... newer stories
6×6-Sudoku
wuerg, 14.02.2022 17:55
Lange Zeit habe ich mich nicht mehr mit Sudoku abgegeben. Andere hielten ihr Interesse mit Varianten am Leben, durch die auch ein 6×6‑Feld durchaus anspruchsvoll sein kann. Die Lösung eines solchen Sudokus von Phistomefel [1] habe ich bei Cracking the Cryptic [2] gesehen.
Die Gebiete haben die Form von Hexominos. Davon gibt es 35, doch nur zwei sind konvex, der 1×6‑Streifen und das 2×3‑Rechteck. Nur diese beiden kommen infrage, denn ist ein Gebiet nicht konvex, belegt es irgendwo genau drei der vier Felder eines 2×2‑Blocks.
Damit bleiben nur vier Aufteilungen: Sechsfach längs bzw. quer gestreift oder sechs 2×3‑Rechtecke in einer der beiden Orientierungen. Erstere entfallen, da sich senkrecht zu den Streifen stets x und 7−x abwechseln müßten. Bleiben die Rechtecke, an deren Ecken es immer wie im rechten Teilbild aussieht. Offensichtlich kann über eine solche Ecke keine diagonale Thermometerlinie laufen. Damit liegt die Gebietsaufteilung fest:
Im folgenden seien x, y und z drei noch unbekannte Ziffern mit {x,y,z}={1,2,3}. Die Komplemente sind X=7−x, Y=7−y und Z=7−z. Die Mengen X={x,X}, Y={y,Y} und Z={z,Z} bezeichnen Stellen, an denen eines der beiden Elemente zutrifft. Die vier Ziffern um den linken Kreuzungspunkt CD23 seien aus X, die um den rechten CD45 aus Y.
Natürlich findet auch Simon Anthony [2] zunächst die Gebietsaufteilung. Dazu diskutiert er lange über Nachbarschaftsverhältnisse, was ihm aber nachgesehen sei, zumal er dieses Rätsel wie immer unvorbereitet angeht. Danach nutzt er die Software und färbt alle Felder. Das ist hier schlecht darstellbar, weshalb ich statt der Farben Buchstaben a bis f verwende. Mit a+b=c+d=e+f=7 sieht es anfänglich oBdA wie folgt aus:
Zwar wollen Sudokus wie diese zwei oder mehr Möglichkeiten möglichst lange offen halten, daß mit Variablen oder Farben zu arbeiten ist, doch geht es auch hier auch ohne. Nachdem man sich wie eingangs beschrieben die Aufteilung in sechs aufrechte 2×3‑Rechtecke überlegt hat, ginge es mit einer Zahlableitung nach der anderen wie folgt:
Wäre an der Spitze des Dreier-Thermometers bei E3 eine 6, müßte sie im oberen mittleren Block in Spalte 4 liegen. Da die Vorratsgefäße der beiden Thermometer ausscheiden, bleibt für die 6 nur A4. Dann aber findet die 1 keinen Platz im oberen mittleren Block: Für die 1 scheiden A3 und B4 als Nachbarn der 6 aus. Ebenso die Spitze B3 des Thermometers. Es verbleiben C3 oder C4 mit einer 6 bei D3 bzw. D4, was nicht geht, weil im unteren mittleren Block bereits eine 6 steht.
Wie stelle ich mir vor, das Rätsel im Wettbewerb unter drei Minuten zu lösen? Zunächst scheinen nicht genügend komplizierte Regeln für eine ausgefallene Gebietsaufteilung vorzuliegen, weshalb es die Standard-2x3-Rechtecke sein werden. Senkrecht liegen die Thermometer schön in nur zweien davon. Das dreistufige muß dann 2–5–6, 3–4–5 oder 3–4–6 sein. Eine 6 am Ende forciert eine weitere bei A4, was keine 1 im oberen mittleren Rechteck erlaubt. Also 3–4–5 für das große Thermometer, und der Rest ist tausendfach geübte Routine: Schnell ergeben sich die unteren vier Zeilen bis auf 1 und 6.
Daß sich alles letztlich als einfach erweist, liegt an der regelmäßigen Grundstruktur. In der unteren Hälfte sind in den geraden Spalten nur gerade, in ungeraden nur ungerade Zahlen und die Rechtecke schieben sich nach unten durch (roping). Zudem spiegel die obere Hälfte einfach die untere. Dadurch sind die Sudoku-Grundregeln und die 7er‑Bedingung einfach erfüllt. Solche einfache Strukturen sind oftmals das Ergebnis ähnlicher Rätsel, doch ist das Wissen darum nicht unbedingt eine große Hilfe.
[1] Phistomefel: Chaos Construction: Seven. Logic Masters Deutschland, 30.12.2021. Einer nennt es nice and easy, ein anderer meint, bis zur entscheidenden Einsicht wirke es fast unlösbar. Ich sehe den Witz darin, die Standardaufteilung in den Vorgaben geschickt versteckt zu haben. Außerdem soll es hier nur eine gewisse Fortentwicklung von Sudoko anreißen, nicht tagelang beschäftigen.
[2] Simon Anthony: Seven: The Sodoku. Cracking The Cryptic, 06.01.2022. Es werden Sudokus aller Art ohne Vorbereitung gelöst, wenn auch gescheiterte Versuche unveröffentlicht bleiben. Naturgemäß sind unter diesen Bedingungen die Lösungswege nicht immer die elegantesten, so auch zu diesem, in dem sehr viel Zeit verbraten wird, um zu erkennen, daß es 2x3‑Gebiete sein müssen. Ich fand es aber sehr interessant, nicht zuletzt wegen einer Analogie zur Mathematik: Will man etwas beweisen, so gelingt das oftmals gar nicht oder nur recht mühselig und umständlich. Es kann Jahrzehnte oder ewig dauern, bis ein eleganter Weg gefunden ist.
Einer | Paare | Raster | Stufen | Hexominos
┏━━━━━━━━━━━┓ ┃⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅┃ ┃ ┃ ┃⋅ ⋅ •─● ⋅ ⋅┃ ┃ ┃ ┃⋅ ⋅ ⋅ ● ⋅ ⋅┃ ┃ │ ┃ ┃⋅ ⋅ ⋅ • ⋅ ⋅┃ ┃ ╱ ┃ ┃⋅ ⋅ • ⋅ ⋅ ⋅┃ ┃ ┃ ┃⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅┃ ┗━━━━━━━━━━━┛Die üblichen 2×3‑Rechtecke sind nicht vorgegeben. Vielmehr müssen sechs zusammenhängende Gebiete gefunden werden, in denen die sechs Ziffern wie in den sechs Zeilen und Spalten je einmal vorkommen. Es gibt keine vorgegebenen Ziffern, sondern nur zwei Thermometer längs der die Werte ansteigen müssen. Hinzu kommt, daß waagerecht oder senkrecht benachbarte Felder sich genau dann zu 7 addieren, wenn sie zwei verschiedenen Gebieten angehören.
Die Gebiete haben die Form von Hexominos. Davon gibt es 35, doch nur zwei sind konvex, der 1×6‑Streifen und das 2×3‑Rechteck. Nur diese beiden kommen infrage, denn ist ein Gebiet nicht konvex, belegt es irgendwo genau drei der vier Felder eines 2×2‑Blocks.
. x 7−x x 7−x│ x ┌─── ───┬─── ───┼─── x │7−x x │7−x x │7−xDas linke Teilbild zeigt, daß dann eine Ziffer (hier x) doppelt im Hexomino vorkommen müßte. Auch kann man an einen 1×6-Streifen nur einen weiteren anlegen. Ansonsten entstünde die Situation des mittleren Teilbildes, es läge sowohl x als auch 7−x im Streifen (hier oben).
Damit bleiben nur vier Aufteilungen: Sechsfach längs bzw. quer gestreift oder sechs 2×3‑Rechtecke in einer der beiden Orientierungen. Erstere entfallen, da sich senkrecht zu den Streifen stets x und 7−x abwechseln müßten. Bleiben die Rechtecke, an deren Ecken es immer wie im rechten Teilbild aussieht. Offensichtlich kann über eine solche Ecke keine diagonale Thermometerlinie laufen. Damit liegt die Gebietsaufteilung fest:
┏━━━┯━━━┯━━━┓ ┃⋅ ⋅│⋅ ⋅│⋅ ⋅┃ ┃ │ │ ┃ ┃⋅ ⋅│•–●│⋅ ⋅┃ ┃ │ │ ┃ ┃⋅ ⋅│⋅ ●│⋅ ⋅┃ ┠───┼──│┼───┨ ┃⋅ ⋅│⋅ •│⋅ ⋅┃ ┃ │ ╱ │ ┃ ┃⋅ ⋅│• ⋅│⋅ ⋅┃ ┃ │ │ ┃ ┃⋅ ⋅│⋅ ⋅│⋅ ⋅┃ ┗━━━┷━━━┷━━━┛
Im folgenden seien x, y und z drei noch unbekannte Ziffern mit {x,y,z}={1,2,3}. Die Komplemente sind X=7−x, Y=7−y und Z=7−z. Die Mengen X={x,X}, Y={y,Y} und Z={z,Z} bezeichnen Stellen, an denen eines der beiden Elemente zutrifft. Die vier Ziffern um den linken Kreuzungspunkt CD23 seien aus X, die um den rechten CD45 aus Y.
┏━━━┯━━━┯━━━┓ ┃⋅ ⋅│⋅ ⋅│⋅ ⋅┃ ┃ │ │ ┃ ┃⋅ ⋅│•–●│⋅ ⋅┃ ┃ │ │ ┃ ┃⋅ X│X y│Y ⋅┃ ┠───┼──│┼───┨ ┃⋅ X│X Y│y ⋅┃ ┃ │ ╱ │ ┃ ┃⋅ ⋅│Z X│⋅ ⋅┃ ┃ │ │ ┃ ┃⋅ ⋅│y z│⋅ ⋅┃ ┗━━━┷━━━┷━━━┛An der Spitze des Dreier- Thermometers kommen x, X, y und Y nicht mehr infrage, und von den beiden verbleibenden nur des größere blaue Z. Wegen verbotener Nachbarschaft muß das kleine z im unteren mittleren Rechteck rechts unten stehen. Damit stehen auch X und y darin fest.
┏━━━┯━━━┯━━━┓ ┃⋅ ⋅│⋅ 6│⋅ ⋅┃ ┃ │ │ ┃ ┃⋅ ⋅│•–●│⋅ ⋅┃ ┃ │ │ ┃ ┃⋅ X│X y│Y ⋅┃ ┠───┼──│┼───┨ ┃⋅ X│X Y│y ⋅┃ ┃ │ ╱ │ ┃ ┃⋅ ⋅│6 X│⋅ ⋅┃ ┃ │ │ ┃ ┃⋅ ⋅│y z│⋅ ⋅┃ ┗━━━┷━━━┷━━━┛Wäre Z=6 (blau), müßte sie im oberen mittleren Rechteck in die rechte obere Ecke (rot), denn in Spalte 3 steht Z=6 bereits, für das Vorratsgefäß (bulb) des Zweier-Thermometers scheidet 6 aus und natürlich ist y≠Z=6. Da in diesem Rechteck die 1 nicht links oder unterhalb der 6, aber auch nicht an der Spitze des Zweier-Thermometers stehen kann, verbleiben nur die beiden unteren mit X und y bezeichneten Positionen. Dann aber stünde eine 6 oben im Block darunter, der bereits Z=6 enthält. Also ist Z≠6, und von den einzig möglichen Dreier-Thermomentern 2–5–6, 3–4–5 und 3–4–6 verbleibt nur eines. Damit ist y=3, Y=4, Z=5, z=2 und X={1,6}.
┏━━━┯━━━┯━━━┓ ┏━━━┯━━━┯━━━┓ ┃⋅ ⋅│2 X│⋅ ⋅┃ ┃⋅ ⋅│4 5│⋅ ⋅┃ ┃ │ │ ┃ ┃ │ │ ┃ ┃⋅ ⋅│4–5│⋅ ⋅┃ ┃⋅ ⋅│2–X│⋅ ⋅┃ ┃ │ │ ┃ ┃ │ │ ┃ ┃⋅ X│X 3│4 ⋅┃ ┃⋅ X│X 3│4 ⋅┃ ┠───┼──│┼───┨ ┠───┼──│┼───┨ ┃⋅ X│X 4│3 ⋅┃ ┃⋅ X│X 4│3 ⋅┃ ┃ │ ╱ │ ┃ ┃ │ ╱ │ ┃ ┃⋅ ⋅│5 X│⋅ ⋅┃ ┃⋅ ⋅│5 X│⋅ ⋅┃ ┃ │ │ ┃ ┃ │ │ ┃ ┃⋅ ⋅│3 2│⋅ ⋅┃ ┃⋅ ⋅│3 2│⋅ ⋅┃ ┗━━━┷━━━┷━━━┛ ┗━━━┷━━━┷━━━┛In Spalte 3 sind nur noch 2 und 4 zu vergeben, in Spalte 4 sind es 5 und eine Ziffer aus X={1,6}. Da 2 und 5 diagonal liegen müssen, verbleiben nur die vorstehend aufgezeigten zwei Möglichkeiten, von denen die linke wegen des Zweier-Thermometers ausscheidet.
┏━━━┯━━━┯━━━┓ ┃6 3│4 5│2 1┃ ┃ │ │ ┃ ┃4 5│2–1│6 3┃ ┃ │ │ ┃ ┃2 1│6 3│4 5┃ ┠───┼──│┼───┨ ┃5 6│1 4│3 2┃ ┃ │ ╱ │ ┃ ┃3 2│5 6│1 4┃ ┃ │ │ ┃ ┃1 4│3 2│5 6┃ ┗━━━┷━━━┷━━━┛Natürlich ist das X des Zweier-Thermometers nicht durch 6, sondern durch 1 zu erstezen, was alle X festlegt (blau). Sodann ergeben sich die Spalten 2 und 5 als 7er‑Komplemente (rot) der Spalten 3 und 4. Es verbleiben in jeder Zeile genau zwei orange Ziffern, die eindeutig zu plazieren sind. Damit ist das Sudoku gelöst,
Natürlich findet auch Simon Anthony [2] zunächst die Gebietsaufteilung. Dazu diskutiert er lange über Nachbarschaftsverhältnisse, was ihm aber nachgesehen sei, zumal er dieses Rätsel wie immer unvorbereitet angeht. Danach nutzt er die Software und färbt alle Felder. Das ist hier schlecht darstellbar, weshalb ich statt der Farben Buchstaben a bis f verwende. Mit a+b=c+d=e+f=7 sieht es anfänglich oBdA wie folgt aus:
┏━━━┯━━━┯━━━┓ ┃⋅ ⋅│⋅ ⋅│⋅ ⋅┃ ┃ │ │ ┃ ┃⋅ ⋅│•–●│⋅ ⋅┃ ┃ │ │ ┃ ┃f a│b c│d e┃ ┠───┼──│┼───┨ ┃e b│a d│c f┃ ┃ │ ╱ │ ┃ ┃⋅ f│e ⋅│⋅ ⋅┃ ┃ │ │ ┃ ┃⋅ ⋅│⋅ ⋅│⋅ ⋅┃ ┗━━━┷━━━┷━━━┛Bei E3 scheiden a bis d aus, weshalb dort oBdA das blaue e steht. Das rote f ist das Komplement dazu, was zu den gelben Buchstaben der Zeilen C und D führt.
┏━━━┯━━━┯━━━┓ ┃⋅ ⋅│⋅ ⋅│⋅ ⋅┃ ┃ │ │ ┃ ┃⋅ ⋅│•–●│⋅ ⋅┃ ┃ │ │ ┃ ┃f a│b c│d e┃ ┠───┼──│┼───┨ ┃e b│a d│c f┃ ┃ │ ╱ │ ┃ ┃c f│e b│a d┃ ┃ │ │ ┃ ┃a d│c f│e b┃ ┗━━━┷━━━┷━━━┛Das blaue f im unteren mittleren Rechteck kann nicht neben dem e liegen. Es verbeiben dort die roten b und c, was die Färbung der unteren Hälfte des Sudoku vervollständigt.
┏━━━┯━━━┯━━━┓ ┃b c│d e│f a┃ ┃ │ │ ┃ ┃d e│f–a│b c┃ ┃ │ │ ┃ ┃f a│b c│d e┃ ┠───┼──│┼───┨ ┃e b│a d│c f┃ ┃ │ ╱ │ ┃ ┃c f│e b│a d┃ ┃ │ │ ┃ ┃a d│c f│e b┃ ┗━━━┷━━━┷━━━┛Nun wie in meiner Lösung: Es müssen d und f in der dritten, a und e in der vierten Spalte stehen. Zudem müssen e und f diagonal liegen. Es verbleiben zwei Möglichkeiten mit f>a bzw. d>e auf dem Zweier-Thermometer. Letztere scheidet aus, weil wir vom Dreier-Thermometer c<d<e wissen. Für die Komplemente gilt f<c<d, aus dem Zweier-Thermometer folgen a<f und e<b. Also a<f<c<d<e<b. Das ergibt die Lösung.
Zwar wollen Sudokus wie diese zwei oder mehr Möglichkeiten möglichst lange offen halten, daß mit Variablen oder Farben zu arbeiten ist, doch geht es auch hier auch ohne. Nachdem man sich wie eingangs beschrieben die Aufteilung in sechs aufrechte 2×3‑Rechtecke überlegt hat, ginge es mit einer Zahlableitung nach der anderen wie folgt:
Wäre an der Spitze des Dreier-Thermometers bei E3 eine 6, müßte sie im oberen mittleren Block in Spalte 4 liegen. Da die Vorratsgefäße der beiden Thermometer ausscheiden, bleibt für die 6 nur A4. Dann aber findet die 1 keinen Platz im oberen mittleren Block: Für die 1 scheiden A3 und B4 als Nachbarn der 6 aus. Ebenso die Spitze B3 des Thermometers. Es verbleiben C3 oder C4 mit einer 6 bei D3 bzw. D4, was nicht geht, weil im unteren mittleren Block bereits eine 6 steht.
┏━━━┯━━━┯━━━┓ ┃⋅ ⋅│⋅ ⋅│⋅ ⋅┃ ┃ │ │ ┃ ┃⋅ ⋅│•–●│⋅ ⋅┃ ┃ │ │ ┃ ┃2 ◐│◐ 3│4 5┃ ┠───┼──│┼───┨ ┃5 ◐│◐ 4│3 2┃ ┃ │ ╱ │ ┃ ┃3 2│5 ◐│◐ 4┃ ┃ │ │ ┃ ┃◐ 4│3 2│5 ◐┃ ┗━━━┷━━━┷━━━┛Also keine 6 an der Spitze des Dreier-Thermometers, das dann nur noch 3–4–5 sein kann (blau). Damit ist das Sudoku bis auf 1 und 6 und die oberen beiden Zeilen gelöst.
┏━━━┯━━━┯━━━┓ ┃6 ⋅│⋅ 5│2 1┃ ┃ │ │ ┃ ┃⋅ ⋅│•–1│6 ⋅┃ ┃ │ │ ┃ ┃2 1│6 3│4 5┃ ┠───┼──│┼───┨ ┃5 6│1 4│3 2┃ ┃ │ ╱ │ ┃ ┃3 2│5 6│1 4┃ ┃ │ │ ┃ ┃1 4│3 2│5 6┃ ┗━━━┷━━━┷━━━┛In Spalte 4 fehlen 1, 5 und 6. Am Vorratsgefäß ist 6 nicht möglich. Stünde dort die 5, müßt die Spitze des Thermometers 6 sein, was aber nicht geht, da 1/6 (Halbmond) bereits zweimal in der Spalte 3 vergeben ist. Also 1 bei B4, wodurch sich alle 1/6-Paare auflösen und der Rest auf der Hand liegt.
Wie stelle ich mir vor, das Rätsel im Wettbewerb unter drei Minuten zu lösen? Zunächst scheinen nicht genügend komplizierte Regeln für eine ausgefallene Gebietsaufteilung vorzuliegen, weshalb es die Standard-2x3-Rechtecke sein werden. Senkrecht liegen die Thermometer schön in nur zweien davon. Das dreistufige muß dann 2–5–6, 3–4–5 oder 3–4–6 sein. Eine 6 am Ende forciert eine weitere bei A4, was keine 1 im oberen mittleren Rechteck erlaubt. Also 3–4–5 für das große Thermometer, und der Rest ist tausendfach geübte Routine: Schnell ergeben sich die unteren vier Zeilen bis auf 1 und 6.
┏━━━┯━━━┯━━━┓ ┃◐ 3│4 2│5 ◐┃ ┃ │ │ ┃ ┃4 5│2–◐│◐ 3┃ ┃ │ │ ┃ ┃2 ◐│◐ 3│4 5┃ ┠───┼──│┼───┨ ┃5 ◐│◐ 4│3 2┃ ┃ │ ╱ │ ┃ ┃3 2│5 ◐│◐ 4┃ ┃ │ │ ┃ ┃◐ 4│3 2│5 ◐┃ ┗━━━┷━━━┷━━━┛Klappt man nun die unteren drei Zeilen unter Komplementierung nach oben, sind automatisch alle Bedingungen abseits des kleine Thermometers erfüllt, durch das alle 1/6‑Paare aufgelöst werden.
Daß sich alles letztlich als einfach erweist, liegt an der regelmäßigen Grundstruktur. In der unteren Hälfte sind in den geraden Spalten nur gerade, in ungeraden nur ungerade Zahlen und die Rechtecke schieben sich nach unten durch (roping). Zudem spiegel die obere Hälfte einfach die untere. Dadurch sind die Sudoku-Grundregeln und die 7er‑Bedingung einfach erfüllt. Solche einfache Strukturen sind oftmals das Ergebnis ähnlicher Rätsel, doch ist das Wissen darum nicht unbedingt eine große Hilfe.
[1] Phistomefel: Chaos Construction: Seven. Logic Masters Deutschland, 30.12.2021. Einer nennt es nice and easy, ein anderer meint, bis zur entscheidenden Einsicht wirke es fast unlösbar. Ich sehe den Witz darin, die Standardaufteilung in den Vorgaben geschickt versteckt zu haben. Außerdem soll es hier nur eine gewisse Fortentwicklung von Sudoko anreißen, nicht tagelang beschäftigen.
[2] Simon Anthony: Seven: The Sodoku. Cracking The Cryptic, 06.01.2022. Es werden Sudokus aller Art ohne Vorbereitung gelöst, wenn auch gescheiterte Versuche unveröffentlicht bleiben. Naturgemäß sind unter diesen Bedingungen die Lösungswege nicht immer die elegantesten, so auch zu diesem, in dem sehr viel Zeit verbraten wird, um zu erkennen, daß es 2x3‑Gebiete sein müssen. Ich fand es aber sehr interessant, nicht zuletzt wegen einer Analogie zur Mathematik: Will man etwas beweisen, so gelingt das oftmals gar nicht oder nur recht mühselig und umständlich. Es kann Jahrzehnte oder ewig dauern, bis ein eleganter Weg gefunden ist.
Einer | Paare | Raster | Stufen | Hexominos
... link (0 Kommentare) ... comment
... older stories
