Ulam-Spirale
wuerg, 09.10.2005 15:57
So mancher hat vielleicht schon aus Langeweile die Zahlen auf kariertem Papier in der Form einer rechtwinkligen Spirale
[Die Primzahlen hätten einen gelben und die zusammengesetzen Zahlen ein grauen Hintergrund, wenn hier bgcolor gehen würde. So mußte ich die Primzahlen zusätzlich blau machen.]
Die Zahlen in der Hauptdiagonalen sind grün geschrieben. Es sind die Recheckzahlen R(n)=n(n+1), das Doppelte der Dreieckszahlen. Die mit geradem n gehen vom Zentrum nach rechts oben, die mit ungeradem n nach links unten. Nicht ganz so schön ordnen sich die rot geschriebenen Quadratzahlen an. Die geraden gehen nach links oben von der 0 aus, die ungeraden nach rechts unten etwas versetzt von der 1 aus, aber auch durch die Ecken der Spirale.
Jede von der Zahl a nach außen weisende Diagonale besteht aus den Zahlen 2n(2n+b)+a, ist also für n=0,1,2,... eine aufsteigende quadratische Progression. So ist zum Beispiel die nach rechts unten weisende Folge 7,23,47,79,... von der Form 2n(2n+6)+7. Die recht langen Strecken von diagonal liegenden Primzahlen sind also nichts anderes als ein Veranschaulichung der Tatsache, daß in quadratischen Progressionen Primzahlen offensichtlich leichter aufeinander folgen als in linearen.
Goddard | Primzahlkreuz
15--14--13--12 | 4---3---2 11 | | | 5 0---1 10 | | 6---7---9---9aufgemalt. Auch Stanislav Ulam fand neben dem Bau der Atombombe Zeit dazu. Und vielleicht war er wirklich der erste, der eine Klumpung der Primzahlen entlang der Diagonalen bemerkte. Man kann sie schon unter den ersten 100 Zahlen deutlich erkennen. Hier sind sie durch einen gelben Hintergrund hervorgehoben.
[Die Primzahlen hätten einen gelben und die zusammengesetzen Zahlen ein grauen Hintergrund, wenn hier bgcolor gehen würde. So mußte ich die Primzahlen zusätzlich blau machen.]
99 | 98 | 97 | 96 | 95 | 94 | 93 | 92 | 91 | 9064
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Die Zahlen in der Hauptdiagonalen sind grün geschrieben. Es sind die Recheckzahlen R(n)=n(n+1), das Doppelte der Dreieckszahlen. Die mit geradem n gehen vom Zentrum nach rechts oben, die mit ungeradem n nach links unten. Nicht ganz so schön ordnen sich die rot geschriebenen Quadratzahlen an. Die geraden gehen nach links oben von der 0 aus, die ungeraden nach rechts unten etwas versetzt von der 1 aus, aber auch durch die Ecken der Spirale.
Jede von der Zahl a nach außen weisende Diagonale besteht aus den Zahlen 2n(2n+b)+a, ist also für n=0,1,2,... eine aufsteigende quadratische Progression. So ist zum Beispiel die nach rechts unten weisende Folge 7,23,47,79,... von der Form 2n(2n+6)+7. Die recht langen Strecken von diagonal liegenden Primzahlen sind also nichts anderes als ein Veranschaulichung der Tatsache, daß in quadratischen Progressionen Primzahlen offensichtlich leichter aufeinander folgen als in linearen.
Goddard | Primzahlkreuz
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pappnase,
09.10.2005 16:14
warum ist bei der langeweilespirale keine acht dabei?
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wuerg,
09.10.2005 16:20
Ich sehe die 8 ganz deutlich. Schließlich wurde sie von dem Holländer van der Acht bereits im Jahre 1729 zwischen der 7 und der 9 entdeckt.
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wuerg,
09.10.2005 16:35
Zwischenzeitlich habe ich es auch gesehen. Ich habe in meine mühselig erstellen HTML-Tabelle geguckt und Sie in die bescheidenen Text-Spirale. Dort habe ich tatsächlich 9 statt 8 geschrieben. Ich lasse es so. Zum einen muß Ihre Entdeckung für weitere Heerscharen von Lesern nachvollziehbar sein. Zum anderen ist es ein guter Aufmerksamkeitstest.
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wuerg,
10.10.2005 12:26
Auch ich kann es nicht mehr vermeiden. Es müssen Bilder in den Text, auch wenn es nur einfache Tabellen sind. Und so hätte meine Tabelle ausgesehen, wenn HTML vorschriftsmäßig interpretiert würde:
Vielleicht sollte ich einfach alles mit der Hand schreiben und nur noch Bilder veröffentlichen?
Vielleicht sollte ich einfach alles mit der Hand schreiben und nur noch Bilder veröffentlichen?
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axelk,
13.10.2005 21:54
html wird schon 'vorschriftsmäßig' interpretiert. Sie kommen hier nur mit ihrem stylesheet ins gehege ;)
body, td { background-color: #ffffff; [..].. deswegen sind die zellen weiss.
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wuerg,
14.10.2005 00:57
Vielen Dank für den Hinweis. Ich muß zugeben, mir den bei mir ankommenden Quellcode noch gar nicht angesehen zu haben, und war deshalb der irrigen Erstannahme, gewisse Attribute würden herausgefiltert. Nun sehe ich in main.css auch den Grund für ein anderes Übel, nämlich "align=center" für Tabellenfelder.
Auch wenn ich es nicht für gerechtfertigt halte, umfangreiche Style-Vereinbarungen auf so niedriger Ebene wie Tabellenfelder zu treffen, werde ich nichts ändern. Sie werden sicherlich an meinem Layout gesehen haben, daß ich bis auf die paar Zeilen unter "Favorite Items" alles im Anfangszustand belassen habe.
Auch wenn ich es nicht für gerechtfertigt halte, umfangreiche Style-Vereinbarungen auf so niedriger Ebene wie Tabellenfelder zu treffen, werde ich nichts ändern. Sie werden sicherlich an meinem Layout gesehen haben, daß ich bis auf die paar Zeilen unter "Favorite Items" alles im Anfangszustand belassen habe.
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wuerg,
14.10.2005 17:51
Jetzt weiß auch ich, warum ausgerechnet für td unangenehme Stylevereinbarungen getroffen werden: Um den Kalender mit sparsamen Statements anzuzeigen.
Mit Entsetzen sehe ich auch die am Ende meiner Tabelle hinzugefügten /td, /b und /font, die ich mir alle gespart habe. Es wird also doch mehr an der Eingabe verändert als nur der Zeilenumbruch.
Mit Entsetzen sehe ich auch die am Ende meiner Tabelle hinzugefügten /td, /b und /font, die ich mir alle gespart habe. Es wird also doch mehr an der Eingabe verändert als nur der Zeilenumbruch.
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wuerg,
13.10.2005 00:08
Wenn man gelangweilt dasitzt und die Zahlen quadratisch anordnet, dann würden die meisten wohl wie Ulam um ein kleines Quadrat eine Umrandung malen, um es zu vergrößern. Das ist die moderne zentrierte Denkweise. Die Griechen dachten sich die Quadratzahlen etwas konsequenter von einer Ecke her, zu der schrittweise Winkel hinzugenommen werden. Diese Vorstellung führt auf eine verbesserte quadratische Darstellung der Zahlen, die man noch "Ulam" nennen könnte, doch nicht mehr "Spirale".
Wieder sind lange Ketten wie 5,11,19,29,41 und 59,43,41,53,67,83 zu erkennen. Die nach rechts-oben weisenden Diagonalen sind allesamt aufsteigend und folgen mit n(n+b)+a einer schlichteren Formel als die Ulam-Spirale. Geht man noch einen Schritt weiter, klopft die rechte obere Ecke platt und dreht alles um 135 Grad nach rechts, so kommt man auf die Darstellung
in der die Kette 5,11,19,29,41 einfach als Spalte erscheint, weil alle nach rechts-oben weisenden Diagonalen nun einfach senkrecht nach unten verlaufen. Und wenn man die leeren Felder vervollständigt, so erhält man
in der die oben mit a beginnende Spalte einfach die Zahlen n(n+1)+a enthält. Schon unter diesen einfachen Folgen kommen überraschend lange Primzahlketten vor. Die mit 11 beginnende Spalte ist vollständig gelb, was sich im nicht dargestellten Bereich fortsetzt, jedoch nicht für immer.
Wieder sind lange Ketten wie 5,11,19,29,41 und 59,43,41,53,67,83 zu erkennen. Die nach rechts-oben weisenden Diagonalen sind allesamt aufsteigend und folgen mit n(n+b)+a einer schlichteren Formel als die Ulam-Spirale. Geht man noch einen Schritt weiter, klopft die rechte obere Ecke platt und dreht alles um 135 Grad nach rechts, so kommt man auf die Darstellung
in der die Kette 5,11,19,29,41 einfach als Spalte erscheint, weil alle nach rechts-oben weisenden Diagonalen nun einfach senkrecht nach unten verlaufen. Und wenn man die leeren Felder vervollständigt, so erhält man
in der die oben mit a beginnende Spalte einfach die Zahlen n(n+1)+a enthält. Schon unter diesen einfachen Folgen kommen überraschend lange Primzahlketten vor. Die mit 11 beginnende Spalte ist vollständig gelb, was sich im nicht dargestellten Bereich fortsetzt, jedoch nicht für immer.
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gemir,
03.07.2015 01:35
Wie kommen Sie auf die Darstellung 2n(2n+b)+a? Eine etwas ausführlichere Erklärung, warum es so ist, wäre sehr wünschenswert. Danke.
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wuerg,
11.07.2015 18:06
Sind a0, a1, a2,... die Zahlen auf einer nach außen gerichteten Diagonalen und werden b0 Schritte für die erste Runde von a0 nach a1 benötigt, so sind es für die nächste Runde b1=b0+8, für die übernächste b2=b0+16 usw. Für die Runde von ak nach ak+1 also bk=b0+8k Schritte. Damit ist
an=a0+b0+b1+b2+...+bn-1=a0+b0+(b0+8)+(b0+8·2)+...+(b0+8(n-1))
=a0+nb0+8(1+2+...+(n-1))=a0+nb0+8(n(n-1)/2)=a0+2n(2n+b0/2-2)=2n(2n+b)+a
worin a=a0 und b=b0/2-2 gesetzt wurde. Auch b ist eine ganze Zahl, weil b0 gerade ist. Das sieht man sofort, wenn man sich das Quadrat wie ein Schachbrett mit schwarzen und weißen Feldern vorstellt. Entlang der Diagonale ändert sich die Farbe nicht, in jedem Schritt aber schon. Die 8 rührt daher, daß in jeder neuen Runde vier Kanten mit jeweils zwei zusätzlichen Schritten zu durchlaufen sind.
an=a0+b0+b1+b2+...+bn-1=a0+b0+(b0+8)+(b0+8·2)+...+(b0+8(n-1))
=a0+nb0+8(1+2+...+(n-1))=a0+nb0+8(n(n-1)/2)=a0+2n(2n+b0/2-2)=2n(2n+b)+a
worin a=a0 und b=b0/2-2 gesetzt wurde. Auch b ist eine ganze Zahl, weil b0 gerade ist. Das sieht man sofort, wenn man sich das Quadrat wie ein Schachbrett mit schwarzen und weißen Feldern vorstellt. Entlang der Diagonale ändert sich die Farbe nicht, in jedem Schritt aber schon. Die 8 rührt daher, daß in jeder neuen Runde vier Kanten mit jeweils zwei zusätzlichen Schritten zu durchlaufen sind.
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kid37,
17.11.2005 22:41
Ich bin immer wieder völlig eingenommen von den Mysterien Ihrer Zahlenkunde.
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