1⁶⋅3⁴⋅5²⋅7⁰, um die Zahlen 0 bis 7 zu verbraten, die geraden absteigend in den Exponenten, die ungeraden aufsteigend in den Basen. Ergänzend nennt er 2025=12⋅3+(4+5)(6+7)(8+9)=9⋅8+76+5⁴⋅3+2⋅1, worin alle neuen Ziffern auf- bzw. absteigend vorkommen. Ich lasse es als Übung, solche Darstellungen auch für 2024 zu finden, ohne zu wissen, ob es sie gibt.
Und zum Schluß eine Variante mit der neunten Dreieckszahl. Schreibt man einmal die 1, zweimal die 2, dreimal die 3 und so fort bis 45 mal die 45 hintereinander, erhält man eine Zahl mit 2025 Ziffern. Warum? Notiert man auch 1 bis 9 zweistellig mit führender 0, so erhält man eine Zeichenkette mit 2D₉=45⋅46 Ziffern. Entfernt man die D₉=45 führenden Nullen, so verbleiben 45⋅46−45=45²=2025 Ziffern stehen. So gebiert eine Eigenschaft eine weitere.
[1] Presh Talwalkar: 5 Fun Facts About 2025 You Probably Don't Know. MindYourDecision, Youtube, Januar 2025.
[2] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. A238237.
[3] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. A000537.
Der Rest ist konstruierter: An vierter Stelle erweitert er 2025=3⁴⋅5² zu 2025=1⁶⋅3⁴⋅5²⋅7⁰, um die Zahlen 0 bis 7 zu verbraten, die geraden absteigend in den Exponenten, die ungeraden aufsteigend in den Basen. Ergänzend nennt er 2025=12⋅3+(4+5)(6+7)(8+9)=9⋅8+76+5⁴⋅3+2⋅1, worin alle neuen Ziffern auf- bzw. absteigend vorkommen. Ich lasse es als Übung, solche Darstellungen auch für 2024 zu finden, ohne zu wissen, ob es sie gibt.
Und zum Schluß eine Variante mit der neunten Dreieckszahl. Schreibt man einmal die 1, zweimal die 2, dreimal die 3 und so fort bis 45 mal die 45 hintereinander, erhält man eine Zahl mit 2025 Ziffern. Warum? Notiert man auch 1 bis 9 zweistellig mit führender 0, so erhält man eine Zeichenkette mit 2D₉=45⋅46 Ziffern. Entfernt man die D₉=45 führenden Nullen, so verbleiben 45⋅46−45=45²=2025 Ziffern stehen. So gebiert eine Eigenschaft eine weitere.
[1] Presh Talwalkar: 5 Fun Facts About 2025 You Probably Don't Know. MindYourDecision, Youtube, Januar 2025.
[2] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. A238237.
[3] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. A000537.
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