Zahlwort

Diese alte studentische Weisheit hat sich ins Internet gerettet. Und vor­gestern pas­sierte es: Youtube präsen­tierte mir unmit­telbar hinter­ein­ander die gleiche Aufgabe. Nicht doppelt oder direkt kopiert, sondern wie in Studium und Schule zur Vortäu­schung einer eigenen Lei­stung mit der Hand abge­schrieben:

ab=10, bc=20, ca=30, a+b+c=? [1,2]

Diese Aufgabe habe ich oft gesehen, aber nicht beachtet. Ich sah sofort a:b:c=3:2:6. Um auf 10, 20, 30 zu kommen, müssen die Verhält­nis­zahlen um die Wurzel aus 10/6, also um ⅓√15 erhöht werden. Somit a=√15, b=⅔√15, c=2√15 samt a+b+c=​(11/3)√15. Automatisch hatte ich nur an positive Lösungen gedacht.

Unmittelbar danach fiel mir auf, daß es auch ‚rechnerischer‘ über (abc)²=​10⋅20⋅30=6000 geht. Mit abc=​±√6000=​±20√15 ergibt sich:

c=±abc/ab=(±20√15)/10=±2√15
a=±abc/bc=(±20√15)/20=±√15
b=±abc/ca=(±20√15)/30=±⅔√15

und damit wieder a+b+c=±(11/3)√15.

In den beiden Videos wird dieser Weg verfolgt, jedoch 6000 zu 2⋅2⋅2⋅​2⋅​5⋅5⋅5⋅3 fakto­risiert, um über 6000=​16⋅25⋅15 auf abc=​20√15 zu kommen. Und an dieser über­flüssigen, lang­atmigen Fakto­risie­rung nach ameri­kani­schem Schul­schema ist zu erken­nen, daß nicht nur die Auf­gaben­stellung und der Lösungs­weg iden­tisch sind, sondern mit mini­malen Ände­rungen alles kopiert ist.

Beide Videos ermit­teln nur die positive Lösung, ohne darauf hinzu­weisen, daß nur solche zu finden sind. Wahr­scheinlich haben beide Kopierer die nega­tive gar nicht gesehen. Es wäre auch ange­bracht, die Nähe­rung (11/3)√15≈14,2 zu erwähnen.

[1] South korea | Can you solve this? | nume­rical solu­tion of alge­braic equa­tions | math Olym­piad. J Educa­tional Tuto­rials, Youtube, April 2025.

[2] Mathe Olym­piade | Eine kniff­lige Mathe­aufgabe | Algebra-​Aufgabe |. Rashel's Class­room, Youtube, April 2025.

Zack, da ist sie wieder, diese Aufgabe. Diesmal „99% Students Failed — ab=100 bc=200 ca=300.“ [1] Also das gleiche in grün mit einer Null mehr, weshalb ein Faktor √10 ausreicht. Aus √15 wird 5√6, also a=5√6, b=(10/3)√6 und c=10√6.

Seine Abschrift beschritt wohl einen andern Pfad der Evolu­tion. Recht geschickt kam er sofort auf b²=200/3, a²=150, b²=600 und hätte schnell das Ergeb­nis a+b+c=(55/3)√6 gehabt. Doch weil ihn Summen von Wurzeln wohl abschreck­ten und allein die Summe a+b+c gefragt war, nutze er die Gelegenheit zur Show, sie über

(a+b+c)² = a²+b²+c²+2(ab+bc+ca)=6050/3

zu berechnen und sodann wie seine Kollegen die Zeit mit einer Faktori­sierung von 6050 totzu­schlagen, um die Wurzel daraus teilweise ziehen zu können.

[1] Lösen einer Aufnahme­prüfungs­frage der Stanford Univer­sity | Finden Sie a+b+c=?. Maths Explorer, Youtube, Mai 2025.

Und nun die gleiche Aufgabe in neuem Gewande: „ab+ac=30 — ab+bc=40 — ac+bc=50 — a=?, b=?, c=?“ [1] Es steht ab=10, ac=20, bc=30 zu vermuten. Damit erneut a=⅔√15, b=√15, c=2√15.

Sieht man das nicht, kann das gegebene lineare Glei­chungs­system aus drei Gleichungen mit drei Unbekannten ab, ac, bc leicht gelöst werden. Auf der Hand liegt, von der zweiten Glei­chung die erste abzu­ziehen und dem Ergebnis die dritte zuzu­schlagen. Das liefert 2bc=60. Der Rest ergibt sich wie zuvor.

Im Video werden unge­schickt die ersten beiden Glei­chungen addiert und davon die dritte abge­zogen, um sodann den tausend­fach kopier­ten ewig langen Prozeß über abc=√6000 auszu­breiten, was aller­dings ohne voll­ständige Faktori­sierung aus 400⋅15 gelingt. Auch wird die nega­tive Lösung nicht ver­schlampt. [2]

Es hat nur zwei Stunden gedauert, da poppte die gleiche Aufgabe auf einem anderen Kanal hoch. [3] Der Lösungs­weg ist bis auf Keinig­keiten iden­tisch mit den von [1]. Wahr­schein­lich haben beide abge­schrie­ben und waren zu faul oder unfähig, die Aufgabe etwas abzu­ändern.

Und am nächsten Tag, das gleiche als ‚short‘ [4], in dem [1] unter dem komi­schen Namen MianAbdulJabbar111 und Click­mich­tags wie #vedic­math und #advance­math bis zu ab=10 kommt und dann auf­fordert, irgend­was zu klicken, um dieses Mach­werk weiter­hin sehen zu dürfen.

[1] Hong Kong | Find out a,b and c | Olympiad Mathe­matics, Easy and tricky solution. J Educa­tional Tuto­rials, Youtube, Mai 2025.

[2] Das deutet darauf hin, daß „J Educa­tional Tuto­rials“ hier aus einer anderen Quelle als zuvor (in [1] des Haupt­beitrages) abge­schrie­ben hat.

[3] Ein schönes Algebra-​Problem | Mathe-​Olym­piade | Finden Sie a, b und c?. SALogic, Youtube, Mai 2025.

[4] Nice algebra problem #vedicmath #maths #advancemath #foryou #shorts #viralv… J Educa­tional Tuto­rials, Youtube, Mai 2025.

Eine ähnliche Aufgabe lautet: „x²+y²+xy=9, y²+z²+yz=49, z²+x²+zx=64, x+y+z=?“ [1]

Natürich fielen mir die übli­chen Unfor­mungen ein, sah aber kein deut­liches Fort­kommen. So habe ich eine nume­rische Näherung bemüht, kam auf die Vermu­tung z/x=x/y=8/3 und sofort auf die Lösung y=9/√97, x=24/√97, z=64/√97 mit der Summe s=x+y+z=√97. [2]

An dieser Stelle habe ich eine allge­meine Lösung mit c,a,b statt 9,49,64 in Angriff genom­men. [3] Die ersten beiden Gleichun­gen von der drit­ten subtra­hiert liefert mit x=ky und z=ly:

(z−y)s=b−c und (x−y)s=b−a, also (l−1)(b−a)=(k−1)(b−c)

Für sich allein lauten die ersten beiden Gleichun­gen:

(k²+1+k)y²=c und (l²+1+l)y²=a, also (l²+l+1)c=(k²+k+1)a

In letztere l=1+(k−1)(b−c)/(b−a) einge­setzt gelangt man zu einer quadra­tischen Gleichung in k, die abge­sehen von Aus­nahme­fällen auf die vier Lösun­gen führt. Die sind recht chaotisch [4], weshalb ich zu dem schlich­ten Ausgangsfall c=9, a=49, b=64 zurück­kehre:

l=(11k−8)/3 in 9(l²+l+1)=49(k²+k+1) einge­setzt führt o Wunder auf 3k²−8k=9, also k=0, l=−8/3, x=0, y=∓3, z=±8, s=±5 und k=8/3, l=64/9, y=±9/√97, x=±24/√97, z=±64/√97, s=±√97;

[1] Sobald ich eine Quelle finde, werde ich sie hier erwähnen und mir in der Hoff­nung ansehen, daß meine Lösung ohne einen bru­talen Trick gefunden wurde, auf den man nur kommt, wenn man die Lösung kennt.

[2] Es ist zwar nicht erlaubt, einen Taschen­rechner oder gar Computer zu nutzen, doch könnten es die You­tube‌Mathe­matiker ebenso getan und ver­schwie­gen haben. Wahr­schein­lich ist schlimmer: Sie haben nur abge­kupfert!

[3] Ich hätte mein Näherungs­ver­fahren stabili­sieren oder scharf hinsehen müssen, um eine zweite Lösung x=0, z=8, y=−3 zu finden. Mit den vor­zeichen­ver­tausch­ten wären es alle vier Lösun­gen, denn weitere sind schnell auszu­schließen.

[4] Wer an eine einfache Lösungs­formel glaubt, den möge Wolfram Alpha eines Besseren belehren.

Gestern mit „a(b+c)=3000 – b(c+a)=5000 – c(a+b)=6000 – a,b,c=?“ [1] schon wieder eine Variante der Einstiegs­aufgabe, wozu eigent­lich kein neuer Gedanke nötig ist, denn die drei linearen Gleichungen ab+ca=3000, bc+ab=5000, bc+ca=6000 in den drei Variablen ab,bc,ca lösen sich zu ab=1000, bc=4000 und ca=2000, dem bekann­ten Gleichungs­system. Also p=abc=​±√(4000⋅2000⋅1000)=40000√5 und damit a=p/bc=±10√5, b=p/ca=±20√5, c=p/ab=±40√5. Auch das Youtube-​Film­chen geht diesen Weg. Lobens­werter­weise nicht in krake­liger Hand­schrift, jedoch mit übler Aus­sprache und typo­grafi­schen Unschön­heiten.

[1] Lösen Sie diese lustige Mathe-​Frage, Mathe-​Olym­piade, Algebra-​Problem, a(b+c), gute Mathe-​Fähigke…. Bala­hippo Math Genius riddles, Youtube, Juni 2025. Ein × als Multi­plika­tions­zeichen geht als ameri­kanisch durch, nicht jedoch ein kursi­ves x. Und ± heißt plus­minus, nicht plasmas. Häßlich ist c =±√5×40 statt c=±40√5, nicht nur durch die nach­gestell­te 40, auch wegen der unglei­chen Abstände vor und nach dem Gleich­heits­zeichen.