Handstand statt Mathematik
wuerg, 13.04.2025 00:22
Um meinen Beitrag „Rechnen statt Mathematik“ nicht endlos zu verlängern, hier eine Fortsetzung unter „Handstand statt Mathematik“, was ungefähr das gleiche ist, denn es geht zumeist um Aufgaben, zu denen unnötig lang, umständlich, auch unmotiviert rumgerechnet und Mathematik eher vermieden wird.
„x+1/x=√3 — x100+1/x100=?“ [1] als ein Beispiel für einen Handstand im luftleeren Raum. Zunächst meine Lösung:
x+1/x=√3 entspricht x2+x−√3=0
x=½(√3±i) = cos(30°)±i⋅sin(30°) = e2πi/12
x100 = e±(100/12)⋅2πi = e±2πi/3
x100+x−100 = e±2πi/3+e∓2πi/3 = 2⋅cos(120°) = −1
Im Filmchen wird unter Meditationsmusik kommentarlos ganz langsam abgespult: Beide Seiten hoch 3 und (x+1/x)³=x³+1/x³+3(x+1/x) führen auf x³+1/x³=0 und Multiplikation mit x³ auf x⁶=−1. Dank 100=17⋅6−2 ist x¹⁰⁰+1/x¹⁰⁰=−(x²+1/x²)=−1.
Und weshalb habe ich „im luftleeren Raum“ geschrieben? Es ist zwar schön, wie man durch allerlei Umformung auf das richtige Ergebnis kommt, doch hätte wenigstens mit einem Wort erwähnt werden müssen, daß im komplexen Zahlenraum zu rechnen ist, denn im reellen hat die Ausgangsgleichung wegen 0<√3<2 keine Lösung. Damit existieren auch die hundersten Potenzen nicht. Die Zielgruppe sind wohl Oberschüler aus der Mathematik-Arbeitsgemeinschaft oder eben Teilnehmer der Olympiade. Und zumindest letztere wären auch auf meine Lösung gekommen, hätten sich nicht totgerechnet.
[1] Brazil | can you solve?? | Tricky Solution | Olympiad Math Problem. Math Master TV, Youtube, April 2025.
„x+1/x=√3 — x100+1/x100=?“ [1] als ein Beispiel für einen Handstand im luftleeren Raum. Zunächst meine Lösung:
x+1/x=√3 entspricht x2+x−√3=0
x=½(√3±i) = cos(30°)±i⋅sin(30°) = e2πi/12
x100 = e±(100/12)⋅2πi = e±2πi/3
x100+x−100 = e±2πi/3+e∓2πi/3 = 2⋅cos(120°) = −1
Im Filmchen wird unter Meditationsmusik kommentarlos ganz langsam abgespult: Beide Seiten hoch 3 und (x+1/x)³=x³+1/x³+3(x+1/x) führen auf x³+1/x³=0 und Multiplikation mit x³ auf x⁶=−1. Dank 100=17⋅6−2 ist x¹⁰⁰+1/x¹⁰⁰=−(x²+1/x²)=−1.
Und weshalb habe ich „im luftleeren Raum“ geschrieben? Es ist zwar schön, wie man durch allerlei Umformung auf das richtige Ergebnis kommt, doch hätte wenigstens mit einem Wort erwähnt werden müssen, daß im komplexen Zahlenraum zu rechnen ist, denn im reellen hat die Ausgangsgleichung wegen 0<√3<2 keine Lösung. Damit existieren auch die hundersten Potenzen nicht. Die Zielgruppe sind wohl Oberschüler aus der Mathematik-Arbeitsgemeinschaft oder eben Teilnehmer der Olympiade. Und zumindest letztere wären auch auf meine Lösung gekommen, hätten sich nicht totgerechnet.
[1] Brazil | can you solve?? | Tricky Solution | Olympiad Math Problem. Math Master TV, Youtube, April 2025.
... comment
