Zahlwort

Eigentlich kommt man leicht aus dem kleinen Labyrinth des 350-Punkte-Abenteuers mit den lauter verschie­denen Gängen heraus, weil alle Positionen anders beschrieben werden. Ohne den Raum mit dem Auto­maten (Dead End) sind es elf Posi­tionen:

A	107	M-Ty-L	You are in a maze of twisty little passages, all different.
B	131	M-Tg-L	You are in a maze of twisting little passages, all different.
C	132	L-M-Ty	You are in a little maze of twisty passages, all different.
D	133	Tg-M-L	You are in a twisting maze of little passages, all different.
E	134	Tg-L-M	You are in a twisting little maze of passages, all different.
F	135	Ty-L-M	You are in a twisty little maze of passages, all different.
G	136	Ty-M-L	You are in a twisty maze of little passages, all different.
H	137	L-Ty-M	You are in a little twisty maze of passages, all different.
I	138	M-L-Tg	You are in a maze of little twisting passages, all different.
J	139	M-L-Ty	You are in a maze of little twisty passages, all different.
K	112	L-M-Tg	You are in a little maze of twisting passages, all different.

Die erste Spalte gibt meine Bezeichnung, die zweite die Nummer gemäß der Höhlen-Konfi­gura­tions-​Datei wieder. Von B bis J bzw. 131 bis 139 entsprechen sie sich lückenlos. Der Eingang des Laby­rinthes liegt bei A (107), der Batterie­automat wird von K (112) aus erreicht. In der dritten Spalte ist die in der vierten angegebene Beschrei­bung abgekürzt. Und zwar steht x-y-z für „You are in a f(x) f(y) f(z) passages, all different“ mit:

f(M) für „maze of“
f(L) für „little“
f(Tg) für „twisting“
f(Ty) für „twisty“

Es gibt sechs Reihenfolgen der Buch­staben M, L, T und zwölf, wenn dem T noch ein g oder y angehängt wird. Reali­siert sind im Laby­rinth nur elf. Es fehlt L-Tg-M, womit „You are in a little twisting maze of passages, all different.“ als Beschreibung nicht vorkommt.

Man könnte nun leicht meinen, es sei eine kombi­nato­rische Spie­lerei, die Don Woods in diesem Labyrinth umgesetzt hat. Doch dann hätte er eine weitere reguläre Position vorsehen müssen, etwa den Raum mit dem Batterie­automaten. Aber es gibt nur elf, eine mehr als die zehn Rich­tungen N, S, E, W, U, D, NW, NE, SW und SE, mit denen von jeder Posi­tion aus jede der zehn übrigen erreich­bar ist, mit einer Ausnahme: Es gibt keine Verbin­dung zwischen A und K, denn von A geht es mit D nach draußen und von K mit S zum Batterie­automaten. Schließt man diese Lücke, verbindet also A und K durch D und S mitein­ander, so entsteht ein von der Außen­welt abge­trenntes Laby­rinth:

	A	B	C	D	E	F	G	H	I	J	K
A	­	S	SW	NE	SE	U	NW	E	W	N	D
B	W	­	SE	NW	SW	NE	U	D	N	S	E
C	NW	U	­	N	S	W	SW	NE	E	D	SE
D	U	D	W	­	NE	SW	E	N	NW	SE	S
E	NE	N	NW	SE	­	E	D	S	U	W	SW
F	N	SE	D	S	E	­	W	SW	NE	NW	U
G	E	W	U	SW	D	S	­	NW	SE	NE	N
H	SE	NE	S	D	U	NW	N	­	SW	E	W
I	D	E	NE	U	W	N	S	SE	­	SW	NW
J	SW	NW	E	W	N	D	SE	U	S	­	NE
K	S	SW	N	E	NW	SE	NE	W	D	U	­

Die Richtung r=N,S,...,SE in Zeile m=A,B,...,K und Spalte n=A,B,...,K besagt, daß von Posi­tion m aus der Weg in Richtung r zur Posi­tion n führt. Verschiedene Richtungen führen zu verschieden Zielen und nie in den Ausgangsraum zurück, weshalb in der Tabelle die Diago­nale leer ist und in jeder Zeile jede Richtung genau einmal vorkommt. Daraus folgt nicht, daß dies für die Spalten auch der Fall ist. Es ist aber so: Jeder Raum wird von den zehn übrigen mit jeweils einer anderen Richtungsangabe erreicht. Damit bildet jede der zehn Rich­tungen r=N,S,...,SE eine Permu­tation der Posi­tionen A,B,C,...,K:

N  ist Permutation 0=(AJEBIF)(CDHGK)
S  ist Permutation 1=(ABJIGFDK)(CEH)
E  ist Permutation 2=(AHJCIBKDG)(EF)
W  ist Permutation 3=(AIEJDCFGB)(HK)
U  ist Permutation 4=(AFKJHEID)(BGC)
D  ist Permutation 5=(AKI)(BHD)(CJF)(EG)
NW ist Permutation 6=(AGHFJBDIKEC)
NE ist Permutation 7=(ADE)(BFICH)(GJK)
SW ist Permutation 8=(ACGDFHIJ)(BEK)
SE ist Permutation 9=(AEDJGIH)(BCKF)

Schön wäre, stünden diese zehn Permu­tationen 0,1,2,...,9 für zehn ein­fache Dre­hungen eines anschau­lichen Objek­tes. Doch dem ist nicht so, denn sie spannen den gesamten Raum aller Permuta­tionen der Posi­tionen A,B,...,K auf: Die Zyklen­längen der Permu­tationen p=0,1,2,4 ergeben für ihre Inver­sen p'

0'=(KGHDC)(FIBEJA)=029
1'=(HEC)(KDFGIJBA)=123
2'=(FE)(GDKBICJHA)=217
4'=(CGB)(DIEHJKFA)=423

Die Permutationen p=2,3,5 weisen neben einem Zyklus der Länge 2 einen der Länge 9 bzw. drei der Länge 3 auf. Damit ist

x=29=(EF)
y=39=(HK)
z=53=(EG)

woraus man leicht sieben weitere Paarvertauschungen

0x0'=(AJEBIF)(CDHGK)(EF)(KGHDC)(FIBEJA)=(IJ)
0y0'=(AJEBIF)(CDHGK)(HK)(KGHDC)(FIBEJA)=(DG)
0z0'=(AJEBIF)(CDHGK)(EG)(KGHDC)(FIBEJA)=(HJ)
1x1'=(ABJIGFDK)(CEH)(EF)(HEC)(KDFGIJBA)=(CG)
1z1'=(ABJIGFDK)(CEH)(EG)(HEC)(KDFGIJBA)=(CI)
2y2'=(AHJCIBKDG)(EF)(HK)(FE)(GDKBICJHA)=(AB)
4x4'=(AFKJHEID)(BGC)(EF)(CGB)(DIEHJKFA)=(AH)

gewinnt. Die bildliche Darstellung dieser zehn Vertau­schungen

        D               K
        |               |
F---E---G---C---I---J---H---A---B

macht deutlich, daß jede beliebige Permu­tation aus ihnen und damit aus p=0,1,...,9 erzeug­bar ist.

Damit ist das kleine All-Different-​Laby­rinth entzau­bert. Unge­fähr­lich so und so, denn man muß nur verhin­dern, vom West­ende der langen Halle mit S hineinzufallen. Nur wer trödelt und Batte­rien benö­tigt, muß durch dieses Laby­rinth. Für diesen Fall zeigt die Über­gangs­ta­belle stolze neun Wege, in nur vier Schritten von der Halle zum Auto­maten zu gelangen, nämlich über jeden der neun Räume B bis J einen. Zum Beispiel über F mit S-U-U-S. Auch Rückwege gibt es neun, zum Beispiel über I mit N-D-D-D. Mit Blick in die Höhlen-​Konfigu­rations-​Datei kann man sagen: Die Räume B bis J und der Batterie­raum sind die mit den höch­sten Num­mern 131 bis 140. Sie scheinen als letzte ange­klebt und dienen nur der Ver­wir­rung.

5. Wandertag | Übersicht | abenteuer (pdf, 163 KB)