Zahlwort

Nun kann ich stolz vermelden, nach langem Nach­denken ein Sudoku gelöst zu haben, dem mit den bisher von mir darge­stellten Methoden nicht beizu­kommen ist:

+-------+-------+-------+
| . . . | 8 . . | 9 . . |
| 8 9 . | . . . | . . 2 |
| 6 . . | 7 . 9 | . . 5 |
+-------+-------+-------+
| . . . | 9 . 4 | 3 . . |
| 4 2 . | . . 6 | 8 . . | [1]
| . 5 . | . . . | . . 4 |
+-------+-------+-------+
| . . . | . 7 8 | . 4 . |
| . 8 . | 1 . . | . . . |
| 3 . 7 | . . . | . 6 . |
+-------+-------+-------+

Schon nach vier ergänzten Ziffern finde ich keine Einer und keine Paare mehr, weder nackte noch versteckte:

+-------+-------+-------+
| . . . | 8 . . | 9 . . |
| 8 9 . | . . . | . . 2 |
| 6 . . | 7 . 9 | . 8 5 |
+-------+-------+-------+
| . . . | 9 . 4 | 3 . . |
| 4 2 . | . . 6 | 8 . . | [2]
| . 5 . | . . 7 | . . 4 |
+-------+-------+-------+
| . . . | . 7 8 | . 4 . |
| . 8 . | 1 . . | . . . |
| 3 . 7 | . 9 . | . 6 8 |
+-------+-------+-------+

Zu meiner Freude konnte ich hinterher feststellen, daß auch der Computer die gleichen vier Ziffern fand und danach ebenfalls keine Einer oder Paare mehr. Was machen Mensch und Computer in einer solchen Situation?

Eigentlich liegt es auf der Hand. Sie geben sich mit weniger zufrieden. Und was ist weniger? Zum einen die Suche nach nackten oder versteckten Tripeln statt Paaren und Einern. Ein nacktes Tripel bezieht sich auf drei Felder, in denen nur drei gemeinsame Ziffern möglich sind. Ein verstecktes Tripel wird aus drei Ziffern gebildet, die nur in drei gemeinsamen Felder vorkommen können.

In beiden Fällen hat man hinterher grundsätzlich das gleiche erreicht wie mit den Einern und Paaren: Die n=4,...,9 freien Felder sind aufgespalten in ein Tripel und ein (n-3)-Tupel. Etwas allgemeiner: Findet man unter den n=1,...,9 freien Feldern ein nacktes oder verstecktes m-Tupel, so bilden die restlichen n-m Felder ein verstecktes oder nacktes (m-n)-Tupel. Die Suche nach Tripel lohnt sich also erst bei mindestens 6 freien Feldern. Es sei denn, man sucht lieber versteckte Tripel als nackte Paare.

Ich habe das nackte Tripel nicht gefunden, aber der Computer sieht es sofort in der vierten Zeile. Die mit # gekennzeichneten Felder können nur die Ziffern 1, 6 und 7 enthalten, die in den übrigen Feldern der vierten Zeile als Kandidaten gestrichen werden können. Daß die fehlenden drei Ziffern 2, 5 und 8 nur in den drei verbliebenen Feldern der vierten Zeile vorkommen und so einen verstecktes Tripel bilden, interessiert ihn nicht, denn nunmehr ist in der dritten Postion der vierten Zeile bereits ein Einer entstanden. Dort muß eine 8 stehen:

+-------+-------+-------+
| . . . | 8 . . | 9 . . |
| 8 9 . | . . . | . . 2 |
| 6 . . | 7 . 9 | . 8 5 |
+-------+-------+-------+
| # # 8 | 9 . 4 | 3 . # |
| 4 2 . | . 1 6 | 8 . . |
| . 5 . | . 8 7 | . . 4 |
+-------+-------+-------+
| . . . | . 7 8 | . 4 . |
| . 8 . | 1 . . | . . . |
| 3 . 7 | . 9 . | . 6 8 |
+-------+-------+-------+

Nach diesem nackter Einer (rote 8) hat der Computer es zunächst nicht mehr nötig, nach Tripeln zu sehen. Es folgt die blaue 8. Sie ist ein versteckter Einer in Block, Spalte und Zeile zugleich, denn sie ist die neunte und letzte 8 im ganzen Sudoku. Durch sie entsteht ein versteckter Einer im mittleren Block, nämlich die grüne 1. Danach wird es etwas schwieriger für den Computer, weil keine nackten Paare oder Tripel mehr zu finden sind. So muß er nach versteckten Paaren und Tripeln suchen. Ein verstecktes Paar (P) aus den Ziffern 4 und 6 findet er in Zeile 8 und in der Folge ein verstecktes Tripel (T) aus 2, 5 und 8 im Block unten links:

+-------+-------+-------+
| . . . | 8 . . | 9 . . |
| 8 9 . | . . . | . . 2 |
| 6 . . | 7 . 9 | . 8 5 |
+-------+-------+-------+
| . . 8 | 9 . 4 | 3 . . |
| 4 2 . | . 1 6 | 8 . . |
| . 5 . | . 8 7 | . . 4 |
+-------+-------+-------+
| T . T | . 7 8 | . 4 . |
| T 8 P | 1 P . | . . . |
| 3 . 7 | . 9 . | . 6 8 |
+-------+-------+-------+

Leidenschaftslos nimmt der Computer es hin, daß er zwar ein paar Möglichkeiten streichen konnte, jedoch direkt um keine einzige Ziffer vorankommt. In dieser Situation macht er das, was ein Mensch auch tun würde, wenn er keine Paare findet und auf Tripel und Quadrupel keine Lust hat. Man beschränkt sich auf halbe Paare, die ich einfach Zweier nennen möchte. Ein nackter Zweier bezieht sich auf ein Feld, in dem nur zwei verschiedene Ziffern möglich sind. Ein versteckter Zweier besteht aus einer Ziffer, die nur in zwei verschiedenen Feldern vorkommen kann.

Ich suche gerne solche versteckten Zweier aus einer Ziffer in zwei möglichen Feldern, weil sie mit etwas Glück zu einem versteckten Paar führen und auch für sich allein die eine Ziffer in anderen Feldern ausschließen können. Der Computer findet einen versteckten Zweier mit 7 im linken oberen Block und in dem darunter (S), außerdem 3 im linken und mittleren Block, des weiteren 5 im Block rechts daneben (F) und 1 im Block links unten (E):

+-------+-------+-------+
| S S . | 8 . . | 9 . . |
| 8 9 . | . . . | . . 2 |
| 6 . . | 7 . 9 | . 8 5 |
+-------+-------+-------+
| S S 8 | 9 . 4 | 3 F . |
| 4 2 D | D 1 6 | 8 F . |
| . 5 D | D 8 7 | . . 4 |
+-------+-------+-------+
| . E . | . 7 8 | . 4 3 |
| . 8 . | 1 . 3 | . . . |
| 3 E 7 | . 9 . | . 6 8 |
+-------+-------+-------+

Für den letzten Zweier (E) ist der Grund nicht sofort dem Diagramm zu entnehmen. Der Computer dagegen hat die Folgerungen aus dem Tripel (T) nicht vergessen, daß nämlich in ihm keine 1 vorkommt. Doch wie so oft bei einem guten Sudoku hat man viel gefunden, es kommt aber nichts direkt dabei heraus. Abermals ohne Leidenschaft streicht der Computer unmögliche Ziffern in den Zeilen und Spalten, in welche die versteckten Zweier ausstrahlen, und beginnt von vorne. So findet er die blaue 3 in der siebten Zeile, weil nunmehr auch in Position 3 und 4 keine 3 mehr stehen kann. Dem folgt die blaue 3 in der vorletzten Zeile. Sie ist wieder nicht direkt dem Diagramm zu entnehmen. Doch der Computer hat die Folgen des Paares (P) aus 4 und 6 in dieser Zeile ebenfalls nicht vergessen.

Die Qualität dieses Sudoku zeigt sich durch das Auftreten einer vierten Hürde. Wieder geht es nicht mit Einer, Paaren, Tripeln und Quadrupeln weiter. Erneut müssen Zweier gesucht werden:

+-------+-------+-------+
| . . . | 8 . . | 9 . . |
| 8 9 . | . . . | . . 2 |
| 6 3 . | 7 . 9 | 4 8 5 |
+-------+-------+-------+
| . . 8 | 9 . 4 | 3 . . |
| 4 2 . | . 1 6 | 8 . . |
| . 5 . | . 8 7 | . . 4 |
+-------+-------+-------+
| . . . | . 7 8 | E 4 3 |
| . 8 . | 1 . 3 | . N N |
| 3 . 7 | . 9 . | E 6 8 |
+-------+-------+-------+

Im Block unten rechts gibt es sowohl für die 1 und die 9 jeweils nur zwei Plätze (E und N). Auch sie strahlen wieder in die Zeilen und Spalten aus. So ergibt sich rechts oben die rote 4, wo zuvor auch noch eine 1 möglich gewesen wäre. Es folgt die rote 3 oben links, weil der Computer dort eine 1 wegen des alten Zweiers (E) ausgeschlossen hatte und nun auch die 4 weggefallen ist. Und so geht es ohne Probleme weiter bis zum Ende.

Auf diese Weise zum Ziel zu kommen, hätte mich wohl noch Tage beschäftigt. Ich habe deshalb das gemacht, was ein Computer auch sehr gut kann, nach einer guten Stelle für eine Fallunterscheidung gesucht und sie an der mit # bezeichneten Stelle gefunden.

+-------+-------+-------+
| . . . | 8 . . | 9 . . |
| 8 9 . | . . . | . . 2 |
| 6 . . | 7 . 9 | . 8 5 |
+-------+-------+-------+
| . . . | 9 . 4 | 3 . . |
| 4 2 . | . . 6 | 8 . . | [2]
| . 5 . | . . 7 | . . 4 |
+-------+-------+-------+
| . . . | . 7 8 | . 4 . |
| . 8 . | 1 . . | . . . |
| 3 # 7 | . 9 . | . 6 8 |
+-------+-------+-------+

Dort sind nur noch die Ziffern 1 und 4 möglich sind. In der weiter vorne eingeführten Sprechweise handelt es sich also um einen nackten Zweier. Und hat man einmal die richtige Stelle, so entwickelt sich schnell das Gefühl für die richtige Ziffer, nämlich die mit den geringeren direkten Auswirkungen. Hier ist es die 4. Da man nicht raten soll, auch wenn es zum Ergebnis führt, habe ich zunächst die 1 probiert.

+-------+-------+-------+
| . . . | 8 . . | 9 . 6 |
| 8 9 . | 6 . . | . . 2 |
| 6 . . | 7 . 9 | . 8 5 |
+-------+-------+-------+
| . . 6 | 9 . 4 | 3 . . |
| 4 2 . | . . 6 | 8 . . |
| . 5 . | . . 7 | 6 . 4 |
+-------+-------+-------+
| . 6 . | . 7 8 | . 4 . |
| . 8 . | 1 6 . | . . . |
| 3 1 7 | . 9 . | . 6 8 |
+-------+-------+-------+

Unmittelbare Konsequenz ist die rote 6 (nackter Einer), womit alle übrigen Sechsen (blau) fallen. Im linken mittleren Block ergibt sich zunächst die rote 7, weil andere Ziffern an dieser Position nicht mehr möglich sind.

+-------+-------+-------+
| . . . | 8 . . | 9 . 6 |
| 8 9 . | 6 . . | . . 2 |
| 6 . . | 7 . 9 | . 8 5 |
+-------+-------+-------+
| 1 7 6 | 9 . 4 | 3 . # |
| 4 2 . | . . 6 | 8 . . |
| . 5 . | . . 7 | 6 . 4 |
+-------+-------+-------+
| . 6 . | . 7 8 | . 4 . |
| . 8 . | 1 6 . | . . . |
| 3 1 7 | . 9 . | . 6 8 |
+-------+-------+-------+

Aus dem gleichen Grunde gesellt sich links eine rote 1 hinzu. Und schon ist an der mit # bezeichneten Stelle keine der neun Ziffern mehr möglich. Es gibt also keine Lösung in dieser Variante. Deshalb ist die 1 in der zweiten Postion der letzen Zeile falsch und damit die 4 richtig:

+-------+-------+-------+
| . . . | 8 . . | 9 . . |
| 8 9 . | 4 . . | . . 2 |
| 6 . . | 7 . 9 | . 8 5 |
+-------+-------+-------+
| . . . | 9 . 4 | 3 . . |
| 4 2 . | . . 6 | 8 . . |
| . 5 . | . . 7 | . . 4 |
+-------+-------+-------+
| . . . | 6 7 8 | . 4 3 |
| . 8 . | 1 4 . | . . . |
| 3 4 7 | . 9 . | 1 6 8 |
+-------+-------+-------+

In Spalte 4 folgt zunächst die blaue 4, weil nunmehr auch in der untersten Position keine 4 mehr möglich ist, danach die blaue 6 ebenfalls in der vierten Spalte, woraus sich die blaue 3 in der drittletzen Zeile ergibt. Unabhängig davon sind die blaue 1 in der letzten und die blaue 4 in der vorletzten Zeile. Und so geht es ohne Probleme weiter bis zum Ende. Keine Tripel, keine Zweier sind mehr zu bewältigen. Eine Ziffer an der richtigen Stelle, und der Rest kann ganz einfach sein.

[1] ...8..9..89......26..7.9..5...9.43..42...68...5......4....78.4..8.1.....3.7....6.
[2] ...8..9..89......26..7.9.85...9.43..42...68...5...7..4....78.4..8.1.....3.7.9..68