Rückzieher
wuerg, 17.11.2024 16:20
Plötzlich schlug Youtube mir eine Erläuterung des Backtrackings in der Informatik vor. Und wie ein KI‑System spontan und assoziativ zumeist zufälligerweise richtig liegt, so kam mir analog Backpropagating (edler mit -tion) in den Sinn, womit man Physik-Nobelpreise gewinnen kann, wenn man auch noch Boltzmann ins Spiel bringen kann.
Erweist sich etwas als falsch, kann ich das meinem Gefühl oder meinen Überlegungen anlasten und ihnen zukünftig skeptischer gegenüberstehen (backpropagation). Probiere ich einfach etwas aus und es scheitert, dann wird wohl das Gegenteil richtig sein (backtracking). Zwei schlichte Überlegungen, die von vielen Menschen gerne ignoriert werden, ohne bessere zu verwenden.
Backtracking in der Informatik als „Methode der Problemlösung“ besteht einfach darin, eine Aufgabe in mehrere Fälle zu teilen, um dies mit ihnen abermals und in der Folge immer und immer wieder zu tun, bis Erfolg oder Scheitern offenkundig wird, was man nach oben (back) meldet. Wieder an der Spitze angekommen ist dann das Problem gelöst oder auch nicht.
Ich frug mich, wie man diese simple Idee deutsch benennt. In der allwissenden Müllhalde fand ich holprige Wörter wie Rücksetzverfahren und Rückverfolgung. Glücklicherweise war Rückkopplung schon vergeben. Sinnvoll ist Tiefensuche (depth first search), weil die Unterfälle in die Tiefe führen, nicht nach oben oder in die Breite.
Man hätte auf einen eigenen Namen verzichten und Backtracking als eine Ausprägung von Versuch und Irrtum (trial and error) belassen können. Und geradezu edel ist die Beschreibung aus einer Zeit, da es weder Geschlechtskunde noch Informatik an Universitäten gab: Teile und herrsche. Dennoch habe ich für die Überschrift die witzige Google-Übersetzung gewählt: Rückzieher.
Doch Youtube wird mir das Filmchen eines Informatik-Jungspundes aus einem profaneren Grunde hochgepoppt haben, nämlich wegen Sudokus und deren Lösung durch Backtracking. Lang, breit und, wenn man es noch sagen darf, bis zur Vergasung erklärte er die Methode: Im ersten freien Feld alle Ziffern 1 bis 9 ausprobieren, um mit der gleichen Methode das so entstandene Sudoku mit einen freien Feld weniger zu lösen. So geht es weiter bis alle Felder ausgefüllt sind. Der Erfolg wird nach oben gemeldet, das Sodoku ist gelöst.
Da ich vor Jahren ein Programm nicht in der vorgestellten Brutalität (rekursiver Selbstaufruf), doch entlang dieser schlichten Idee schrieb, war ich der Meinung, dies sei die Brute-Force-Methode. Doch von dieser das Backtracking abwertenden Begrifflichkeit mußte sich der Youtuber absetzen und verstand darunter, bei n freien Feldern einfach alle 9 hoch n Belegungen durchzuprobieren.
Leider fand ich mein altes Programm nicht mehr und habe schnell ein neues erstellt, ohne rekursiv aufrufbare Platz und Zeit fressende ‚Methode‘, früher einfach Unterprogramm genannt. Geschrieben in Fortran IV hätte es weit vor der Erfindung des Sudoku, da mir allein Algol als rekursive Programmiersprache bekannt war, jedes Rätsel in bescheidener Laufzeit gelöst.
Langer Rede kurzer Sinn: Ich habe die vor Jahren hier betrachteten Sudoku durch mein Programm laufen lassen. Für eine erschöpfende Suche fielen normalerweise ein paar tausend Konfigurationen an. Bis zur Lösung ist davon mal weniger, mal mehr als die Hälfte abzuwickeln. Nur für dieses
Offensichtlich ist bei satten 38 vorgegebenen Feldern nicht nur der mittlere Block, sondern auch die erste Zeile schwach. Nur sieben Kombinationen reichten, im ersten freien Feld (Zeile 1, Spalte 2) alles außer der 5 auszuschließen. Für die 3 danach waren auch nur acht erforderlich, weshalb mit 254 begonnen werden muß. Glücklicherweise führte 2541 direkt (heute würde man sagen: linear) zur Lösung.
Natürlich wußte ich bereits, daß dieses Sudoku leicht durch reine Suche nach versteckten Einern zu lösen ist: Zunächst fallen alle fehlenden Einsen, dann die Zweien bis zu den Neunen. Ein weiterer Durchgang ist nicht erforderlich. Trotzdem hätte ich nie gerade mit der ersten Zeile begonnen, in der ja nur drei Ziffern gegeben sind.
Sudoku | Einer | Raster
Erweist sich etwas als falsch, kann ich das meinem Gefühl oder meinen Überlegungen anlasten und ihnen zukünftig skeptischer gegenüberstehen (backpropagation). Probiere ich einfach etwas aus und es scheitert, dann wird wohl das Gegenteil richtig sein (backtracking). Zwei schlichte Überlegungen, die von vielen Menschen gerne ignoriert werden, ohne bessere zu verwenden.
Backtracking in der Informatik als „Methode der Problemlösung“ besteht einfach darin, eine Aufgabe in mehrere Fälle zu teilen, um dies mit ihnen abermals und in der Folge immer und immer wieder zu tun, bis Erfolg oder Scheitern offenkundig wird, was man nach oben (back) meldet. Wieder an der Spitze angekommen ist dann das Problem gelöst oder auch nicht.
Ich frug mich, wie man diese simple Idee deutsch benennt. In der allwissenden Müllhalde fand ich holprige Wörter wie Rücksetzverfahren und Rückverfolgung. Glücklicherweise war Rückkopplung schon vergeben. Sinnvoll ist Tiefensuche (depth first search), weil die Unterfälle in die Tiefe führen, nicht nach oben oder in die Breite.
Man hätte auf einen eigenen Namen verzichten und Backtracking als eine Ausprägung von Versuch und Irrtum (trial and error) belassen können. Und geradezu edel ist die Beschreibung aus einer Zeit, da es weder Geschlechtskunde noch Informatik an Universitäten gab: Teile und herrsche. Dennoch habe ich für die Überschrift die witzige Google-Übersetzung gewählt: Rückzieher.
Doch Youtube wird mir das Filmchen eines Informatik-Jungspundes aus einem profaneren Grunde hochgepoppt haben, nämlich wegen Sudokus und deren Lösung durch Backtracking. Lang, breit und, wenn man es noch sagen darf, bis zur Vergasung erklärte er die Methode: Im ersten freien Feld alle Ziffern 1 bis 9 ausprobieren, um mit der gleichen Methode das so entstandene Sudoku mit einen freien Feld weniger zu lösen. So geht es weiter bis alle Felder ausgefüllt sind. Der Erfolg wird nach oben gemeldet, das Sodoku ist gelöst.
Da ich vor Jahren ein Programm nicht in der vorgestellten Brutalität (rekursiver Selbstaufruf), doch entlang dieser schlichten Idee schrieb, war ich der Meinung, dies sei die Brute-Force-Methode. Doch von dieser das Backtracking abwertenden Begrifflichkeit mußte sich der Youtuber absetzen und verstand darunter, bei n freien Feldern einfach alle 9 hoch n Belegungen durchzuprobieren.
Leider fand ich mein altes Programm nicht mehr und habe schnell ein neues erstellt, ohne rekursiv aufrufbare Platz und Zeit fressende ‚Methode‘, früher einfach Unterprogramm genannt. Geschrieben in Fortran IV hätte es weit vor der Erfindung des Sudoku, da mir allein Algol als rekursive Programmiersprache bekannt war, jedes Rätsel in bescheidener Laufzeit gelöst.
Langer Rede kurzer Sinn: Ich habe die vor Jahren hier betrachteten Sudoku durch mein Programm laufen lassen. Für eine erschöpfende Suche fielen normalerweise ein paar tausend Konfigurationen an. Bis zur Lösung ist davon mal weniger, mal mehr als die Hälfte abzuwickeln. Nur für dieses
+-------+-------+-------+ | 2 . . | . 7 8 | . . . | | 6 . 1 | . 9 . | . 4 5 | | . 9 . | . 4 . | 1 8 . | +-------+-------+-------+ | . . 7 | . 2 6 | 3 5 . | | . . 9 | 7 . . | . 1 6 | | 8 . 5 | . . 9 | . . . | +-------+-------+-------+ | . 7 . | 4 3 . | 2 . . | | . 1 2 | 5 8 . | 6 . 4 | | . 3 8 | 9 . . | . . 1 | +-------+-------+-------+Sudoku, an dessen mittleren Block ich erläuterte, wie man mit einfachen Mitteln einer Lösung näher kommen kann, ging es überraschend schnell:
0 - 2...78...6.1.9..45.9..4.18...7.2635...97...168.5..9....7.43.2...1258.6.4.389....1 1 - 24..78...6.1.9..45.9..4.18...7.2635...97...168.5..9....7.43.2...1258.6.4.389....1 2 - 243.78...6.1.9..45.9..4.18...7.2635...97...168.5..9....7.43.2...1258.6.4.389....1 3 - 243178...6.1.9..45.9..4.18...7.2635...97...168.5..9....7.43.2...1258.6.4.389....1 4 - 2431789..6.1.9..45.9..4.18...7.2635...97...168.5..9....7.43.2...1258.6.4.389....1 5 - 24317896.6.1.9..45.9..4.18...7.2635...97...168.5..9....7.43.2...1258.6.4.389....1 6 - 243678...6.1.9..45.9..4.18...7.2635...97...168.5..9....7.43.2...1258.6.4.389....1 7 - 2436789..6.1.9..45.9..4.18...7.2635...97...168.5..9....7.43.2...1258.6.4.389....1 8 - 25..78...6.1.9..45.9..4.18...7.2635...97...168.5..9....7.43.2...1258.6.4.389....1 9 - 253.78...6.1.9..45.9..4.18...7.2635...97...168.5..9....7.43.2...1258.6.4.389....1 10 - 253178...6.1.9..45.9..4.18...7.2635...97...168.5..9....7.43.2...1258.6.4.389....1 11 - 2531789..6.1.9..45.9..4.18...7.2635...97...168.5..9....7.43.2...1258.6.4.389....1 12 - 25317896.6.1.9..45.9..4.18...7.2635...97...168.5..9....7.43.2...1258.6.4.389....1 13 - 253678...6.1.9..45.9..4.18...7.2635...97...168.5..9....7.43.2...1258.6.4.389....1 14 - 2536789..6.1.9..45.9..4.18...7.2635...97...168.5..9....7.43.2...1258.6.4.389....1 15 - 254.78...6.1.9..45.9..4.18...7.2635...97...168.5..9....7.43.2...1258.6.4.389....1 16 - 254178...6.1.9..45.9..4.18...7.2635...97...168.5..9....7.43.2...1258.6.4.389....1 17 - 2541789..6.1.9..45.9..4.18...7.2635...97...168.5..9....7.43.2...1258.6.4.389....1 18 - 25417893.6.1.9..45.9..4.18...7.2635...97...168.5..9....7.43.2...1258.6.4.389....1 19 - 25417896.6.1.9..45.9..4.18...7.2635...97...168.5..9....7.43.2...1258.6.4.389....1 20 - 2541789636.1.9..45.9..4.18...7.2635...97...168.5..9....7.43.2...1258.6.4.389....1 21 - 254178963681.9..45.9..4.18...7.2635...97...168.5..9....7.43.2...1258.6.4.389....1 22 - 25417896368129..45.9..4.18...7.2635...97...168.5..9....7.43.2...1258.6.4.389....1 23 - 254178963681293.45.9..4.18...7.2635...97...168.5..9....7.43.2...1258.6.4.389....1 24 - 254178963681293745.9..4.18...7.2635...97...168.5..9....7.43.2...1258.6.4.389....1 25 - 25417896368129374539..4.18...7.2635...97...168.5..9....7.43.2...1258.6.4.389....1 26 - 25417896368129374579..4.18...7.2635...97...168.5..9....7.43.2...1258.6.4.389....1 27 - 254178963681293745793.4.18...7.2635...97...168.5..9....7.43.2...1258.6.4.389....1 28 - 25417896368129374579364.18...7.2635...97...168.5..9....7.43.2...1258.6.4.389....1 29 - 25417896368129374579364518...7.2635...97...168.5..9....7.43.2...1258.6.4.389....1 30 - 254178963681293745793645182..7.2635...97...168.5..9....7.43.2...1258.6.4.389....1 31 - 2541789636812937457936451821.7.2635...97...168.5..9....7.43.2...1258.6.4.389....1 32 - 254178963681293745793645182147.2635...97...168.5..9....7.43.2...1258.6.4.389....1 33 - 25417896368129374579364518214782635...97...168.5..9....7.43.2...1258.6.4.389....1 34 - 254178963681293745793645182147826359..97...168.5..9....7.43.2...1258.6.4.389....1 35 - 2541789636812937457936451821478263593.97...168.5..9....7.43.2...1258.6.4.389....1 36 - 2541789636812937457936451821478263593297...168.5..9....7.43.2...1258.6.4.389....1 37 - 25417896368129374579364518214782635932975..168.5..9....7.43.2...1258.6.4.389....1 38 - 254178963681293745793645182147826359329754.168.5..9....7.43.2...1258.6.4.389....1 39 - 2541789636812937457936451821478263593297548168.5..9....7.43.2...1258.6.4.389....1 40 - 254178963681293745793645182147826359329754816865..9....7.43.2...1258.6.4.389....1 41 - 2541789636812937457936451821478263593297548168653.9....7.43.2...1258.6.4.389....1 42 - 254178963681293745793645182147826359329754816865319....7.43.2...1258.6.4.389....1 43 - 2541789636812937457936451821478263593297548168653194...7.43.2...1258.6.4.389....1 44 - 25417896368129374579364518214782635932975481686531942..7.43.2...1258.6.4.389....1 45 - 254178963681293745793645182147826359329754816865319427.7.43.2...1258.6.4.389....1 46 - 25417896368129374579364518214782635932975481686531942757.43.2...1258.6.4.389....1 47 - 25417896368129374579364518214782635932975481686531942757643.2...1258.6.4.389....1 48 - 2541789636812937457936451821478263593297548168653194275764312...1258.6.4.389....1 49 - 25417896368129374579364518214782635932975481686531942757643129..1258.6.4.389....1 50 - 254178963681293745793645182147826359329754816865319427576431298.1258.6.4.389....1 51 - 25417896368129374579364518214782635932975481686531942757643129891258.6.4.389....1 52 - 2541789636812937457936451821478263593297548168653194275764312989125876.4.389....1 53 - 254178963681293745793645182147826359329754816865319427576431298912587634.389....1 54 - 2541789636812937457936451821478263593297548168653194275764312989125876344389....1 55 - 25417896368129374579364518214782635932975481686531942757643129891258763443896...1 56 - 254178963681293745793645182147826359329754816865319427576431298912587634438962..1 57 - 2541789636812937457936451821478263593297548168653194275764312989125876344389625.1 58 - 254178963681293745793645182147826359329754816865319427576431298912587634438962571 59 - 25417896368129374579364518214782635932975481686531942797.43.2...1258.6.4.389....1 60 - 25417896368129374579364518214782635932975481686531942797643.2...1258.6.4.389....1 61 - 2541789636812937457936451821478263593297548168653194279764312...1258.6.4.389....1 62 - 25417896368129374579364518214782635932975481686531947..7.43.2...1258.6.4.389....1 63 - 2541789636812937457936451824.7.2635...97...168.5..9....7.43.2...1258.6.4.389....1 64 - 25417896368139..45.9..4.18...7.2635...97...168.5..9....7.43.2...1258.6.4.389....1 65 - 254178963681392.45.9..4.18...7.2635...97...168.5..9....7.43.2...1258.6.4.389....1 66 - 254178963681392745.9..4.18...7.2635...97...168.5..9....7.43.2...1258.6.4.389....1 67 - 25417896368139274539..4.18...7.2635...97...168.5..9....7.43.2...1258.6.4.389....1 68 - 25417896368139274579..4.18...7.2635...97...168.5..9....7.43.2...1258.6.4.389....1 69 - 254178963681392745793.4.18...7.2635...97...168.5..9....7.43.2...1258.6.4.389....1 70 - 25417896368139274579364.18...7.2635...97...168.5..9....7.43.2...1258.6.4.389....1 71 - 25417896368139274579364518...7.2635...97...168.5..9....7.43.2...1258.6.4.389....1 72 - 254178963681392745793645182..7.2635...97...168.5..9....7.43.2...1258.6.4.389....1 73 - 2541789636813927457936451821.7.2635...97...168.5..9....7.43.2...1258.6.4.389....1 74 - 254178963681392745793645182147.2635...97...168.5..9....7.43.2...1258.6.4.389....1 75 - 25417896368139274579364518214782635...97...168.5..9....7.43.2...1258.6.4.389....1 76 - 254178963681392745793645182147826359..97...168.5..9....7.43.2...1258.6.4.389....1 77 - 2541789636813927457936451821478263593.97...168.5..9....7.43.2...1258.6.4.389....1 78 - 2541789636813927457936451821478263593297...168.5..9....7.43.2...1258.6.4.389....1 79 - 25417896368139274579364518214782635932975..168.5..9....7.43.2...1258.6.4.389....1 80 - 254178963681392745793645182147826359329754.168.5..9....7.43.2...1258.6.4.389....1 81 - 2541789636813927457936451821478263593297548168.5..9....7.43.2...1258.6.4.389....1 82 - 254178963681392745793645182147826359329754816865..9....7.43.2...1258.6.4.389....1 83 - 2541789636813927457936451824.7.2635...97...168.5..9....7.43.2...1258.6.4.389....1 84 - 254378...6.1.9..45.9..4.18...7.2635...97...168.5..9....7.43.2...1258.6.4.389....1 85 - 2543789..6.1.9..45.9..4.18...7.2635...97...168.5..9....7.43.2...1258.6.4.389....1 86 - 25437896.6.1.9..45.9..4.18...7.2635...97...168.5..9....7.43.2...1258.6.4.389....1 87 - 254678...6.1.9..45.9..4.18...7.2635...97...168.5..9....7.43.2...1258.6.4.389....1 88 - 2546789..6.1.9..45.9..4.18...7.2635...97...168.5..9....7.43.2...1258.6.4.389....1 89 - 25467893.6.1.9..45.9..4.18...7.2635...97...168.5..9....7.43.2...1258.6.4.389....1
Offensichtlich ist bei satten 38 vorgegebenen Feldern nicht nur der mittlere Block, sondern auch die erste Zeile schwach. Nur sieben Kombinationen reichten, im ersten freien Feld (Zeile 1, Spalte 2) alles außer der 5 auszuschließen. Für die 3 danach waren auch nur acht erforderlich, weshalb mit 254 begonnen werden muß. Glücklicherweise führte 2541 direkt (heute würde man sagen: linear) zur Lösung.
Natürlich wußte ich bereits, daß dieses Sudoku leicht durch reine Suche nach versteckten Einern zu lösen ist: Zunächst fallen alle fehlenden Einsen, dann die Zweien bis zu den Neunen. Ein weiterer Durchgang ist nicht erforderlich. Trotzdem hätte ich nie gerade mit der ersten Zeile begonnen, in der ja nur drei Ziffern gegeben sind.
Sudoku | Einer | Raster
... comment
wuerg,
19.11.2024 22:09
Geht denn das immer so flott mit dem Computer? Ja und nein. Ja, weil moderne Rechner sehr schnell sind und selbst eine 80‑fach geschachtelte Rekursion bewältigen. Nein, weil nicht nur schwere, sondern auch recht leichte Sudoku deutlich mehr Schritte benötigen, weit über zehntausend. Hier ein von mir im Jahre 2006 betrachtetes Sudoku:
Daß dies auch auf einem bescheidenen Notebook ruckzuck geht, sollte nicht dazu verleiten, auf diese Weise ein leeres Sudoku lösen zu lassen, um so ihre Gesamtzahl zu bestimmen, denn es sind n=6.670.903.752.021.072.936.960. Selbst wenn man nur die mit 123456789 beginnenden Lösungen ermittelt, sind es immer noch n/9!=18.393.222.420.692.992, was selbst bei einer Milliarde Lösungen pro Sekunde noch sieben Monate dauert. Es ist deshalb erforderlich, weitere Reduktionen zu finden und in Arbeit ausartende Unterfälle zu betrachten [2].
Eine schwerer zu beantwortende Frage ist die nach der Anzahl der reduzierten Sudokus, also der Äquivalenzklassen unter folgenden Umordnungen: Permutation der Ziffern, Vertauschung der horizontalen und vertikalen 3×9‑Bänder, Vertauschung der drei Zeilen bzw. Spalten in diesen Bändern, Drehung um 90 Grad, Spiegelung an einer Diagonalen. Davon gibt es 5.472.730.538. Teile ich die 6 Trilliarden Sudokus durch diese Zahl, komme ich auf 1.218.935.261,112. Warum keine ganze Zahl? Weil einige wenige Äquivalenzklassen dank Symmetrie ihrer Sudokus kleiner sind als 9!⋅2⋅3=1.218.998.108.160, der Maximalzahl äquivalenter Sudokus. Das macht die Berechnungen so kompliziert. [3]
[1] Von einem Sudoku ist natürlich gefordert, daß es genau eine Lösung hat. Es gilt aber als unschön, dieses Wissen auszunutzen, insbesondere eine Ziffer zu setzen, weil es andernfalls zwei Lösungen geben muß.
[2] Felgenhauer, Jarvis: There are 6670903752021072936960 Sudoku grids. 2005.
[3] Russel, Jarvis: There are 5472730538 essentially different Sudoku grids … and the Sudoku symmetry group. 2005.
+-------+-------+-------+ | 1 . . | . 6 . | . . 5 | | . 8 . | 9 . 3 | . 1 . | | . . 7 | . . . | 8 . . | +-------+-------+-------+ | . 7 . | . 4 . | . 9 . | | 5 . . | 7 . 1 | . . 6 | | . 6 . | . 3 . | . 7 . | +-------+-------+-------+ | . . 3 | . . . | 9 . . | | . 1 . | 3 . 9 | . 4 . | | 9 . . | . 2 . | . . 1 | +-------+-------+-------+Erst nach 25.551 Schritten in die Tiefe und Breite wurde die Lösung gefunden. Die Gesamtsuche nach allen Lösungen [1] benötigte mit 28.745 kaum mehr, weil das erste zu ermittelnde Feld eine 9 erfordert.
0 - 1...6...5.8.9.3.1...7...8...7..4..9.5..7.1..6.6..3..7...3...9...1.3.9.4.9...2...1
1 - 12..6...5.8.9.3.1...7...8...7..4..9.5..7.1..6.6..3..7...3...9...1.3.9.4.9...2...1
..
5723 - 13..6...5.8.9.3.1...7...8...7..4..9.5..7.1..6.6..3..7...3...9...1.3.9.4.9...2...1
..
8132 - 14..6...5.8.9.3.1...7...8...7..4..9.5..7.1..6.6..3..7...3...9...1.3.9.4.9...2...1
..
14860 - 19..6...5.8.9.3.1...7...8...7..4..9.5..7.1..6.6..3..7...3...9...1.3.9.4.9...2...1
14861 - 192.6...5.8.9.3.1...7...8...7..4..9.5..7.1..6.6..3..7...3...9...1.3.9.4.9...2...1
...
20953 - 194.6...5.8.9.3.1...7...8...7..4..9.5..7.1..6.6..3..7...3...9...1.3.9.4.9...2...1
20954 - 19426...5.8.9.3.1...7...8...7..4..9.5..7.1..6.6..3..7...3...9...1.3.9.4.9...2...1
....
23740 - 19486...5.8.9.3.1...7...8...7..4..9.5..7.1..6.6..3..7...3...9...1.3.9.4.9...2...1
23741 - 194862..5.8.9.3.1...7...8...7..4..9.5..7.1..6.6..3..7...3...9...1.3.9.4.9...2...1
23742 - 1948623.5.8.9.3.1...7...8...7..4..9.5..7.1..6.6..3..7...3...9...1.3.9.4.9...2...1
23743 - 1948627.5.8.9.3.1...7...8...7..4..9.5..7.1..6.6..3..7...3...9...1.3.9.4.9...2...1
23744 - 194862735.8.9.3.1...7...8...7..4..9.5..7.1..6.6..3..7...3...9...1.3.9.4.9...2...1
23745 - 19486273528.9.3.1...7...8...7..4..9.5..7.1..6.6..3..7...3...9...1.3.9.4.9...2...1
..........
24421 - 19486273568.9.3.1...7...8...7..4..9.5..7.1..6.6..3..7...3...9...1.3.9.4.9...2...1
24422 - 1948627356829.3.1...7...8...7..4..9.5..7.1..6.6..3..7...3...9...1.3.9.4.9...2...1
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24427 - 1948627356859.3.1...7...8...7..4..9.5..7.1..6.6..3..7...3...9...1.3.9.4.9...2...1
24428 - 194862735685973.1...7...8...7..4..9.5..7.1..6.6..3..7...3...9...1.3.9.4.9...2...1
24429 - 19486273568597321...7...8...7..4..9.5..7.1..6.6..3..7...3...9...1.3.9.4.9...2...1
24430 - 194862735685973214..7...8...7..4..9.5..7.1..6.6..3..7...3...9...1.3.9.4.9...2...1
24431 - 1948627356859732142.7...8...7..4..9.5..7.1..6.6..3..7...3...9...1.3.9.4.9...2...1
...................
24959 - 1948627356859732143.7...8...7..4..9.5..7.1..6.6..3..7...3...9...1.3.9.4.9...2...1
24960 - 194862735685973214327...8...7..4..9.5..7.1..6.6..3..7...3...9...1.3.9.4.9...2...1
24961 - 1948627356859732143271..8...7..4..9.5..7.1..6.6..3..7...3...9...1.3.9.4.9...2...1
......................
25283 - 1948627356859732143274..8...7..4..9.5..7.1..6.6..3..7...3...9...1.3.9.4.9...2...1
......................
25477 - 1948627356859732143275..8...7..4..9.5..7.1..6.6..3..7...3...9...1.3.9.4.9...2...1
25478 - 19486273568597321432751.8...7..4..9.5..7.1..6.6..3..7...3...9...1.3.9.4.9...2...1
25479 - 1948627356859732143275158...7..4..9.5..7.1..6.6..3..7...3...9...1.3.9.4.9...2...1
25480 - 19486273568597321432751486..7..4..9.5..7.1..6.6..3..7...3...9...1.3.9.4.9...2...1
25481 - 194862735685973214327514869.7..4..9.5..7.1..6.6..3..7...3...9...1.3.9.4.9...2...1
25482 - 19486273568597321432751486927..4..9.5..7.1..6.6..3..7...3...9...1.3.9.4.9...2...1
25483 - 194862735685973214327514869271.4..9.5..7.1..6.6..3..7...3...9...1.3.9.4.9...2...1
25484 - 19486273568597321432751486927164..9.5..7.1..6.6..3..7...3...9...1.3.9.4.9...2...1
25485 - 194862735685973214327514869271645.9.5..7.1..6.6..3..7...3...9...1.3.9.4.9...2...1
.................................
25512 - 194862735685973214327514869271648.9.5..7.1..6.6..3..7...3...9...1.3.9.4.9...2...1
25513 - 19486273568597321432751486927164839.5..7.1..6.6..3..7...3...9...1.3.9.4.9...2...1
25514 - 19486273568597321432751486927164859.5..7.1..6.6..3..7...3...9...1.3.9.4.9...2...1
25515 - 1948627356859732143275148692716485935..7.1..6.6..3..7...3...9...1.3.9.4.9...2...1
25516 - 19486273568597321432751486927164859353.7.1..6.6..3..7...3...9...1.3.9.4.9...2...1
25517 - 1948627356859732143275148692716485935387.1..6.6..3..7...3...9...1.3.9.4.9...2...1
25518 - 194862735685973214327514869271648593538791..6.6..3..7...3...9...1.3.9.4.9...2...1
25519 - 1948627356859732143275148692716485935387914.6.6..3..7...3...9...1.3.9.4.9...2...1
25520 - 194862735685973214327514869271648593538791426.6..3..7...3...9...1.3.9.4.9...2...1
25521 - 19486273568597321432751486927164859353879142646..3..7...3...9...1.3.9.4.9...2...1
25522 - 194862735685973214327514869271648593538791426469.3..7...3...9...1.3.9.4.9...2...1
25523 - 19486273568597321432751486927164859353879142646923..7...3...9...1.3.9.4.9...2...1
25524 - 194862735685973214327514869271648593538791426469235.7...3...9...1.3.9.4.9...2...1
25525 - 19486273568597321432751486927164859353879142646923517...3...9...1.3.9.4.9...2...1
25526 - 194862735685973214327514869271648593538791426469235178..3...9...1.3.9.4.9...2...1
25527 - 1948627356859732143275148692716485935387914264692351787.3...9...1.3.9.4.9...2...1
25528 - 194862735685973214327514869271648593538791426469235178743...9...1.3.9.4.9...2...1
25529 - 1948627356859732143275148692716485935387914264692351787431..9...1.3.9.4.9...2...1
25530 - 19486273568597321432751486927164859353879142646923517874315.9...1.3.9.4.9...2...1
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25537 - 19486273568597321432751486927164859353879142646923517874318.9...1.3.9.4.9...2...1
25538 - 1948627356859732143275148692716485935387914264692351787431869...1.3.9.4.9...2...1
25539 - 19486273568597321432751486927164859353879142646923517874318695..1.3.9.4.9...2...1
25540 - 194862735685973214327514869271648593538791426469235178743186952.1.3.9.4.9...2...1
25541 - 19486273568597321432751486927164859353879142646923517874318695281.3.9.4.9...2...1
25542 - 1948627356859732143275148692716485935387914264692351787431869528123.9.4.9...2...1
25543 - 194862735685973214327514869271648593538791426469235178743186952812359.4.9...2...1
25544 - 19486273568597321432751486927164859353879142646923517874318695281235964.9...2...1
25545 - 1948627356859732143275148692716485935387914264692351787431869528123596479...2...1
25546 - 19486273568597321432751486927164859353879142646923517874318695281235964795..2...1
25547 - 194862735685973214327514869271648593538791426469235178743186952812359647956.2...1
25548 - 19486273568597321432751486927164859353879142646923517874318695281235964795642...1
25549 - 194862735685973214327514869271648593538791426469235178743186952812359647956427..1
25550 - 1948627356859732143275148692716485935387914264692351787431869528123596479564273.1
25551 - 194862735685973214327514869271648593538791426469235178743186952812359647956427381
Daß dies auch auf einem bescheidenen Notebook ruckzuck geht, sollte nicht dazu verleiten, auf diese Weise ein leeres Sudoku lösen zu lassen, um so ihre Gesamtzahl zu bestimmen, denn es sind n=6.670.903.752.021.072.936.960. Selbst wenn man nur die mit 123456789 beginnenden Lösungen ermittelt, sind es immer noch n/9!=18.393.222.420.692.992, was selbst bei einer Milliarde Lösungen pro Sekunde noch sieben Monate dauert. Es ist deshalb erforderlich, weitere Reduktionen zu finden und in Arbeit ausartende Unterfälle zu betrachten [2].
Eine schwerer zu beantwortende Frage ist die nach der Anzahl der reduzierten Sudokus, also der Äquivalenzklassen unter folgenden Umordnungen: Permutation der Ziffern, Vertauschung der horizontalen und vertikalen 3×9‑Bänder, Vertauschung der drei Zeilen bzw. Spalten in diesen Bändern, Drehung um 90 Grad, Spiegelung an einer Diagonalen. Davon gibt es 5.472.730.538. Teile ich die 6 Trilliarden Sudokus durch diese Zahl, komme ich auf 1.218.935.261,112. Warum keine ganze Zahl? Weil einige wenige Äquivalenzklassen dank Symmetrie ihrer Sudokus kleiner sind als 9!⋅2⋅3=1.218.998.108.160, der Maximalzahl äquivalenter Sudokus. Das macht die Berechnungen so kompliziert. [3]
[1] Von einem Sudoku ist natürlich gefordert, daß es genau eine Lösung hat. Es gilt aber als unschön, dieses Wissen auszunutzen, insbesondere eine Ziffer zu setzen, weil es andernfalls zwei Lösungen geben muß.
[2] Felgenhauer, Jarvis: There are 6670903752021072936960 Sudoku grids. 2005.
[3] Russel, Jarvis: There are 5472730538 essentially different Sudoku grids … and the Sudoku symmetry group. 2005.
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wuerg,
23.11.2024 23:24
Alle 6 Triliarden vollständigen Sudokus zu ermitteln oder nur ihre Anzahl zu bestimmen, übersteigt nicht nur die Fähigkeiten meines Programmes und meines Rechners. Deshalb habe ich es modifiziert, um solche auch Rudoku genannten mit nur 6×6 Feldern und 2×3‑Blöcken zu lösen. Für
Sieht man Sudokus, die durch Vertauschung der Ziffern, der senkrechten und waagerechten Streifen sowie der Zeilen und Spalten innerhalb dieser Streifen als gleich an, so bleiben genau diese 816 reduzierten Lösungen. Die insgesamt 816 Äquivalenzklassen sind alle gleich groß und umfassen jeweils 34560 Lösungen.
Die Übereinstimmung der Theorie [1] mit meinen Zahlen ist mir deshalb wichtig, weil dadurch die Korrektheit meines Programmes zwar nicht bewiesen, aber plausibler wird, obwohl mich ein Fehler entsetzte, nämlich die Löschung eines besetzten Feldes der Anfangskonfiguration. Glücklicherweise trat er nicht im Original auf, sondern war durch einen falschen Sprung im eingefügten Rankwerk verursacht, das mir die Ausgabe verschönern sollte. [2]
[1] Jones, Perkins, Roach: On the Numbers of 6 × 6 Sudoku Grids. Journal of Combinatorial Mathematics and Combinatorial Computing 89:33–44, August 2014.
[2] Das hielt mich Stunden hin, obgleich ich schnell vermutete, daß der Fehler durch eine Feldüberschreitung verursacht ist. Tatsächlich wurde durch einen falschen Sprung eine Variable über 81 hinaus gezählt, wodurch nachfolgende Speicherbereiche zerstört wurden. Aber ich bin nicht nur ob meiner erfolgreichen Suche zufrieden, sondern auch wegen der damit verbundenen Erinnerungen an mein Arbeitsleben, dem Auffinden von Fehlern, am liebsten in Compilern und anderer teurer Software, aber auch mathematischen Beweisen.
+-------+-------+ | 1 2 3 | 4 5 6 | | 4 5 6 | . . . | +-------+-------+ | . 1 . | . . . | | . . . | . . . | +-------+-------+ | . . 1 | . . . | | . . . | . . . | +-------+-------+kam ich nach Durchzählen von 14.845 Kombinationen auf 816 Lösungen. Die Gesamtzahl der Lösungen liegt mit 28.300.960 um den Faktor 6!⋅6⋅8=34560 höher, weil ohne Änderung der Anzahl folgendes möglich ist: Die Ziffern des linken oberen Blockes können frei permutiert werden (6!), durch Vertauschung der rechten drei Spalten können die letzten drei Ziffern der ersten Zeile den ersten drei der zweiten Zeile gleich gewählt werden (3!), und die Ziffer der linken oberen Ecke (hier 1) hat im linken Streifen genau 8 Möglichkeiten, die wegen Zeilenvertauschungen alle auf gleich viele Lösungen führen müssen.
Sieht man Sudokus, die durch Vertauschung der Ziffern, der senkrechten und waagerechten Streifen sowie der Zeilen und Spalten innerhalb dieser Streifen als gleich an, so bleiben genau diese 816 reduzierten Lösungen. Die insgesamt 816 Äquivalenzklassen sind alle gleich groß und umfassen jeweils 34560 Lösungen.
Die Übereinstimmung der Theorie [1] mit meinen Zahlen ist mir deshalb wichtig, weil dadurch die Korrektheit meines Programmes zwar nicht bewiesen, aber plausibler wird, obwohl mich ein Fehler entsetzte, nämlich die Löschung eines besetzten Feldes der Anfangskonfiguration. Glücklicherweise trat er nicht im Original auf, sondern war durch einen falschen Sprung im eingefügten Rankwerk verursacht, das mir die Ausgabe verschönern sollte. [2]
[1] Jones, Perkins, Roach: On the Numbers of 6 × 6 Sudoku Grids. Journal of Combinatorial Mathematics and Combinatorial Computing 89:33–44, August 2014.
[2] Das hielt mich Stunden hin, obgleich ich schnell vermutete, daß der Fehler durch eine Feldüberschreitung verursacht ist. Tatsächlich wurde durch einen falschen Sprung eine Variable über 81 hinaus gezählt, wodurch nachfolgende Speicherbereiche zerstört wurden. Aber ich bin nicht nur ob meiner erfolgreichen Suche zufrieden, sondern auch wegen der damit verbundenen Erinnerungen an mein Arbeitsleben, dem Auffinden von Fehlern, am liebsten in Compilern und anderer teurer Software, aber auch mathematischen Beweisen.
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wuerg,
02.12.2024 20:48
Nach den 6×6‑Sudokus nun die mit nur 4×4 Feldern, die natürlich einfacher sind, wenn man von einer Kleinigkeit absieht: Im Gegensatz zu denen mit 6×6 kann man sie wie die 9×9‑Sudokus auch diagonal spiegeln und um 90° drehen.
Mein Programm für solche 4×4‑Sudokus modifiziert liefert 288 Lösungen. Jeweils 4!=24 gehen durch Ziffernvertauschung auseinander hervor. Es gibt also maximal 288/24=12 Äquivalenzklassen unter Vertauschung von 2×4‑Streifen, den beiden Zeilen bzw. Spalten darin, Spiegelung um die beiden Diagonalen und Mittenlinien, Drehungen um 90, 180 und 270 Grad sowie Ziffernvertauschungen. Die 12 Lösungen des linken Sodukos
Dazu bleibt zu zeigen, daß keine der betrachteten Transformationen aus der ersten Gruppe herausführt. Damit es nicht in Arbeit ausartet, eine Überlegung, die in solchen Lagen des öfteren hilft: Hat man ein vollständiges Sudoku, so kann man die vier Matrizen betrachten, in denen eine der vier Ziffern durch 1, die übrigen durch 0 ersetzt sind. Die entstehenden Permutationsmatrizen haben alle eine Determinate +1 oder −1, wodurch jedem Sudoku eine Signatur aus diesen vier Vorzeichen zugeordnet werden kann. Für die drei wiedergegebenen lauten sie (−,−,−,−), (+,+,−,−) und (+,−+,−). Eine Permutation der Ziffern vertauscht nur die Reihenfolge dieser Vorzeichen. Alle anderen Transformationen wechseln alle Vorzeichen oder keines. Damit haben alle 96 Sudoku der ersten Klasse eine Signatur aus vier gleichen Vorzeichen, während die übrigen 192 eine gemischte haben. Ein Übergang zwischen ihnen ist also nicht möglich.
Erst nach diesen Überlegungen habe ich im Internet nach einer Bestätigung meines Ergebnisses gesucht und nach etwas Mühe im Internet auch gefunden. [1] Es ist insofern bemerkenswert, als schon bei einem 4×4‑Sudoku die Klassen äquivalenter Lösungen nicht gleich groß sind.
[1] Kyle Oddson: Math and Sudoku. 2016.
Mein Programm für solche 4×4‑Sudokus modifiziert liefert 288 Lösungen. Jeweils 4!=24 gehen durch Ziffernvertauschung auseinander hervor. Es gibt also maximal 288/24=12 Äquivalenzklassen unter Vertauschung von 2×4‑Streifen, den beiden Zeilen bzw. Spalten darin, Spiegelung um die beiden Diagonalen und Mittenlinien, Drehungen um 90, 180 und 270 Grad sowie Ziffernvertauschungen. Die 12 Lösungen des linken Sodukos
+-----+-----+ +-----+-----+ | 1 2 | . . | | 1 2 | 3 4 | | 3 4 | . . | | 3 4 | . . | +-----+-----+ +-----+-----+ | . . | . . | | 2 . | 4 . | | . . | . . | | 4 . | . . | +-----+-----+ +-----+-----+stehen für 12 Stellvertreter dieser Gruppen, die in Wahrheit höchsten drei sein können, denn durch Vertauschung der Zeilen bzw. Spalten 3 und 4 entstehen je vier äquivalente Lösungen, weshalb das rechte nur noch diese drei aufweist
+-----+-----+ +-----+-----+ +-----+-----+ | 1 2 | 3 4 | | 1 2 | 3 4 | | 1 2 | 3 4 | | 3 4 | 1 2 | | 3 4 | 2 1 | | 3 4 | 1 2 | +-----+-----+ +-----+-----+ +-----+-----+ | 2 1 | 4 3 | | 2 1 | 4 3 | | 2 3 | 4 1 | | 4 3 | 2 1 | | 4 3 | 1 2 | | 4 1 | 2 3 | +-----+-----+ +-----+-----+ +-----+-----+die für jeweils 96 äquivalente Sodokus stehen. Wer die nötige Motivation aufbringt, kann das mittlere Sudoku um die Diagonale von links oben nach rechts unten spiegeln, die 2 mit der 3 vertauschen und erhält das rechte. Es ist also der augenscheinliche Verdacht bestätigt, die 288 Sudoku gliederten sich in zwei Klassen, eine mit 96 Lösungen, zu denen das linke gehört, und eine mit den 192 restlichen.
Dazu bleibt zu zeigen, daß keine der betrachteten Transformationen aus der ersten Gruppe herausführt. Damit es nicht in Arbeit ausartet, eine Überlegung, die in solchen Lagen des öfteren hilft: Hat man ein vollständiges Sudoku, so kann man die vier Matrizen betrachten, in denen eine der vier Ziffern durch 1, die übrigen durch 0 ersetzt sind. Die entstehenden Permutationsmatrizen haben alle eine Determinate +1 oder −1, wodurch jedem Sudoku eine Signatur aus diesen vier Vorzeichen zugeordnet werden kann. Für die drei wiedergegebenen lauten sie (−,−,−,−), (+,+,−,−) und (+,−+,−). Eine Permutation der Ziffern vertauscht nur die Reihenfolge dieser Vorzeichen. Alle anderen Transformationen wechseln alle Vorzeichen oder keines. Damit haben alle 96 Sudoku der ersten Klasse eine Signatur aus vier gleichen Vorzeichen, während die übrigen 192 eine gemischte haben. Ein Übergang zwischen ihnen ist also nicht möglich.
Erst nach diesen Überlegungen habe ich im Internet nach einer Bestätigung meines Ergebnisses gesucht und nach etwas Mühe im Internet auch gefunden. [1] Es ist insofern bemerkenswert, als schon bei einem 4×4‑Sudoku die Klassen äquivalenter Lösungen nicht gleich groß sind.
[1] Kyle Oddson: Math and Sudoku. 2016.
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wuerg,
03.01.2025 21:32
Mit der Adventszeit ist mir das Lösen von Sudokus mit brutaler Rekursion etwas eingeschlafen. Nun aber wurde der Verdacht aufgebracht, meine Hard- und Software sei in die Jahre gekommen und ranzig. Deshalb hier mein Programm, das vor 50 Jahren zwar langsamer, aber ohne Murren gelaufen wäre.
IMPlICIT INTEGER (A-Z)
INTEGER A(81),B(81)
READ(*,100) A
DO 10 Q=1,81
10 B(Q)=A(Q)
P=0
20 P=P+1
IF(P.GT.81) GOTO 55
IF(A(P).GT.0) GOTO 20
N=0
30 N=N+1
IF(N.GT.9) GOTO 50
K=P-1
I=K/9
J=K-9*I
K=3*(I/3)+J/3
Q=0
40 Q=Q+1
IF(B(Q).NE.N) GOTO 45
KK=Q-1
II=KK/9
IF(II.EQ.I) GOTO 30
JJ=KK-9*II
IF(JJ.EQ.J) GOTO 30
KK=3*(II/3)+JJ/3
IF(KK.EQ.K) GOTO 30
45 IF(Q.lT.81) GOTO 40
B(P)=N
WRITE(*,100) B
GOTO 20
50 B(P)=0
55 P=P-1
IF(P.lE.0) STOP
IF(A(P).NE.0) GOTO 55
N=B(P)
IF(N.lT.9) GOTO 30
GOTO 50
100 FORMAT(81I1)
END
Natürlich habe ich noch ein weiteres Programm mit etwas Rankwerk, um die Schritte zu zählen, Punkte statt Nullen zu verarbeiten und Sudoku-Felder darzustellen, mit dem ich meine bisherigen Listen erstellt habe.
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fritz_,
03.01.2025 23:28
Es sieht so ähnlich aus, wenn man einer Maschine sagt, wo sie hobeln soll. Mit Abfragen und Loops und Verzweigungen und Stopbedingungen usw.
Für manche Software, je nach Alter und Dongle, braucht man den alten Rechner unbedingt, bis er stirbt. Alter Rechner kann nicht mit neuerer Version der Software, ein neuer Rechner nicht mit der Lizenz der älteren Software. Es macht Laune, wenn man 50 Varianten von Software-Rechner-Kombis in der Firma hat, jede mit einer anderen Spezialmacke, das in der Theorie aber die gleiche Software ist.
Für manche Software, je nach Alter und Dongle, braucht man den alten Rechner unbedingt, bis er stirbt. Alter Rechner kann nicht mit neuerer Version der Software, ein neuer Rechner nicht mit der Lizenz der älteren Software. Es macht Laune, wenn man 50 Varianten von Software-Rechner-Kombis in der Firma hat, jede mit einer anderen Spezialmacke, das in der Theorie aber die gleiche Software ist.
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wuerg,
04.01.2025 00:29
Was nützt es einem, wenn man in der Theorie „die gleiche Software“ nutzt, sie aber einfach nicht funktioniert oder der Lizenzserver eine negative Schufa-Auskunft erteilt. Was mein Programm betrifft: Es wäre vor 50 Jahren gelaufen, und es wird auch in 50 Jahren zwar nicht auf jedem Rechner, aber auf vernünftigen kompilierbar sein und seine Arbeit zuverlässig verrichten.
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fritz_,
05.01.2025 17:29
In dem Fall spielen Lizenzserver keine Rolle, sondern die Lizenz steckt im Dongle. Der schaltet den Softwarestand frei, der beim Kauf der Lizenz existiert.
Die Programme puzzelt man nicht unbedingt an der konkreten Maschine, sondern da, wo es ruhiger ist, wo die Kaffeetasse steht und ein Rechner mit großem Bildschirm.
Irgendwann bei Bedarf wird es auf eine bestimmte Maschine gespielt, und es entsteht große Heiterkeit, wenn die Softwareversion vor Ort, weil sie von 1780 ist, irgendeine tausendfach verwendete Syntax nicht kennt, zwei linke Hände hat und daran alles Daumen.
Die Programme puzzelt man nicht unbedingt an der konkreten Maschine, sondern da, wo es ruhiger ist, wo die Kaffeetasse steht und ein Rechner mit großem Bildschirm.
Irgendwann bei Bedarf wird es auf eine bestimmte Maschine gespielt, und es entsteht große Heiterkeit, wenn die Softwareversion vor Ort, weil sie von 1780 ist, irgendeine tausendfach verwendete Syntax nicht kennt, zwei linke Hände hat und daran alles Daumen.
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wuerg,
06.01.2025 18:35
Schön, wenn in Ihrem Falle kein externer Lizenzserver mitredet. Leider aber mußte ich sehen, wie Anwendungen über Tage nicht liefen, weil die Lizenz abgelaufen war, neue beschafft, berafft und eingespielt werden mußte.
Mein Programm habe ich auch auf einem modernen Rechner [1] neben einer Tasse Kaffee zusammengepuzzelt, doch einen Sprachstandard verwendet, der seit 1970 gilt. Wenn nach der Compilierung das Programm nicht läuft, sollte der Compiler sich nicht Fortran nennen.
Natürlich kann es immer wieder einmal passieren, daß Fehler auf dem Zielsystem auffallen, die man bei der Entwicklung nicht bemerkte. Sie gesellen sich einfach zu denen, die auch auf dem großen Bildschirm übersehen wurden. Tausendfach verwendete Syntax ist keine Entschuldigung, nicht ins Pflichtenheft geschaut zu haben.
Fehler einfach zugeben und korrigieren! Wer das nicht kann oder unter mangelnder Frustrationstoleranz leidet, sollte nicht Programmierer werden und sein Geld mit Oberflächendesign, Contentmanagement oder Kaffeekochen verdienen.
[1] Man mag ihn ranzig nennen, weil er nicht alles firefoxt, Lüfter und Akku nicht funktionieren, doch ist er insofern modern, als es ihn 1970 noch nicht gab.
Mein Programm habe ich auch auf einem modernen Rechner [1] neben einer Tasse Kaffee zusammengepuzzelt, doch einen Sprachstandard verwendet, der seit 1970 gilt. Wenn nach der Compilierung das Programm nicht läuft, sollte der Compiler sich nicht Fortran nennen.
Natürlich kann es immer wieder einmal passieren, daß Fehler auf dem Zielsystem auffallen, die man bei der Entwicklung nicht bemerkte. Sie gesellen sich einfach zu denen, die auch auf dem großen Bildschirm übersehen wurden. Tausendfach verwendete Syntax ist keine Entschuldigung, nicht ins Pflichtenheft geschaut zu haben.
Fehler einfach zugeben und korrigieren! Wer das nicht kann oder unter mangelnder Frustrationstoleranz leidet, sollte nicht Programmierer werden und sein Geld mit Oberflächendesign, Contentmanagement oder Kaffeekochen verdienen.
[1] Man mag ihn ranzig nennen, weil er nicht alles firefoxt, Lüfter und Akku nicht funktionieren, doch ist er insofern modern, als es ihn 1970 noch nicht gab.
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