Zahlwort

In den letzten Tagen begegneten mir Sudoku, bei denen meine im Teil 2 dargestellten Methoden versagten, die ich nur durch weitergehende Überlegungen lösen konnte. Und damit meine ich nicht so einfache Kombinationen wie in diesem Diagramm:

+-------+-------+-------+
| 1 2 # | . . . | 4 5 6 |
| . . . | . . . | . . . |
| . . . | . 3 . | . . . |
+-------+-------+-------+

Im rechten Block kann die 3 nur in der mittleren Zeile stehen, womit im linken Block für die 3 nur noch die mit # bezeichnete Postion bleibt. Das hätte auch eine vollständige Überprüfung der ersten Zeile (blaue Methode) erbracht. Natürlich fand der Computer oftmals von mir übersehene einfache Lösungen, doch nicht immer. Und es tröstet mich, daß in diesem Sudoku

+-------+-------+-------+
| . 6 7 | 2 5 . | . . 8 |
| . 2 . | . . . | . . . |
| . . . | 6 1 . | . 5 . |
+-------+-------+-------+
| 3 . . | . . . | . . . |
| 2 . 4 | . . 5 | 8 1 . | [1]
| . . . | 8 . . | 4 3 . |
+-------+-------+-------+
| . 3 2 | . . 8 | 9 . . |
| 7 . 1 | . 2 . | . . 5 |
| . . . | . 6 . | 3 . . |
+-------+-------+-------+

der Computer an der gleichen Stelle ins Grübeln kam wie ich:

+-------+-------+-------+
| . 6 7 | 2 5 3 | 1 . 8 |
| 1 2 5 | . 8 . | 7 6 3 |
| . . 3 | 6 1 7 | 2 5 . |
+-------+-------+-------+
| 3 . . | . . . | 5 . . |
| 2 . 4 | . 3 5 | 8 1 6 | [2]
| . . . | 8 . . | 4 3 . |
+-------+-------+-------+
| 6 3 2 | 5 . 8 | 9 . 1 |
| 7 . 1 | 3 2 . | 6 . 5 |
| . . . | . 6 . | 3 . . |
+-------+-------+-------+

Irgendwann hätte ich eine Fortsetzung gefunden, und sei es durch Fallunterscheidung, habe aber aufgegegeben, weil ich unbedingt wissen wollte, ob der Computer an dieser Stelle noch eine einfache Kombination findet. Auch er kam mit den Methoden des 2. Teils nicht weiter, fand aber zwei sogenannte nackte Paare, eines davon im mittleren Block, obwohl darin gemeinerweise nur drei Ziffern stehen:

  |  2 6  | 5 8 1 |  3 7  |
--+-------+-------+-------+--
  | 1     |       | 1 2   |
3 | 4     | 4     | 4   6 | 5
  | 7   9 | 7   9 |     9 |
--+-------+-------+-------+--
2 |       | +---+ | +---+ | 8
  |       | | 3 | | | 5 | | 1
4 | 7   9 | +---+ | +---+ | 6
--+-------+-------+-------+--
  | +---+ |       | 1 2   | 4
  | | 8 | |       |     6 |
  | +---+ | 7   9 |     9 | 3
--+-------+-------+-------+--
  | 5 3   | 2 6   |  8    |

Zweimal nackt (rot) stehen 7 und 9 unten links und müssen in der einen oder anderen Weise diese beiden Felder füllen, daß sie in den anderen Stellen (grün) nicht mehr vorkommen können, wo die kleinen 7 und 9 also gestrichen werden können. Und nicht immer hat man Glück wie hier, denn danach steht die 4 (blau) allein nackt da, und man ist einen Schritt weiter.

Grundsätzlich ist diese Vorgehensweise nicht neu. Es werden alle zulässigen Kombinationen innerhalb eines Blockes, einer Zeile oder einer Spalte in der Hoffnung überprüft, auf irgendwelche Beziehungen zu stoßen. Im Teil 2 betrachtete ich ein einfaches Beispiel:

    | . 8 . |
    | . 4 . |         | 2 4 5 7 8     |       |
----+-------+----   --+----------   --+-------+--
3 5 | A B C | 4 .   A | . . . o .     | 7 2 8 |
. 2 | 1 3 9 | 8 .   B | o . . o .     | 1 3 9 |
. 9 | 6 D E | 3 .   C | o . . . o     | 6 5 4 |
----+-------+----   D | o . o o .   --+-------+--
    | 2 . 7 |       E | o o . . o     |       |
    | 8 . 5 |

Die fetten schwarzen Ziffern waren vorgegeben, die freien Felder sind mit A bis E gekennzeichnet, und die Matrix in der Mitte gibt durch o wieder, welche Ziffer in welchem Feld noch möglich ist. Es gibt nur eine einzige Auswahl von fünf o, daß in jeder Zeile und Spalte genau eines steht. Sie ist blau hervorgehoben.

Normalerweise gibt es eine solche eindeutige Kombination nicht, man sucht auch nicht ewig nach ihr, sondern betrachtet nur die Zeilen und Spalten der Matrix, in der sich nur ein o befindet. Das sind die nackten Einer (rot) oder die versteckten Einer (grün). Hier nun die aktuelle Lage im mittleren Block:

    | . 5 . |
    | 2 8 3 |
    | 6 1 7 |           | 1 2 4 6 7 9   möglich
----+-------+------   --+----------------------
. 3 | A B C | 5 . .   A | o . o . o o   1 1 1 1
2 4 | D 3 5 | 8 1 6   B | . . o . o o   4 4 4 4
. . | 8 E F | 4 3 .   C | o o o o . o   2 2 6 6
----+-------+------   D | . . . . o o   7 9 7 9
    | 5 2 8 |         E | . . . . o o   9 7 9 7
    | 3 6 . |         F | o o . o . o   6 6 2 2

Diesmal gibt es keine eindeutige Lösung für den ganzen Block, vielmehr bleiben vier Möglichkeiten, die rechts dargestellt sind. Man erkennt sofort A=1 und B=4. Daß sich 7 und 9 die Felder D und E sowie 2 und 6 die Felder C und F teilen, muß man nicht unbedingt im Kopf behalten, denn mit A=1 und B=4 geht es an anderer Stelle weiter.

Für einen Menschen ist es mühsam, alle verbleibenden Möglichkeiten zu finden, und für den Computer (besser: den Pogrammierer) ist es schwer, daraus die einfachen Schlußfolgerungen zu ziehen. Deshalb suchen beide lieber nackte oder versteckte Paare. Ein nacktes Paar bezieht sich auf zwei Felder, in denen nur zwei gemeinsame Ziffern möglich sind. Hier sind es die Felder D und E mit den Ziffern 7 und 9. Ein verstecktes Paar wird aus zwei Ziffern gebildet, die nur in zwei gemeinsamen Felder vorkommen können. Hier sind es die Zifern 2 und 6 in den Feldern C und F.

Was hat man davon? Der Computer sieht solche nackten Paare leidenschaftlos und entfernt die beiden Ziffern, wo sie nunmehr nicht mehr vorkommen können. Ob ihm diese Streichung etwas einträgt oder nicht, interessiert ihn nicht. Doch hier stellt er im nächsten Schritt im Feld B eine 4 als nackten Einer fest. Die Folge ist eine 1 als nackter Einer in Feld A. Die restlichen vier Felder bleiben erst einmal offen. Auch der Rest des Sudoku wird mit den üblichen Einer-Methoden bewältigt.

Im Gegensatz zum Computer oder Buchhalter liegt es mir oder gar den meisten Menschen mehr, die versteckten Paare zu finden. Man geht einfach alle noch möglichen Ziffern durch, und wenn eine davon nur in zwei Felder paßt, dann merkt man sich diese oder malt die Ziffer zwischen die Felder, notfalls an eine Verbindungslinie. Ein Glücksfall ist eine zweite Ziffer mit den gleichen Feldern. Dann hat man einen verstecktes Paar gefunden.

Der Nutzen ist im Prinzip der gleiche wie beim Einer: Wenn beide Felder eines Paares in einem zu überprüfenden Objekt vorkommen, liefern sie die gleichen Beschränkungen wie zwei Einer. Doch wie findet man solche (versteckten) Paare? Normalerweise beim Abgrasen aller Blöcke, Zeilen und Spalten nach Ziffern, die nur noch zwei Felder haben. Das ist jedoch recht mühsam, und besser nutzt man Besonderheiten: Im aktuellen Beispiel kommen die Ziffern 2 und 6 in der linken und der mittleren Spalte bereits vor. Im Block bleibt für sie deshalb nur die rechte Spalte, wo aber nur zwei Felder frei sind.

Und wie geht es dann weiter? Ganz allgemeinen ist ein Paar eine nützliche Information für später. Oft sind es zwei Felder, die sowohl in einem gemeinsamen Block als auch in einer gemeinsamen Zeile oder Spalte liegen, so daß es direkt zu weiteren Schlüssen kommen kann. Und manchmal hat man Glück, wie im aktuellen Beispiel. Durch 2 und 6 in den Feldern C und F findet die 1 nur noch in Feld A Platz. Sitzt sie dort bleibt der 4 nur Feld B. Und schon ist man mit dem versteckten Paar genauso weit wie der Computer mit dem nackten, das man als Mensch dann natürlich auch schnell findet.

Mit dieser leicht fortgeschrittenen Überlegung gibt es in der Folge keine Probleme mehr:

+-------+-------+-------+
| . 6 7 | 2 5 3 | 1 . 8 |
| 1 2 5 | . 8 . | 7 6 3 |
| . . 3 | 6 1 7 | 2 5 . |
+-------+-------+-------+
| 3 . . | 1 4 # | 5 . . |
| 2 . 4 | . 3 5 | 8 1 6 |
| . . . | 8 . # | 4 3 . |
+-------+-------+-------+
| 6 3 2 | 5 . 8 | 9 . 1 |
| 7 . 1 | 3 2 . | 6 . 5 |
| . . . | . 6 . | 3 . . |
+-------+-------+-------+

Das Diagramm zeigt mit # das versteckte Paar aus 2 und 6 an. Es hat die rote 1 und die rote 4 zur Folge.

+-------+-------+-------+
| . 6 7 | 2 5 3 | 1 . 8 |
| 1 2 5 | . 8 . | 7 6 3 |
| . . 3 | 6 1 7 | 2 5 . |
+-------+-------+-------+
| 3 . . | 1 4 # | 5 . . |
| 2 9 4 | 7 3 5 | 8 1 6 | [3]
| . . . | 8 9 # | 4 3 . |
+-------+-------+-------+
| 6 3 2 | 5 7 8 | 9 4 1 |
| 7 . 1 | 3 2 . | 6 . 5 |
| . . . | . 6 1 | 3 . . |
+-------+-------+-------+

In der mittleren Spalte gibt es nur noch eine Lage für die fehlenden blauen Ziffern 7 und 9. Die rote 4, die rote 7 und die rote 9 sind direkte Folge, womit das nackte Paar ebenfalls aufgedeckt ist, obgleich es nie hätte gesehen werden müssen. Die blaue 1 hat keine andere Position in der sechsten Spalte mehr, was aber auch ohne das versteckte Paar nicht anders mehr ginge.

[1]  .6725...8.2..........61..5.3........2.
4..581....8..43..32..89..7.1.2...5....6.3..

[2]  .672531.8125.8.763..361725.3.....5..2.
4.35816...8..43.6325.89.17.132.6.5....6.3..

[3]  .672531.8125.8.763..361725.3..14.5..29
4735816...89.43.6325789417.132.6.5....613..

Teil 1: Anfang
Teil 2: Einer
Teil 3: Paare
Teil 4: Raster

Nun kann ich stolz vermelden, nach langem Nachdenken ein Sudoku gelöst zu haben, dem mit den bisher von mir dargestellten Methoden nicht beizukommen ist:

+-------+-------+-------+
| . . . | 8 . . | 9 . . |
| 8 9 . | . . . | . . 2 |
| 6 . . | 7 . 9 | . . 5 |
+-------+-------+-------+
| . . . | 9 . 4 | 3 . . |
| 4 2 . | . . 6 | 8 . . | [1]
| . 5 . | . . . | . . 4 |
+-------+-------+-------+
| . . . | . 7 8 | . 4 . |
| . 8 . | 1 . . | . . . |
| 3 . 7 | . . . | . 6 . |
+-------+-------+-------+

Schon nach vier ergänzten Ziffern finde ich keine Einer und keine Paare mehr, weder nackte noch versteckte:

+-------+-------+-------+
| . . . | 8 . . | 9 . . |
| 8 9 . | . . . | . . 2 |
| 6 . . | 7 . 9 | . 8 5 |
+-------+-------+-------+
| . . . | 9 . 4 | 3 . . |
| 4 2 . | . . 6 | 8 . . | [2]
| . 5 . | . . 7 | . . 4 |
+-------+-------+-------+
| . . . | . 7 8 | . 4 . |
| . 8 . | 1 . . | . . . |
| 3 . 7 | . 9 . | . 6 8 |
+-------+-------+-------+

Zu meiner Freude konnte ich hinterher feststellen, daß auch der Computer die gleichen vier Ziffern fand und danach ebenfalls keine Einer oder Paare mehr. Was machen Mensch und Computer in einer solchen Situation?

Eigentlich liegt es auf der Hand. Sie geben sich mit weniger zufrieden. Und was ist weniger? Zum einen die Suche nach nackten oder versteckten Tripeln statt Paaren und Einern. Ein nacktes Tripel bezieht sich auf drei Felder, in denen nur drei gemeinsame Ziffern möglich sind. Ein verstecktes Tripel wird aus drei Ziffern gebildet, die nur in drei gemeinsamen Felder vorkommen können.

In beiden Fällen hat man hinterher grundsätzlich das gleiche erreicht wie mit den Einern und Paaren: Die n=4,...,9 freien Felder sind aufgespalten in ein Tripel und ein (n-3)-Tupel. Etwas allgemeiner: Findet man unter den n=1,...,9 freien Feldern ein nacktes oder verstecktes m-Tupel, so bilden die restlichen n-m Felder ein verstecktes oder nacktes (m-n)-Tupel. Die Suche nach Tripel lohnt sich also erst bei mindestens 6 freien Feldern. Es sei denn, man sucht lieber versteckte Tripel als nackte Paare.

Ich habe das nackte Tripel nicht gefunden, aber der Computer sieht es sofort in der vierten Zeile. Die mit # gekennzeichneten Felder können nur die Ziffern 1, 6 und 7 enthalten, die in den übrigen Feldern der vierten Zeile als Kandidaten gestrichen werden können. Daß die fehlenden drei Ziffern 2, 5 und 8 nur in den drei verbliebenen Feldern der vierten Zeile vorkommen und so einen verstecktes Tripel bilden, interessiert ihn nicht, denn nunmehr ist in der dritten Postion der vierten Zeile bereits ein Einer entstanden. Dort muß eine 8 stehen:

+-------+-------+-------+
| . . . | 8 . . | 9 . . |
| 8 9 . | . . . | . . 2 |
| 6 . . | 7 . 9 | . 8 5 |
+-------+-------+-------+
| # # 8 | 9 . 4 | 3 . # |
| 4 2 . | . 1 6 | 8 . . |
| . 5 . | . 8 7 | . . 4 |
+-------+-------+-------+
| . . . | . 7 8 | . 4 . |
| . 8 . | 1 . . | . . . |
| 3 . 7 | . 9 . | . 6 8 |
+-------+-------+-------+

Nach diesem nackter Einer (rote 8) hat der Computer es zunächst nicht mehr nötig, nach Tripeln zu sehen. Es folgt die blaue 8. Sie ist ein versteckter Einer in Block, Spalte und Zeile zugleich, denn sie ist die neunte und letzte 8 im ganzen Sudoku. Durch sie entsteht ein versteckter Einer im mittleren Block, nämlich die grüne 1. Danach wird es etwas schwieriger für den Computer, weil keine nackten Paare oder Tripel mehr zu finden sind. So muß er nach versteckten Paaren und Tripeln suchen. Ein verstecktes Paar (P) aus den Ziffern 4 und 6 findet er in Zeile 8 und in der Folge ein verstecktes Tripel (T) aus 2, 5 und 8 im Block unten links:

+-------+-------+-------+
| . . . | 8 . . | 9 . . |
| 8 9 . | . . . | . . 2 |
| 6 . . | 7 . 9 | . 8 5 |
+-------+-------+-------+
| . . 8 | 9 . 4 | 3 . . |
| 4 2 . | . 1 6 | 8 . . |
| . 5 . | . 8 7 | . . 4 |
+-------+-------+-------+
| T . T | . 7 8 | . 4 . |
| T 8 P | 1 P . | . . . |
| 3 . 7 | . 9 . | . 6 8 |
+-------+-------+-------+

Leidenschaftslos nimmt der Computer es hin, daß er zwar ein paar Möglichkeiten streichen konnte, jedoch direkt um keine einzige Ziffer vorankommt. In dieser Situation macht er das, was ein Mensch auch tun würde, wenn er keine Paare findet und auf Tripel und Quadrupel keine Lust hat. Man beschränkt sich auf halbe Paare, die ich einfach Zweier nennen möchte. Ein nackter Zweier bezieht sich auf ein Feld, in dem nur zwei verschiedene Ziffern möglich sind. Ein versteckter Zweier besteht aus einer Ziffer, die nur in zwei verschiedenen Feldern vorkommen kann.

Ich suche gerne solche versteckten Zweier aus einer Ziffer in zwei möglichen Feldern, weil sie mit etwas Glück zu einem versteckten Paar führen und auch für sich allein die eine Ziffer in anderen Feldern ausschließen können. Der Computer findet einen versteckten Zweier mit 7 im linken oberen Block und in dem darunter (S), außerdem 3 im linken und mittleren Block, des weiteren 5 im Block rechts daneben (F) und 1 im Block links unten (E):

+-------+-------+-------+
| S S . | 8 . . | 9 . . |
| 8 9 . | . . . | . . 2 |
| 6 . . | 7 . 9 | . 8 5 |
+-------+-------+-------+
| S S 8 | 9 . 4 | 3 F . |
| 4 2 D | D 1 6 | 8 F . |
| . 5 D | D 8 7 | . . 4 |
+-------+-------+-------+
| . E . | . 7 8 | . 4 3 |
| . 8 . | 1 . 3 | . . . |
| 3 E 7 | . 9 . | . 6 8 |
+-------+-------+-------+

Für den letzten Zweier (E) ist der Grund nicht sofort dem Diagramm zu entnehmen. Der Computer dagegen hat die Folgerungen aus dem Tripel (T) nicht vergessen, daß nämlich in ihm keine 1 vorkommt. Doch wie so oft bei einem guten Sudoku hat man viel gefunden, es kommt aber nichts direkt dabei heraus. Abermals ohne Leidenschaft streicht der Computer unmögliche Ziffern in den Zeilen und Spalten, in welche die versteckten Zweier ausstrahlen, und beginnt von vorne. So findet er die blaue 3 in der siebten Zeile, weil nunmehr auch in Position 3 und 4 keine 3 mehr stehen kann. Dem folgt die blaue 3 in der vorletzten Zeile. Sie ist wieder nicht direkt dem Diagramm zu entnehmen. Doch der Computer hat die Folgen des Paares (P) aus 4 und 6 in dieser Zeile ebenfalls nicht vergessen.

Die Qualität dieses Sudoku zeigt sich durch das Auftreten einer vierten Hürde. Wieder geht es nicht mit Einer, Paaren, Tripeln und Quadrupeln weiter. Erneut müssen Zweier gesucht werden:

+-------+-------+-------+
| . . . | 8 . . | 9 . . |
| 8 9 . | . . . | . . 2 |
| 6 3 . | 7 . 9 | 4 8 5 |
+-------+-------+-------+
| . . 8 | 9 . 4 | 3 . . |
| 4 2 . | . 1 6 | 8 . . |
| . 5 . | . 8 7 | . . 4 |
+-------+-------+-------+
| . . . | . 7 8 | E 4 3 |
| . 8 . | 1 . 3 | . N N |
| 3 . 7 | . 9 . | E 6 8 |
+-------+-------+-------+

Im Block unten rechts gibt es sowohl für die 1 und die 9 jeweils nur zwei Plätze (E und N). Auch sie strahlen wieder in die Zeilen und Spalten aus. So ergibt sich rechts oben die rote 4, wo zuvor auch noch eine 1 möglich gewesen wäre. Es folgt die rote 3 oben links, weil der Computer dort eine 1 wegen des alten Zweiers (E) ausgeschlossen hatte und nun auch die 4 weggefallen ist. Und so geht es ohne Probleme weiter bis zum Ende.

Auf diese Weise zum Ziel zu kommen, hätte mich wohl noch Tage beschäftigt. Ich habe deshalb das gemacht, was ein Computer auch sehr gut kann, nach einer guten Stelle für eine Fallunterscheidung gesucht und sie an der mit # bezeichneten Stelle gefunden.

+-------+-------+-------+
| . . . | 8 . . | 9 . . |
| 8 9 . | . . . | . . 2 |
| 6 . . | 7 . 9 | . 8 5 |
+-------+-------+-------+
| . . . | 9 . 4 | 3 . . |
| 4 2 . | . . 6 | 8 . . | [2]
| . 5 . | . . 7 | . . 4 |
+-------+-------+-------+
| . . . | . 7 8 | . 4 . |
| . 8 . | 1 . . | . . . |
| 3 # 7 | . 9 . | . 6 8 |
+-------+-------+-------+

Dort sind nur noch die Ziffern 1 und 4 möglich sind. In der weiter vorne eingeführten Sprechweise handelt es sich also um einen nackten Zweier. Und hat man einmal die richtige Stelle, so entwickelt sich schnell das Gefühl für die richtige Ziffer, nämlich die mit den geringeren direkten Auswirkungen. Hier ist es die 4. Da man nicht raten soll, auch wenn es zum Ergebnis führt, habe ich zunächst die 1 probiert.

+-------+-------+-------+
| . . . | 8 . . | 9 . 6 |
| 8 9 . | 6 . . | . . 2 |
| 6 . . | 7 . 9 | . 8 5 |
+-------+-------+-------+
| . . 6 | 9 . 4 | 3 . . |
| 4 2 . | . . 6 | 8 . . |
| . 5 . | . . 7 | 6 . 4 |
+-------+-------+-------+
| . 6 . | . 7 8 | . 4 . |
| . 8 . | 1 6 . | . . . |
| 3 1 7 | . 9 . | . 6 8 |
+-------+-------+-------+

Unmittelbare Konsequenz ist die rote 6 (nackter Einer), womit alle übrigen Sechsen (blau) fallen. Im linken mittleren Block ergibt sich zunächst die rote 7, weil andere Ziffern an dieser Position nicht mehr möglich sind.

+-------+-------+-------+
| . . . | 8 . . | 9 . 6 |
| 8 9 . | 6 . . | . . 2 |
| 6 . . | 7 . 9 | . 8 5 |
+-------+-------+-------+
| 1 7 6 | 9 . 4 | 3 . # |
| 4 2 . | . . 6 | 8 . . |
| . 5 . | . . 7 | 6 . 4 |
+-------+-------+-------+
| . 6 . | . 7 8 | . 4 . |
| . 8 . | 1 6 . | . . . |
| 3 1 7 | . 9 . | . 6 8 |
+-------+-------+-------+

Aus dem gleichen Grunde gesellt sich links eine rote 1 hinzu. Und schon ist an der mit # bezeichneten Stelle keine der neun Ziffern mehr möglich. Es gibt also keine Lösung in dieser Variante. Deshalb ist die 1 in der zweiten Postion der letzen Zeile falsch und damit die 4 richtig:

+-------+-------+-------+
| . . . | 8 . . | 9 . . |
| 8 9 . | 4 . . | . . 2 |
| 6 . . | 7 . 9 | . 8 5 |
+-------+-------+-------+
| . . . | 9 . 4 | 3 . . |
| 4 2 . | . . 6 | 8 . . |
| . 5 . | . . 7 | . . 4 |
+-------+-------+-------+
| . . . | 6 7 8 | . 4 3 |
| . 8 . | 1 4 . | . . . |
| 3 4 7 | . 9 . | 1 6 8 |
+-------+-------+-------+

In Spalte 4 folgt zunächst die blaue 4, weil nunmehr auch in der untersten Position keine 4 mehr möglich ist, danach die blaue 6 ebenfalls in der vierten Spalte, woraus sich die blaue 3 in der drittletzen Zeile ergibt. Unabhängig davon sind die blaue 1 in der letzten und die blaue 4 in der vorletzten Zeile. Und so geht es ohne Probleme weiter bis zum Ende. Keine Tripel, keine Zweier sind mehr zu bewältigen. Eine Ziffer an der richtigen Stelle, und der Rest kann ganz einfach sein.

[1]  ...8..9..89......26..7.9..5...9.43..42
...68...5......4....78.4..8.1.....3.7....6.

[2]  ...8..9..89......26..7.9.85...9.43..42
...68...5...7..4....78.4..8.1.....3.7.9..68

Teil 1: Anfang
Teil 2: Einer
Teil 3: Paare

"Ein gewisses Suchtpotential steckt schon in den Sudoku-Rätseln."

Herr Wuerg, da scheint es Sie ja tatsächlich ganz schön gepackt zu haben.